柯西(Cauchy)中值定理与汇总

4
2
例 2 求lim1 cos x ． xπ tan x
解 lim1 cos x = lim sin x = 0．
xπ tan x
xπ 1
cos2 x
π arctan x
例 3 求 lim 2
．
x
1
x
解
π arctan x
lim 2
x
1
x
=
lim
x
1
1
x 1 x2
2
=
lim
x
1
x
2
x
2
=
(1) 每次使用法则前，必须检验是否属于 0或 0
未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；
(2) 如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，
则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3) 当lim f (x) 不存在(不包括 的情况)时，并不 g(x)
能断定lim f(x) 也不存在，此时应使用其他方法求极限． g(x)
因为 x1, x2 是 (a,b) 内的任意两点，于是上式表明 f (x) 在 (a,b) 内任意两点的值总是相等的，即 f (x) 在 (a,b)内是一个常数，证毕．
推 论 2 如 果 对 (a,b) 内 任 意 x ， 均 有 f (x) g(x)，则在(a,b) 内 f (x)与 g(x)之间只差一个 常数，即 f (x) g(x) C （C 为常数）．
1．
例4
求
lim
x
ln x xn
(n
0).
1
解
lim
x
ln x xn
lim
x
x nx n 1
lim
x
1 nx
n
0．
除未定型0 与 之外，还有0 , ,00 ,1 ,0等未 0
定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应
的书籍，下面就 未定型再举一例．
例5
求
lim x1
x
x
1
1 ln x
．
一、 拉格朗日中值定理 二、 两个重要推论 三、 函数的单调性
一、拉格朗日中值定理
定理 1 如果函数 f (x) 满足下列条件： （1） 在 区间[a,b] 上连续； （2） 在开区间(a,b) 内可导，那么，在(a,b) 内 至少有一点 ξ ，使得
f (b) f (a) f ( )(b a) . 如果令 x a, Δx b a，则上式为
响．令 f (x0 ) g(x0 ) 0，则 f (x) 与g(x) 在点 x0 就连
续了．在 x0 附近任取一点 x，并应用柯西中值定理，
得
f (x) f (x) f (x0 ) f ( ) g(x) g(x) g(x0 ) g( )
(ξ在 x 与 x0之间) .
由于 x x0时，ξ x0，所以，对上式取极限便得要证 的结果，证毕．
一、 柯西中值定理 二、 洛必达法则
一、 柯西中值定理 定理 1（柯西中值定理）如果函数 f (x)与 F (x)满
足下列条件： (1) 闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导； (3) F '(x)在(a,b)内的每一点均不为零，那么，在
(a, b) 内至少有一点ξ，
使得 f(b) f(a) f ( ) . F(b) F(a) F( )
思考题
1．用洛必达法则求极限时应注意什么？
2．把柯西中值定理中的“ f (x) 与 F(x)在闭区间 [a,b]上连续”换成“ f(x)与F (x)在开区间 (a,b)内连续” 后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画 出函数图象）说明．
第二节 拉格朗日（Lagrange）中值 定理及函数的单调性
解 这是 未定型，通过“通分”将其化为
0 未定型．
0
lim x1
x
x
1
1 ln x
lim
x1
x
ln (x
x (x 1) 1) ln x
lim
x1
x1 x ln
ln x 1 x x 1
x
1
lim ln x lim x 1 .
x1 1 1 ln x x
x 1
1 x2
1 x
2
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
f (x Δx) f (x) f '(ξ)Δx ,
其 中 ξ 介 于 x 与 x Δx 之 间 ， 如 果 将 ξ 表 是 成 ξ x Δx(0 1)，上式也可写成
f (x x) f (x) f '(x x)x (0 1) .
拉格朗日中值定理x)在区间(a,b)内满足 f '(x) 0，则在(a,b)内 f (x) C （C 为常数）．
二、洛必达法则
把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限
称为 0 型或 型不定式(也称为 0 型或 型未定型)
0
0
的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限
方法．
定理 2 (洛必达法则) 若
(1) lim f (x) 0，lim g(x) 0；
xx0
xx0
(2) f (x)与 g(x)在 x0的某邻域内（点 x0可除外） 可导，且 g'(x) 0；
(3) lim f (x) A( A 为有限数，也可为 或 )，则 xx0 g(x) lim f (x) lim f (x) A . xx0 g(x) xx0 g(x)
证 由于我们要讨论的是函数在点 x0 的极限，
而极限与函数在点 x0 的值无关，所以我们可补充 f (x)
与g(x)在x0 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影
注：上述定理对 x 时的 0 未定型同样适用，对于 0
x x0或 x 时的未定型
，也有相应的法则．
例1
求
lim
x1
x3 x3 x
3x 2
x
2
． 1
解
lim
x 1
x3 x3 x
3x 2
x
2
1
=
lim
x 1
3x2 3x2
3 2x
1
= lim 6x = 6 = 3 ．
x1 6x 2
第四章 一元函数微分学的应用
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（L’Hospital）法则
第二节 拉格朗日（Lagrange）中值定理 及函数的单调性
第三节 函数的极值与最值
*第四节 曲 率
第五节 函数图形的描绘 第六节 一元函数微分学在经济上的应用
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与洛必 达（L’Hospital）法则
证 设 x1, x2 是 区 间 (a,b) 内 的 任 意 两 点 ， 且
.
x1 x2，于是在区间[x1, x2 ]上函数 f (x)满足拉格朗日
中值定理的条件，故得
f (x2 ) f (x1) f (ξ)(x2 x1) (x1 ξ x2 ),
由于 f (ξ ) 0，所以 f (x2 ) f (x1) 0，即 f (x1) f (x2 ).