高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆

第五节椭圆[备考方向要明了]

考什么怎么考

1.掌握椭圆的定义、几何图形、

标准方程及简单性质．

2.了解圆锥曲线的简单应用．

3.理解数形结合的思想.

1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点考查内容，

三种题型均有可能出现，如2012年山东T10等．

2.直线与椭圆位置关系问题一直是高考的重点，多以解答题

形式考查，难度相对较大，如2012年陕西T19等.

[归纳·知识整合]

1．椭圆的定义

(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆

①在平面内；

②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；

③常数大于|F1F2|.

(2)焦点：两定点．

(3)焦距：两焦点间的距离．

[探究] 1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，则动点的轨迹如何？

提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)

y2

a2＋

x2

b2＝1(a>b>0) 图形

性质范围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

[探究] 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？

提示：离心率e ＝c

a 越接近1，a 与c 就越接近，从而

b ＝a 2－

c 2就越小，椭圆就越扁

平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．

[自测·牛刀小试]

1．椭圆x 216＋y 2

8＝1的离心率为( )

A.1

3 B.12 C.33

D.22

解析：选D ∵a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝8，∴e ＝c a ＝2

2

.

2．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 2

9＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△

AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

解析：选A 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.

3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A.14 B.12 C ．2

D ．4

解析：选A 由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，且a ＝2b ，则1m ＝4，得m ＝1

4

.

4．若椭圆x 216＋y 2

m 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )

A ．2 3

B ．2 5

C ．4 3

D ．4 5

解析：选C 把点(－2，3)的坐标代入椭圆方程得m 2＝4，所以c 2＝16－4＝12，所以c ＝23，故焦距为2c ＝4 3.

5．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 2

16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中

点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．

解析：由题意知|OM |＝1

2|PF 2|＝3，则|PF 2|＝6.故|PF 1|＝2×5－6＝4.

答案：4

椭圆的定义、标准方程

[例1] (1)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2

＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且

椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 是周长是( )

A ．23

B ．6

C ．4 3

D ．12

(2)(2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2.双曲线x 2－y 2＝1的渐

近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )

A.x 28＋y 2

2＝1 B.x 212＋y 2

6＝1 C.x 216＋y 2

4

＝1 D.x 220＋y 2

5

＝1 [自主解答] (1)根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4 3. (2)由离心率为

3

2

得，a 2＝4b 2，排除选项B ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A 、C 、D ，知选项D 正确．

[答案] (1)C (2)D —————

——————————————

用待定系数法求椭圆方程的一般步骤

(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；

(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或x 2b 2＋y 2

a 2＝1(a >

b >0)；

(3)找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 或m 、n 的方程组； (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.

注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0).

1．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为

3

2

，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．

解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据椭圆定义2a ＝12，即a ＝6，又c a ＝3

2，得

c ＝33，故

b 2＝a 2－

c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为

x 236＋y 2

9

＝1. 答案：x 236＋y 2

9

＝1

2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且

PF u u u r 1⊥PF u u u r

2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.

解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和△PF 1F 2是一个面积等于9的直角三角形，

有⎩⎪⎨⎪

⎧

|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ①|PF 1|·|PF 2|＝18， ②|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2. ③

①式两端平方并把②、③两式代入可得4c 2＋36＝4a 2， 即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，故b ＝3. 答案：3

椭圆的几何性质及应用

[例2] (2012·安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝

1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.