线性空间练习题

线性空间练习题

一、单项选择题

R 3中下列子集( )不就是R 3的子空间.

A.}1|),,{(233211=∈=x R x x x w

B.}0|),,{(333212=∈=x R x x x w

C.}|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈=

D.}|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈= 二、判断题

1、设n n P V ⨯=则{,0}n n

W A A P A ⨯=∈=就是V 的子空间、

2、已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间,则维(V )＝2、

3、设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组

12,,,s αααL 线性表出,则维(W)＝s

4、设W 就是线性空间V 的子空间,如果,V W W αβαβ∀∈∉∉，，且则必

有.W α

β+∉

三、1.已知},|00{1R b a b a W ∈⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=,},,|00{11112R c a c a W ∈⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=就是22

R ⨯的两个子空间,求2121,W W W W +⋂的一个基与维数.

2.已知α关于基},,{321βββ的坐标为(1,0,2),由基},,{321ααα到基},,{321βββ的过

渡矩阵为⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛012001423,求α关于基},,{321ααα的坐标.

四、设n P 就是数域P 上的n 维列向量空间,2,n n A P A A ⨯∈=且

记n W AX X P W X X P AX n 12{},{,0},=∈=∈= 1、证明:21,W W 都就是n P 的子空间; 2、 证明:21W W P n ⊕=、

线性变换练习题

一、填空题

1.设123,,εεε就是线性空间V 的一组基,V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵就是

33112233(),,ij A a x x x V αεεε⨯==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝_________,而可逆矩阵T ＝

_________满足1

,B T

AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为_________ 、

2.设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵,定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ: (),n A P σξξξ=∈,

则1

(0)σ-＝_______,()1dim (0)σ-＝______,()

dim ()n P σ＝_____ 、

3.复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的与等于________ ,而全体特征值的积等于_______ 、

4.设σ就是n 维线性空间V 的线性变换,且σ在任一基下的矩阵都相同,则σ为________变换 、

5.数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为_______维线性空间,它与________同构、

6.设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ,()f x 为任一多项式,则()f A 的全体特征值为________ 、

二、判断题

1.设σ就是线性空间V 的一个线性变换,12,,,s V ααα∈L 线性无关,则向量组12(),(),,()s σασασαL 也线性无关、 ( )

2.设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换,则由σ的秩＋σ的零度＝n ,有1

()(0).V V σσ-=⊕ ( )

3.在线性空间2R 中定义变换σ:(,)(1,)x y x y σ=+,则σ就是2

R 的一个线性变换、 ( ) 4.若σ为n 维线性空间V 的一个线性变换,则σ就是可逆的当且仅当1

(0)σ-＝｛0｝、 ( ) 5.设σ为线性空间V 的一个线性变换,W 为V 的一个子集,若()W σ就是V 的一个子空间,则W 必为V 的子空间、 ( )

三、计算与证明

1.设00111100A a ⎛⎫

⎪

= ⎪

⎪⎝⎭,问a 为何值时,矩阵A 可对角化? 并求一个可逆矩阵X,,使-1X AX=.Λ、

2.在线性空间n

P 中定义变换σ:122(,,,)(0,,,)n n x x x x x σ= (1)证明:σ就是n P 的线性变换、

(2)求()n

P σ与1

(0).σ

-

(3)1()(0).n

n

P P σσ-⊕=

3.若A 就是一个n 阶矩阵,且2A A =,则A 的特征值只能就是0与1、

欧氏空间练习题

一、填空题

1.设V 就是一个欧氏空间, V ξ∈,若对任意V η∈都有(,)0ξη=,则ξ＝_________.

2.在欧氏空间3R 中,向量(1,0,1)α=-,(0,1,0)β=,那么(,)αβ＝_________,α＝_________.

3.在n 维欧氏空间V 中,向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标就是12(,,,)n x x x L ,那么(,)i ξη＝_________,ξ＝_________.

4.两个有限维欧氏空间同构的充要条件就是__________________.

5.已知A 就是一个正交矩阵,那么1

A -＝_________,2

A ＝_________.

二、判断题

1.在实线性空间2R 中,对于向量1212(,),(,)x x y y αβ==,定义1122(,)(1)x y x y αβ=++,那么2

R 构成欧氏

空间。( )

2.在n 维实线性空间n R 中,对于向量1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==L L ,定义11(,)a b αβ=,则n

R 构成欧

氏空间。 ( )

3.12,,,n εεεL 就是n 维欧氏空间V 的一组基,1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y L L 与分别就是V 中的向量,αβ在这组基下的坐标,则1122(,)n n x y x y x y αβ=+++L 。( )

4.对于欧氏空间V 中任意向量η,

1

η

就是V 中一个单位向量。( ) 5.12,,,n εεεL 就是n 维欧氏空间的一组基,矩阵()

ij

n n

A a ⨯=,其中(,)ij i j a εε=,则A 就是正定矩阵。( )

6.设V 就是一个欧氏空间,,V αβ∈,并且αβ=

,则αβ+与αβ-正交。( )

7.设V 就是一个欧氏空间,,V αβ∈,并且(,)0αβ=,则,αβ线性无关。( ) 8.若,στ都就是欧氏空间V 的对称变换,则στ也就是对称变换。( )

三、计算题

1.把向量组1(2,1,0)α=-,2(2,0,1)α=扩充成3

R 中的一组标准正交基、