导数与微分复习

习题课 导数与微分
一、 导数和微分的概念及应用 二、 导数和微分的求法
一、 导数和微分的概念及应用
• 导数 :
当 时,为右导数
当
• 微分 :
时,为左导数
• 关系 : 可导
可微
• 应用 :
(1) 利用导数定义解决的问题
1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则
2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题. (2)用导数定义求极限 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用
2
且
存在, 问怎样
处有二阶导数.
f (x)
ax bx c , x 0 g ( x) , x0
解: 由题设 f (0) 存在, 因此 f (0 ) f (0 ) f (0) , 1) 利用 连续, 即 在
得 c g (0)
2) 利用 f (0) f (0) , 而 g ( x) g (0) f (0) lim g (0) x0 x 0 (ax 2 bx c) g (0) f (0) lim b x0 x 0
例6.设
其中
可微 ,
解: d y sin e x d(esin x ) esin x d(sin e x )
sin e e
x
sin x
d(sin x) esin x cos e x d(e x )
e
sin x
e x cos e x ) dx (cos x sin e
x
例7. 选择 可使下述函数在
例4.设
试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求 解: f (x)
ax b , 1 ( a b 1) , 2
x2 ,
x 1 x 1 x 1
f x 1时， ( x) 2 x.
x 1时, f ( x) a ;
f (1 ) f (1 ) f (1)
d 2 d 2 ( x), f ( x) 2 f ( x) f f ( x) 2 dx dx 2 f ( x) f ( x) 0 2 f ( x)[ f ( x) f (1)] lim lim 0 x 1 x 1 x 1 x 1
当x 1时，右边 0.
2
二、 导数和微分的求法
x t 2 2 t 例8.设由方程 2 t y sin y 1 (0 1)
确定函数 y y (x) , 求 解:方程组两边对 t 求导,得
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
2
2 (t 1)3 (1 cos y ) 2

(1 cos y ) 2 2 t 2 (t 1) sin y 2 (t 1)3 (1 cos y )3
极坐标系与直角坐标系
Y . P(X,Y)
(r , )
θ O X
x r cos y r sin
dy dy t dx dt dx (t 1)(1 cos y ) dt
d ( t d (dy ) ) d y d t dx d t (t 1)(1 cos y ) dx d x2 2 (t 1) dt dy (1 cos y) t (t 1) sin y dt
f (x) 在 x 百度文库 2 处连续,且 lim f ( x) 3 , 例3.设 x 2 x 2 求 f (2) . lim f ( x) lim[( x 2) f ( x) ] 0 解: f (2) x2 x 2 ( x 2)
f ( x) f (2) f (2) lim x 2 x2 f ( x) lim 3 x 2 x 2

利用 f ( x) 在 x 1 处可导，得
f (1) f (1)
即
a b 1 1 (a b 1) 2
a2
f (x)
ax b , 1 ( a b 1) , 2
x2 ,
x 1 x 1 x 1
x 1时，f ( x) 2 x
得
b g (0)
ax 2 bx c , x 0 f (x) g ( x) , x0
c g (0)
b g (0)
3) 利用 f (0) f (0) , 而
g ( x) g (0) f (0) lim g (0) x0 x 0 ( 2ax b) b f (0) lim 2a x0 x 0 1 得 a g ( 0) 2
x r ( ) cos y r ( ) sin
例1.设 f ( x0 ) 存在,求
f ( x0 x ( x) 2 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
解:
f ( x0 x ( x) 2 ) f ( x0 ) x ( x) 2 原式= lim 2 x 0 x x ( x)
x 1时, f ( x) a ,
a 2 , b 1,
f (1) 2
2 , x 1 f ( x) 2 x , x 1
判别: 是否为连续函数 ?
作业P17-18 3 2）设
求
4 设
5 设对任何
同步P49 1（2） 设函数 的某个邻域内有定义，则 处可导的一个充分条件是：
f ( x0 )
f (sin 2 x cos x) . 例2.若 f (1) 0 且 f (1) 存在 , 求 lim x x 0 (e 1) tan x f (sin 2 x cos x) 解: 原式 = lim x 0 x2
且 联想到凑导数的定义式
f (1 sin 2 x cos x 1) f (1) sin 2 x cos x 1 lim 2 x 0 sin x cos x 1 x2 1 1 f (1) (1 ) f (1) 2 2
1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧 (1) 求分段函数的导数 注意讨论界点处左右导数是否存在和相等 (2) 隐函数求导法 (3) 参数方程求导法
对数微分法
转化
极坐标方程求导
(4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性) 逐次求导归纳 ; (5) 高阶导数的求法 间接求导法;利用莱布尼兹公式.
在点 在点
同步P52 B 5 设
求
P52 11.设函数 f ( x)在x 1处二阶可导，证明 d d2 2 2 (1) f (1) 0，则在 x 1处有 若f f ( x ) 2 f ( x). dx dx 证明 : d f ( x 2 ) f ( x 2 )2 x, 当x 1时，左边 0. dx