《抛物线》中职数学(拓展模块)2.3ppt课件3【人教版】

1、范围：
横坐标：x≥0；纵坐标：y∈R.
2、对称性：
抛物线关于x轴对称. 把y换成-y方程不变， 图像关于x轴对称.
y OF x
3、顶点：抛物线与其对称轴的交
点叫做抛物线的顶点.
顶点：(0，0)
y
顶点是焦点到准线 的垂线段之中点
OF x
4、离心率： e＝1
理论迁移
例1 已知抛物线关于x轴对称，它 的顶点在坐标原点，且经过
焦点为
(，0准, 线m方程) 为 4
.
y=- m
4
例1 一种卫星接收天线的轴截面如
图所示，卫星波束呈近似平行状态射
入轴截面为抛物线的接收天线，经反
射聚集到焦点处.已知接收天线的口
径（直径）为4.8m，深度为0.5m，试
建立适当的坐标系，求抛物线的标准
方程
y
和焦点坐标.
方程：y2＝11.52x 焦点：（2.88，0）
课题引入
二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的
图象是一条抛物线，如果从解析几何 的观点研究抛物线，首先必须明确抛 物线的几何特征，然后建立抛物线的 标准方程，这是本节课要探讨的问题.
轨迹
探究（一）：抛物线的概念
H
M
平面内与一个定点F的
距离和一条定直线l(l不 l F 经过点F)的距离相等的 点的轨迹叫做抛物
O
x
例2 求准线平行于x轴，且截直线
y＝x－1所得的弦长为 10 的抛物线的
标准方程.
x2＝5y或x2＝－y.
例3 过抛物线y2＝4x的焦点F作直线 l，交抛物线于A、B两点，求线段AB 的中点M的轨迹方程. y A
y2＝2(x－1).
M Fx OB
思考题： 已知抛物线的焦点F在y轴正半轴上，A为抛物线上一点，M为抛物线的准线与y 轴的交点，且|AM|＝ ，|AF|＝3，求抛物线的标准方程.
问题提出
t
p


1 2

5730
1.抛物线的几何特征、标准方程
和一 般方程分别是什么？
几何特征：
到焦点的距离和到准线的距离相等．
标准方程： y2＝±2px或x2＝±2py（p＞0）.
一般方程： y2＝mx或x2＝my（m≠0）.
2.抛物线y ＝mx和x ＝my的焦点坐 (ym,a0x)2 bxc(a 0) 4
线．点F叫做抛物线的
焦点，直线l叫做抛物线 的准线.
思考：为什么规定点F不在直线l
上？ l
M
H
M
F
F
l
总结：平面内到一个定点F的距离 与到一条定直线l(不经过点F)的 距离之比为常数e的点的轨迹与常 数e的取值有关，具体怎样分类？
当 0＜e＜1时轨迹是椭圆，
当e＞1时轨迹是双曲线 ; 当e＝1时轨迹是抛物线.
2.抛物线的标准方程有哪几种形式？ 其焦点坐标和准线方程分别是什么？
ly
O
F x x2 y2 1 43 x2 y2
1
F
26
yl
O xl x2 y2 1 43 x2 y2 1 26
y
F
O
x
y l
O
Fx
y2＝2px y2＝－2px
( p , 0) 2 x=- p
2
(- p , 0) 2
练习：二次函数y＝ax2(a≠0)的
图象是抛物线，其焦点坐标和准
线方程分别是什么？
焦点 (0, 1 )
为
4a ，
准线方程为 y = - 1 4a
理论迁移
例1 已知抛物线的标准方程是y2＝ 6x，求它的焦点坐标和准线方程.
焦点为
(，3准,线0方)程为
2
.
x=- 3 2
例2 已知抛物线的焦点坐标是 F(0，－2)，求它的标准方程．
1 4
2.抛物线的标准方程有4种形式，并且二次项系数为1，一次项及其系数的符号能确定抛物 线的开口方向，一次项系数的是焦点的非零坐标值.
1 4
作业： P59练习：1，2，3. 学海 第9课时
2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程 第二课时
复习回顾
1.抛物线的定义是什么？H M
F l
平面内与一个定点F的距离和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹.
作业： P63练习：1，3. 学海 第10课时
2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质 第二课时
复习回顾
抛物线y2＝2px（p＞0）的范围、
对称性、顶点、离心率、焦半径分别
是什么？ 范围：x≥0，y∈R；
对称性：关于x轴对称；
顶点：原点；
离心率：e＝1；
焦半径：
| MF
|=. x 0 +
p 2
y
A
y2 16x或x2 8y.
O
x
4 3p
B
小结作业
1.抛物线只有一条对称轴，没有对称点，焦点在对称轴上，抛物线的对称轴就是焦点与顶 点的连线，任何一条平行于对称轴的直线与抛物线有且只有一个公共点.
1 4
2.抛物线只有一个顶点和一个焦点，离心率恒为1，且抛物线没有渐近线.
3.对于开口向右、向左、向上、向下的抛物线的几何性质，其顶点、离心率相同，对称 轴不都相同，范围各有不同.
一动点，过点B作AB的垂线，交直线a
于点C，在CB的延长线上取点P，使BP
＝BC， 则点P的轨迹
D
P
B
是什么？
C
Aa
b
以点A为焦点的抛物线.
探究（二）：抛物线的一般式方程
思考1:抛物线方程y2＝2px(p＞0)与 y2＝－2px(p＞0)有什么共同特点？ 这两个方程可以合成一个什么形式的 方程？ y2＝mx(m≠0)
课题引入：过抛物线的焦点F作直线
交抛物线于A、B两点，线段AB叫做
抛物线的焦点弦，今天我们一起探
讨抛物线的
y
A
焦点弦性质.
O
F
x
B
探究（一）：焦点弦的代数性质
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物 线 y2＝2px（p＞0）上两点，且AB 为焦点弦.
思考1:焦点弦AB的长如何计算？
yA
O Fx
2
2
标和准线方程分别是什么？
抛物线y2＝mx：
焦点为
m ，准线方程为
；
( , 0)
4
抛物线x2＝my：
x=- m 4
焦点为
m ，准线方程为 (0, )
4
.
y=- m
4
探究（一）：抛物线的基本几何性质
对于抛物线y2＝2px（p＞0） y
类比椭圆、双曲线的几 何性质，讨论抛物线的 O F x 几何性质？
讨论： 已知直线l过定点P(－2， 1)，斜率为k，当k为何值时，直线l 与抛物线 y2＝4x只有一个公共点； 有两个公共点； y 没有公共点？
P O x
思考1：若直线l与抛物线只有一个 公置共关点系， 如则 何直 ？线l与y 抛物线的相对位
O
x
直线l与抛物线相切或与其对称轴平 行.
思考2：过抛物线y2＝2px（p＞0）上 一点M(x0，y0)的切线方程是什么？
26
y
F
O
x
y l
O
Fx
方程 y2＝－2px
焦点 (- p , 0) 2
准线 x = p 2
x2＝2py
(0, p ) 2
y=- p 2
x2＝－2py
(0, - p ) 2
y= p 2
思考6：根据抛物线标准方程确定焦 点所在坐标轴和非零坐标有什么规律？
焦点在一次项对应的坐标轴上，其非 零坐标等于一次项系数的四分之一.
方程y2＝2px(p＞0)叫做抛物线的标 准方程，它所表示焦点在x轴正半轴 上，开口向右的抛物线.
y l
OF x
思考4:若抛物线顶点在原点，焦 点在坐标轴上，其开口方向有哪 几种可能？
向左、向上、向下.
思考5：下列各图中抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程分别是什么？
yl
x2 y2
F
O x l 1 43 x2 y2 1
|AB|＝x1＋x2＋p
B
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线 y2＝2px（p＞0）上两点，且AB为焦点弦.
思考2：抛物线的焦点弦 AB的长是否存在最小值？ 若存在，其最小值为多 y A 少？ 垂直于对称轴的焦点弦 O F x 最短，叫做抛物线的通 B 径，其长度为2p．
思考1:如图，一个动圆M经过一定点A，
且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是
什么？
l M
A
以点A为焦点，直线l为准线的抛物 线.
思考2:如图，一个动圆M与一个定圆C 外切，且与定直线l相切，则圆心M的 轨迹是什么？
M
l
C
以点C为焦点的抛物线.
思考3:如图，两定直线a、b互相垂直，
点A为直线a上一定点，点B为直线b上
点 M (2, 2 2) ，求它的标准方程.
y2＝4x
探究（二）：抛物线的拓展几何性质
思考1:在抛物线方程y2＝2px（p＞0）
中，参数p的变化对抛物线的形状产
生什么影响？
y
OF x
p值越大，抛物线开口也越 大．（对同一个x值， p值越大， |y|也大）
思考2:设点M为抛物线y2＝2px（p＞0）
上一动点，O为原点，当点M沿抛物线
向远处运动时，直线OM的斜率如何变
化？
y M
k = y = 2p
O
x
xy
直线OM的斜率逐渐减少并趋向于0.
思考3：抛物线y2＝2px（p＞0）上 的计点算公M(式x0，？y0)到焦点y F的M距离有何
H
焦半径公式
OF x
p | MF |= x0 + 2
（三）直线与抛物线的位置关系
思考题：点P是抛物线x2=4y上一 动点，点A的坐标为（12,6）， 求点P到点A的距离与到x轴的距 离之和的最小值.
需要先判断点与抛物线的位置关系
பைடு நூலகம்
小结作业
1.椭圆、双曲线、抛物线的定义特征可统一为：到一个定点的距离与到一条定直线的距离 之比为常数，抛物线即为椭圆与双曲线的“分界线”，这体现了对立统一的辨证思想.
探究（二）：抛物线的标准方程
思考1:比较椭圆、双曲线标准方程的
建立过程，如何建立坐标系才能使抛
物线的方程最简单？
y HM
由抛物线定义可知，当 O F x 抛物线的焦点和准线一 定时，所对应的抛物线 惟一确定,设焦点与准线的距离为p.
思考2:设|KF|＝p(p＞0为常数)，那
么焦点F的坐标和准线l的方程分别是
思考2：抛物线y2＝mx(m≠0)的开口
方向与m的取值有什么关系？其焦点
坐标和准线方程分别是什么？
焦点为
m ，准线方程为
.
( , 0)
x=- m
4
4
思考3:抛物线方程x2＝2py(p＞0)与 x2＝－2py(p＞0)有什么共同特点？ 这两个方程可以合成一个什么形式的 方程？ x2＝my(m≠0)
思考4：抛物线x2＝my(m≠0)的开口 方向与m的取值有什么关系？其焦点 坐标和准线方程分别是什么？
2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程 第一课时
复习回顾
t
p


1 2

5730
1.椭圆和双曲线的统一方程是什么？
Ax2＋By2＝1（AB≠0，A≠B）
2.椭圆和双曲线有什么共同的几何 特征？
到焦点的距离与到相应准线的距 离之比等于离心率.
y ax2 bx c(a 0)
y0y＝p(x0＋x) y
M
O
x
理论迁移
例2 斜率为1的直线l经过抛物 线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相 交于A、B两点，求线段AB的长.
yA
|AB|＝8
O Fx B
y2 16x.
例3 正三角形的一个顶点在原点，
另两个顶点A、B在抛物线y2＝2px（p
＞0为常数）上，求这个正三角形的
边长.
x2＝－8y.
y2 16x.
例3 求满足下列条件的抛物线的
标准方程：
（1）过点（－3，2）；
（2）焦点在直线x－2y－4＝0上.
y
y
M
O
x x2 y2 1
43 x2 y2 1
26
O
Fx F
（1） y2 4 x或x2 9 y
3
2
（2） y2 16x或x2 8 y.
d =| x1 - x2 | 1 + k2
3.当直线与圆锥曲线相交时，利用 可解决弦长问题，利用“代点相减”可沟通弦的中点与直线的斜率之间的关系，
这是解析几何中的基本技巧.
d =| x1 - x2 | 1 + k2
作业： P64习题2.3A组：1，2.
2.3 抛物线
2.3.2 抛物线的简单几何性质 第一课时
什么？
y
H
M
KO F x
焦点为 准线l的方程为
F，( p , 0) 2
. x p 2
(x p)2 y2 x p
2
2
思考3：根据抛物线定义，抛物线的
原始方程是什么？化简后的方程是什
么？
y
H
M
原始方程：
(x p)2 y2 x p
2
2
KO F x
化简得 y2＝2px.
x= p 2
x2＝2py x2＝－2py
(0, p) 2
y=- p 2
(0, - p ) 2
y= p 2
y2 16x.
课前练习：若点M到点F（4，0）的距 离比它到直线l:x＋5＝0的距离少1， 求点M的轨迹方程. y M
l
y2 16x或x2 8y.
y2 16x.
OF x
探究（一）：抛物线的生成方式
y
F
CA
O
x
MB
x2＝8y
17
y
C
A
F
O
x
M
B
x2＝4y
小结作业
1.以抛物线定义为理论依据，探究抛物线的各种生成方式，是一个研究性学习课题，我们 可从中感受到数学的无穷魅力.
2.抛物线标准方程中的参数p是正数，一般方程中的参数m是非零实数.求抛物线标准方程 时，若焦点位置不确定，可将抛物线方程设为一般式，用代定系数法求解.