斐波那契数列的通式求解

斐波那契数列的通式求解

斐波那契数列[1]指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21……，每一项是其前面两项之和，即有通式：F0=0，F1=1，F2=1，F n+2=F n+1+F n（n∈非负整数）。

下面通过线性代数的方法来求得斐波那契数列的通式F n。

令U n=[F n+1F n]，则F n+2=F n+1+F n F n+1=F n+1可表示为U n+1=[1110]U n，因此，U n=A n U0。若λ1是矩阵A的特征根，相应的特征向量为x1，则有A n x1=λn x1，因此，若把U0表示成A的特征向量的线性组合，则U n可表示成A的特征向量的线性组合。

求解det(A−λI)=det([1−λ11−λ])=λ2−λ−1=0，可得A的特征根分别为：λ1=1+5√2≈1.618、λ2=1−5√2≈−0.618，相应的特征向量为x1=[λ11]、x2=[λ21]，则有：U0=[10]=x1−x2λ1−λ2。因此，斐波那契数列第n和n+1项为

U n=[F n+1F n]=(λ1)n x1−(λ2)n x2λ1−λ2

第n项为

F n=15√⎡⎣(1+5√2)n−(1−5√2)n⎤⎦

由上面的通式可以看出，当n→∞时，F n→15√(1+5√2)n，相邻两项之比

F n+1F n→15√(1+5√2)≈0.618，即是当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越

来越逼近黄金分割0.618。

以下列举斐波那契数列应用于组合数学的例子：

（1）有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法？这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。

（2）类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？答案是F12=144种。

（3）求递推数列a1=1，a n+1=1+1a n的通项公式？由数学归纳法可以得到：a n=F n+1F n，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。

参考：

[1] /view/816.htm

[2] Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra, 4th edition.