第四节 广义积分

©
b
+∞
例1. 计算广义积分 解:
π =π = − (− )
π
2
=[arctan x] −∞
2
+∞
y
1 y= 1+ x2
思考: 思考 分析: 分析
O
x
注意: 对广义积分, 注意 对广义积分 只有在收敛的条件下才能使用 偶倍奇零” 的性质, “偶倍奇零” 的性质 否则会出现错误 .
©
例2. 计算广义积分
第四节
第五章 五
广义积分
常义积分
推广
积分限有限 被积函数有界
反常积分 (广义积分) 广义积分)
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分
©
一、无穷限的广义积分 引例. 引例 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
x2 其含义可理解为 b b dx −1 A = lim ∫ 2 = lim b→+∞ x 1 b→+∞ 1 x
©
1 1− p ,
p <1 p>1
例+. 证明广义积分 时发散 . 证: 当 q = 1 时, 当 q≠1 时
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
= [ ln x − a ]
1−q b
b a
+
= +∞
q <1 q >1
( x − a) = 1− q
= a+ + ∞ ,
©
备用题1 备用题1 试证 解:
∫
+∞
0
2 +∞ x dx d x, 并求其值 . =∫ 4 0 1+ x4 1+ x
令t = 1 x
+∞
1 1 ∫+∞1+ 14 (− t 2 ) d t t
0
=∫
∴
0
t2 dt 4 1+ t
∫
+∞
0
2 +∞ +∞ d x dx 1 x d x = ∫ +∫ 4 4 4 0 1+ x 1+ x 2 0 1+ x
= − lim
b → +∞
∫
b
2 π
1 1 cos 1 sin d = lim x x b → +∞ xπ 2
b
π 1 = lim cos − cos = 1. b→ +∞ b 2
©
例3.计算广义积分 3.计算广义积分 解
∫
+∞
arctan x
1
A= ∫
+∞ dx
y=
1 x2
1− 1 = lim =1 b→+∞ b
©
1
b
定义1. 定义1. 设 f (x) ∈C[a, + ∞), 取b > a, 若
的无穷限广义积分, 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分 记作
这时称广义积分 就称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在 如果上述极限不存在, 发散 .
开口曲边梯形的面积可记作 开口曲边梯形的面积可记作
y
1 y= x
其含义可理解为
1 dx = lim 2 x A = lim ∫ + ε ε →0+ ε →0 ε 0 x = lim 2(1− ε ) = 2 +
1
ε
x
ε →0
©
定义2. 的右邻域内无界, 定义2. 设 f (x)∈C(a, b], 而在点 a 的右邻域内无界 若极限 存在 , 则称此极限为函
©
2002年考研数学 一)填空 分 年考研数学(一 填空 填空3分 年考研数学 1.计算 计算 解
∫e
+∞
1 dx 2 x ln x
+∞
∫e
+∞
1 1 1 =1 dx = ∫ dlnx = − 2 2 e ln x ln x e x ln x
2002年考研数学 二)填空 分 年考研数学(二 填空 填空3分 年考研数学
内容小结 1. 广义积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限
2. 两个重要的广义积分
+∞,
p ≤1
1 , p >1 ( p −1) a p−1
+∞,
©
q ≥1
说明: 说明: (1) 有时通过换元 , 广义积分和常义积分可以 互 相转化 . 例如 ,
d( x − 1 ) x = ∫ 2 1 dx = ∫ 0 x + 0 ( x − 1 )2 + 2 x x2
1− p
+∞,
a1− p , p −1
p <1
p >1
a1− p 因此, 因此 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为 ; p −1
当 p≤1 时, 广义积分发散 .
©
例5. 计算广义积分 解:
t − pt 原 =− e 原 p
1 − pt =− 2 e p 1 = 2 p
1 +∞ − pt + ∫ e dt p 0
类似地 , 若 f (x) ∈C(−∞, b], 则定义
©
若 f ( x) ∈C (−∞, + ∞) , 则定义
lim ∫a f (x)dx + b→+∞∫c f (x)dx a→−∞ lim
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
c
b
无穷限的广义积分也称为第一类广义积分. 无穷限的广义积分也称为第一类广义积分 说明: 说明 上述定义中若出现 ∞− ∞ , 并非不定型 , 它表明该反常积分发散 .
1
1 1+ x2
1
dt =∫ −∞ 2 + t 2
0
(2) 当一题同时含两类广义积分时 应划分积分区间 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间, 分别讨论每一区间上的广义积分. 分别讨论每一区间上的广义积分
©
反常积分
思考题1 选择题) 思考题 (选择题)
dt dt x 设0 < x < + ∞ , 则∫ ( C ). 2 + ∫0 2 = 0 1+ t 1+ t
+∞
y = xe − x (0 ≤ x < +∞ )下方 x轴上方的 2.位于曲线 下方, 轴上方的 位于曲线 无界图形的面积是
解
A= ∫
+∞
0
xe dx = − ∫
− x +∞ 0
−x
+∞
0
xde
−x
−x
= −[ x e
©
−∫
+∞
0
e dx ] = 1
二、无界函数的广义积分 (瑕积分) 瑕积分) 引例:曲线 引例 曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的
例7. 讨论广义积分 的收敛性 .
−
y=
1 a2 − x2
O
ta
x
1 1 =∞ + − ∫ ∫ x 0+ − 1 = −1−1= −2 , ∴积分收敛 Q∫ 2 = −1 x −1 所以反常积分 x 发散 .
©
0 dx 下述解法是否正确: 下述解法是否正确1dx = − 1 0 = + 解: x −1 x2 0 x2 −1 1 1 dx
ε1→0+
∫a f (x)dx + ∫c f (x)dx c−ε b ∫a f (x)dx+ε lim ∫c+ε →0
1 + 2
c
b
f (x) dx
2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称 无界函数的积分又称作第二类广义积分 为瑕点(奇点 奇点) 为瑕点 奇点 . 说明: 说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 间断点, 则本质上是常义积分, 而不是反常积分. 间断点 则本质上是常义积分 而不是反常积分 例如, 例如
.
∫
+∞
−∞
e
−x
dx
解
∫
+∞
−∞
0
e
−x
dx
+∞ −x 0
= ∫ e dx + ∫ e dx
x −∞
=e
x 0 −∞
-e
- x +∞ 0
=2
©
例+ 计算反常积分
+∞
∫
+∞
2 π
1 1 sin dx . 2 x x
wenku.baidu.com
解
∫
2 π
1 1 +∞ 1 1 sin dx = − 2 ∫π2 sin x d x x x
π π
= ∫ 2 t cos tdt = t sin t 02 − ∫ 2 sin tdt
©
=
π
2
0
+ cos t 02 =
π
π
2
0
−1
例4. 证明第一类 p 积分 时发散 . 证:当 p =1 时有 当
当 p >1 时收敛 ; p≤1
= [ ln x ]
当 p ≠ 1 时有
+∞ a
= +∞
+∞
x = 1− p a
例8. 证明广义积分 时发散 . 证: 当 p = 1 时, 当 p≠1 时
当 p < 1 时收敛 ; p≥1
= [ ln x ] 0 = +∞
1
x1− p 1 = = 1− p 0 + ∞ ,
所以当 p < 1时, 该广义积分收敛 , 时 当 p≥1时, 该广义积分发散 . 时
(b − a)1−q 1− q ,
(b − a)1−q ; 所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 1− q 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
©
例9. 计算广义积分 解:
∫
3
dx
0
( x − 1)
2 3
2 3
∫
3
dx
0
( x − 1)
2 3
=∫
1
dx
0
( x − 1)
上的广义积分, 数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分 记作
这时称广义积分 就称广义积分
如果上述极限不存在, 收敛 ; 如果上述极限不存在 发散 .
的左邻域内无界, 类似地 , 若 f (x) ∈C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界 则定义
©
而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义
= lim
∈ 注意: 注意: 若瑕点 c∈[a , b],则
f (x) dx = F(b) − F(c+ ) + F(c− ) − F(a)
可相消吗? 可相消吗
©
例6+. 计算广义积分 解: 显然瑕点为 a , 所以
−
y
π arcsin x a = arcsin1= 原式 = 1 0 2 a a
1 1 3 0
+∫
3
dx
1
( x − 1)
1 3 3 1
2 3
= 3( x − 1)
.
+ 3( x − 1)
1 3
= lim 3( x − 1) + 3 + 33 2 − lim 3( x − 1) − +
x →1 x →1
1 3
= 3+ 3 2
3
©
dx 例10. 计算广义积分 ∫1 x x −1 2 +∞ +∞ dx dx dx 解 ∫1 x x − 1 = ∫1 x x − 1 + ∫2 x x − 1
1 +∞ 1+ x2 = ∫ dx 4 2 0 1+ x
©
1 1 +∞ x2 +1 dx = ∫ 1 2 2 0 x2 + x
1 +∞ 1 1 d (x − ) = ∫ 1 2 2 0 (x − x ) + 2 x
x− 1 arctan = 2 2 2
1 x +∞
0+
©
2. 解： 积分.
求 的无穷间断点, 故 I 为广义
x 1
( A) arctan x
( B ) 2 arctan x
x 1 x 0
(C )
π
2
(D ) 0
dt dt (0 < x < + ∞ ), 解答 令f ( x ) = ∫0 2 +∫ 2 1+ t 1+ t 1 1 1 f ′( x ) = 2 + 2 ⋅− 2 ≡0 1+ x 1 x 1+ x 恒等于常数. ⇒ f ( x )恒等于常数.当x → + ∞时, 1 π x dt dt π π x f ( x) = ∫ + 0 = ⇒ f ( x) ≡ . 2 + ∫0 2 → 0 1+ t 2 2 2 1+ t
©
则也有类似牛 – 莱公式的 的计算表达式 : 为瑕点, 若 b 为瑕点 则 为瑕点, 若 a 为瑕点 则
∫a
b
f (x) dx = F(b− ) − F(a)
+
∫a f (x)dx = F(b) − F(a
b
)
若 a , b 都为瑕点 则 都为瑕点,
∫a ∫a
b
b
f (x) dx = F(b− ) − F(a+ )
0
f ′(x) I =∫ dx 2 −11+ f (x)
f ′(x) +∫ dx 2 21+ f (x)
令 ，即 x = t 2 + 1 ，则 dx = 2tdt x −1 = t
1 dx 2tdt π 1 =∫ = 2 arctan t 0 = 2 0 t (1 + t ) 2 x x −1
+∞
∫
2
1
+∞ π dx 2tdt +∞ ∫2 x x − 1 = ∫1 t (1 + t 2 ) = 2 arctan t 1 = 2 +∞ dx =π 所以 ∫1 x x −1 © +∞
©
引入记号
F(+∞) = lim F(x) ; F(−∞) = lim F(x)
x→+∞
x→−∞
则有类似牛 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
∫a
+∞
f (x) dx = F(x)
= F(+∞) − F(a) = F(b) − F(−∞) = F(+∞) − F(−∞)
∫−∞ f (x)dx = F(x) ∫−∞ f (x)dx = F(x)
0
(1 + x )
3 2 2
dx
令 arctan x = t ，即 x = tan t ，则
dx = sec tdt
2
，且当 x = 0 时， t = 0
π
2
t 当 x → +∞ 时，→
∫
.
+∞
arctan x
0
(1 + x )
2 2
dx = ∫ 3
π
π
2 0
t
(1 + tan t )
2
3 2
sec 2 tdt