圆的轴对称性(一)

B
CD为直径 条件
CD⊥AB
CD平分弦AB 结论 CD平分弧A B
CD平分弧ADB
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
例1 已知A⌒B，如图，用直尺和圆规求作这条弧的 中点．(先介绍弧中点概念）
分析:要平分A⌒B,只要画垂直于弦AB的直径.而这 条垂直直平径分应线在就弦能AB把的A⌒垂B直平平分分. 线上.因此画AB的
作法： ⒈ 连结AB. ⒉ 作AB的垂直平分线
A
CD，交弧AB于点E.
点E就是所求弧AB的中点．
C E
B
D
变式： 求弧AB的四等分点．
C
m
E
F
A
n
G
B
D
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少?
解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得:
这条弦的长.
想一想：在同一个圆中，两条弦
.C
的长短与它们所对应的弦心距之
A
D
B 间有什么关系？
5 O
13
答:在同一个圆中，
弦心距越长,所对应的弦就越短;
弦心距越短,所对应的弦就越长.
归纳：
1．作弦心距和半径是圆中 常见的辅助线；
2 ．半径（r)、半弦、弦心 距(d)组成的直角三角形是研 A 究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
的半径.
C
A
D1
3
3
B
O
4.如图，AB是⌒AB所对的弦，AB的垂直平分线DG ⌒交AB于点D，交AB于点G，给⌒出下⌒列结论： ① DG⊥AB ②AG=BD ③BD=AD 其中正确的是_①___②__③__（D只需填写序号）
A
G
B
5、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 求证：A⌒C=⌒BD
O
A
1．若将一等腰三角形沿着底边上的高对折， 将会发生什么?
２．如果以这个等腰三角形的顶点为圆心， 腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图 形呢？
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
C
O
D
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ X ） 结论1：
B
C
D
6.过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点
E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
∴ 重当合,圆⌒ A沿C着和B⌒直C径重合CD, ⌒ A对D折和时B⌒D,点重合A与. 点B
∴A⌒C
⌒
=BC,
A⌒D
⌒
=BD.
结论2：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
A
垂径定理的几何语言叙述:
∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）C E O
D
∴ EA=EB， A⌒C=B⌒C， A⌒D=B⌒D．
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
弦长AB 2 r 2 d 2 .
请用命题的形式表述你的结论.
思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OC平分AB吗？
C
A M└ ●O
D
Fra Baidu bibliotek
证明 : 连接OA、OB,
则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称.
B ∵⊙O关于直径CD对称,
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调：
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴;
（2）圆的对称轴有无数条．
在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦AB,AB
与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你
发现哪些点、线互相重合? 如果把能够重合的圆弧叫做
相等的圆弧,那么在下图中,哪些圆弧相等? A
得 ①E出A=结EB论；：② A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D．
理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
CE O
D
根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合， B
∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合．
∴ EA=EB，
A⌒C=
⌒ BC，
⌒⌒ AD=BD．
弦长AB 2 r2 d 2 .
O．
dr
C
B
2、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且 OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ D ） (A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O 10 P8 6
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB
OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB2 BC2 102 82 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
10 C 88 D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
C
O
A
A
E
B
D
A
O
C
B
A
O
D
B
D
B
O
C
C
A
CB
D
O
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求