立体几何中的法向量

立体几何中的法向量

现行高中数学教科书第二册（下B）第九章提到了法向量的定义：如果向量⊥平面α，那么向量a叫做平面α的法向量。但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详

细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：

一、求点到平面的距离

设A是平面α外一点，AB是α的一条斜线，交平

面α于点B，而n是平面α的法向量，那么向量BA在n

方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h，

所以

h=

=（1）

例1：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1

D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。

解：如图建立空间直角坐标系，

＝（1，1，0），＝（0，

2

1

，1），

1

DA＝（1，0，

1）

设平面DBEF的法向量为n＝（x，y，z），则有：

n0

=

⋅DB即x＋y＝0

=

⋅

2

1

y＋z＝0

令x＝1, y=－1, z=

2

1

, 取n＝（1，－1，

2

1

），则A1到平面DBEF的距离1

=

=

h

注：此题A1在平面DBEF的射影难以确定，给求解增加难度，若利用（1）式求解，关键是求出平面DBEF的法向量。法向量的求解有多种，可直接利用向量积，在平面内找两个不共线的向量，例如DB和DF，那么n＝DB×DF。但高中教材未曾涉及向量积，这里根据线面垂直的判定定理，设＝（x，y，z），通过建立方程组求出一组特解。二、求异面直线间的距离

假设异面直线a、b，平移直线a至a*且交b于点A，那么直线a*和b确定平面α，且直线a∥α，设是平面α的法向量，那么⊥，⊥。所以异面直线a和b

的距离可以转化为求直线a 上任一点到平面α的距离，方法同例1。

例2：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1

解：如图建立空间直角坐标系，

则AC ＝（－1，1，0），1DA ＝（1，0，1） 连接A 1C 1，则A 1C 1∥AC,设平面A 1C 1D 的

法向量为n ＝（x ，y ，z ）,

0=⋅

由 可解得＝（1，1，－1），又1AA ＝（0，0，1）

01=⋅DA

所以点A 到平面A 1C 1D 的距离为33=

=

h ，即直线DA 1和AC 间的距离为3

3

。 注：这道题若用几何推理，需连结D 1B ，交△DA 1C 1和△B 1CA 分别为E 、F ，并证明△

D 1D

E ≌△B 1BE ，且E

F 恰好等于DA 1和AC 的公垂线段长而且三等分线段D 1B ，进而求解EF ，解题过程几经转化，还需添加大量辅助线，不如用法向量求解更直接简便。 三、求直线与平面所成的角

直线AB 与平面α所成的角θ可看成是向量与平面α的法向量所成的锐角的

余角，所以有==sin θ

（2）

例3：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角。 解：如图建立空间直角坐标系，

＝（0，1，0），1AD ＝（－1，0，1），

AE ＝（0，

2

1

，1） 设平面ABC 1D 1的法向量为＝（x ，y ，z ）, 由 0=⋅AB n 可解得n ＝（1，0，1）

01=⋅AD

设直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角为θ

，则5

10sin =

=

θ， 所以直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角为arcsin 5

10。 四、求二面角的大小

已知二面角α－l －β，点A 是二面角α－l －β内一点，过点A 向α、β引垂线，垂足分别为C 、B ，则AC 、AB 确定平面ABC ，延伸平面ABC ，交直线l 于点D ，根据二面角的平面角的定义，易证∠CDB 就是二面角α－l －β的平面角。∠CDB ＝180°－∠CAB ，而∠CAB 可看成α、β的法向量αn 、βn 所成的角（或其补角）。

例4：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1BC 1与平面ABCD 所成的

二面角的大小。 解：如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），A 1＝（0，1，－1） 设1n 、2n 分别是平面A 1BC 1与平面ABCD 的法向量，

由 011=⋅A n 可解得1＝（1，1，1）

0111=⋅C A n

易知2n ＝（0，0，1）， 所以，

=

3

3

所以平面A 1BC 1与平面ABCD 所成的二面角大小为arccos

33或 π－arccos 3

3。 注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不

同求

出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小。 五、证明两平面平行或垂直

若α∥β， 则 αn ∥βn ；反之也成立。

若α⊥β， 则 αn ⊥βn ；反之也成立。

例5：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F

上任一点，求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC 。 证明：如图建立空间直角坐标系，

则11C A ＝（－1，1，0），B 1＝（－1，0，－1） D A 1＝（1，0，1）， A B 1＝（0，－1，－1） 设111C A E A λ=，D A F A 11μ=，A B M B 11ν=（λ、

μ、 νR ∈，且均不为0）

设1n 、2n 分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量，

由 011=⋅E A n 可得 0111=⋅C A n λ 即 0111=⋅C A n

011=⋅F A n 011=⋅D A n μ 011=⋅D A n

解得：1n ＝（1，1，－1）

由 012=⋅B n 可得 012=⋅A B n ν 即 012=⋅B n

012=⋅B n 012=⋅B n 012=⋅B n

解得2n ＝（－1，1，－1），所以1n ＝－2n ， 1n ∥2n ， 所以平面A 1EF ∥平面B 1MC 。

注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用1n ⊥

2n 021=⋅⇔n n 来证明。

利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。