特殊函数(上)-勒让德多项式和球谐函数(课堂PPT)

[
l 2
]
(1)k
k 0
2l
k
(2l !(l
2k)! k)!(l
2k
)!
xl
2
k
Pl (x).
12
3.勒让德多项式的积分表示
根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
f (l) (z) l!
f ( ) d
2πi C ( z)l1
容易证明微分表示（4.1.10）也可表示为环路积分形式
第四章 特殊函数(上)
——勒让德多项式 球函数
本章主要内容：勒让德多项式的来源、定 义、性质、生成与递推公式，球谐函数。
1
在球坐标系下对拉普拉斯方程分离变量径向部分得到 欧拉型常微分方程
r2
d2R dr 2
2r
dR dr
l(l
1) R
0
（4.1.1）
和球谐函数方程
1
sin
sin
Y
1
sin2
而 (2n 1)!! (2n 1)(2n 3)(2n 5) 5 3 1
因此，(2n)! (2n)!!(2n 1)!!
10
2、勒让德多项式的微分表示
Pl (x)
1 dl 2l l ! dxl
(x2
1)l
（4.1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
下面证明表达式 (4.1.10) 和（4.1.7）是相同的．
1. 勒让德多项式的级数表示
我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 Pl (x) 为
[l]
Pl (x)
2
(1)k
k 0
(2l 2l k!(l
2k)! k)!(l
xl2k 2k)!
（4.1.7）
上式中[l/2]表示不 大于l/2的最大整数
[
l 2
]
l
l, 2 1 2
,
l 2n l 2n 1
【证明】 用二项式定理把 (x 2 1)l展开
1 (x2 1)l 1 l
l!
l
(x2 )lk (1)k (1)k
1
x 2l 2k
2l l!
2l l! k0 (l k)!k!
k0 2l k!(l k)!
11
把上式对x求导 l 次．凡是幂次 (2l 2k) l 的项在
l 次求导过程中成为零，所以只需保留幂次 (2l 2k) l
(3x2
1)
1 4
(3 cos
2
1)
P3 (x)
1 2
(5x3
3x)
1 8
(5cos 3
3 cos
)
P4
(x)
1 8
(35x4
30 x 2
3)
1 64
(35 cos
4
20
cos
2
9)
P5
(x)
1 8
(63x5
70 x3
15 x)
1 128
(63cos 5
35cos 3
30 cos )
P6
(x)
的项，即
k l 2
的项，应取
kmax
[l ] 2
，并且注意到
dl x2l2k (2l 2k)(2l 2k 1) [2l 2k (l 1)]xl2k dxl
因此有
1
dl
(x2 1)l
[
l 2
]
(1)k
(2l
2k )(2l
2k
1)
(l 2k 1) xl2k
2l l ! dxl
k 0
2l k !(l k)!
1 16
(231x6
315x4
105 x 2
5)
1 512
(231cos
6
126
cos
4
105 cos
2
8
50)
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 4.1
9
计算 Pl (0) ，这应当等于多项式 Pl ( x) 的常数项．
如 l 为 2n 1（即为奇数）时， 则 P2n1 (x)
2Y
2
l(l
1)Y
0
（4.1.2）
(4.1.2) 式的解 Y ( ,) 与半径 r 无关，称为球谐函数
，或简称为球函数．
3
球谐函数方程进一步分离变量，令 Y ( , ) ( )( )
得到关于 的常微分方程
1
sin
d
d
sin
d
d
l
(l
1)
m2
sin2
0
（4.1.3）
称为 l 阶连带勒让德l 方程或缔合勒让德方程
Pl
(x)
1 2πi
1 2l
( 2 1)l d C ( x)l1
（4.1.11）
C 为 z 平面上围绕 z x 点的任一闭合回路，
并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式．
13
式（4.1.11）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．
Pl
(x)
1 π
π
(x i
0
1 x2 cos)l d
.
令 x cos 和 y(x) (x)
把自变数从 换为 x ，则方程（4.1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
4
(1
x2
)
d2 y dx2
2x
dy dx
l(l
1)
m2 1 x2
y
0
（4.1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则 m 0，即有
1
sin
14
代入（4.1.11）得到
Pl
(x)
1 2π
2π
(x
0
x2 1 cos)l d
1
π
(x i
1 x2 cos)l d
(4.1.12)
π0
这即为勒让德多项式的拉普拉斯积分表示．
(n 0,1, 2, )
上式具有多项式的形式，故称 Pl (x) 为 l 阶勒让德多项式．
勒让德多项式也称为 第一类勒让德函数．
7
式（4.1.7）即为勒让德多项式的级数表示．
注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
P0 (x) 1
P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
只含奇 数次幂，不含常数项，所以
P2n1 (0) 0
（4.1.8）
l 2n （即为偶数）时．，则 P2n (x) 含有常数项，即
（4.1.7）中 k l 2 n 的那一项，所以
P2n (0)
(1)n
(2n)! 22n n!n!
(1)n
(2n 1)!! (2n)!!
（4.1.9）
式中记号 (2n)!! (2n)(2n 2)(2n 4) 6 4 2
(4.1.12)
【证明】 取 C 为圆周，圆心在 z x ，半径为 x2 1
在 C 上有： x x2 1ei
并注意到
d i x2 1eid i( x)d
2 1 (x x2 1ei )2 1 (x2 1)(1 ei2 ) 2x x2 1ei 2 x2 1ei (x x2 1 cos) 2( x)(x x2 1 cos)
d
d
sin
d
d
Байду номын сангаас
l(l
1)
0
（4.1.5）
称为 l 阶勒让德 (legendre)方程．
5
同样若记 arc cos x， y(x) (x)
则上述方程也可写为下列形式的 l 阶勒让德方程
d [(1 x2 ) dy ] l(l 1) y 0 (4.1.6)
dx
dx
6
4.1.2 勒让德多项式的表示