山西晋中市2018-2019学年高二上学期期末调研测试数学(理)试题及答案解析

，故选 D．
【点睛】对于曲线
，
（1）如果该曲线为椭圆，则
，更一步地，如果表示焦点在 轴上的椭圆，则有
；
如果表示焦点在 的椭圆，则
；
（2）如果该曲线为双曲线，则
，更一步地，如果表示焦点在 轴上的双曲线，则有
；如
果表示焦点在 的双曲线，则
．
2.下列说法错误的是
A. 棱柱的侧面都是平行四边形
B. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥
项 C 可以得到平面 同时和一条直线垂直，所以 ，所以 C 中的条件是 的充分条件．
【详解】A 这种情况下， 可能相交，让 都和交线平行即可；
B 这种情况下， 可能相交，让 都和交线平行即可；
C 因为
，又 ，因同时和一直线垂直的两平面平行，故 ；
D.如果 ，也存在 ，且
．
故选：C．
【点睛】面面平行的判定可以由线面平行得到，但两条直线必须是一个平面中的两条相交直线．如果一条
∴；
∴
；
∴m＝2． 故答案为：2．
【点睛】考查直线方向向量的概念，向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．
14.已知命题“ ∈[1，2]，
”是真命题，则实数 a 的取值范围为______．
【答案】 【解析】 【分析】
由题意可得 2a＜x0 在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求 a 的范围． 【详解】命题“∃x0∈[1，2]，x02﹣2ax0+1＞0”是真命题，
根据图像得到当 tx﹣y+t﹣2＝0 与圆 x2+y2＝1 相切时 t 取最小值，
由
1得t ，
所以原式的最小值为 1
，
故选：B．
【点睛】本题考查了基本不等式及其应用，圆的切线，数形结合思想，属中档题．一般直线和圆的题很多
情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化
【详解】
设球的半径为 r，由球 O 得表面积为 12π， 得 4πr2＝12π，则 r ，即正方体棱长为 ， 根据题意知，平面 ACD1 是边长为 的正三角形， 且球与以点 D 为公共点的三个面的切点恰为三角形 ACD1 三边的中点， 故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积， 则由图得，△ACD1 内切圆的半径是 tan30° ，
则所求的截面圆的面积是 π
2π．
故选：C． 【点睛】本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象 能力，是中档题．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或 线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、 外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
过 P 作 PB 垂直直线 y＝﹣2 角 y＝﹣2 于 A，交 y＝﹣1 于 B， 由抛物线的定义得|PB|＝|PF|，|PB|＝|PA|﹣1 则点 P 到直线 l1 与直线 l2 距离之和|PC|+|PA|＝|PB|+1+|PC|＝|PF|+|PC|+1≥|FD|+1，
此时最小值为 F 到直线 3x﹣4y﹣6＝0 的距离 d＝|FD|＝ 则抛物线 x2＝4y 上的动点 P 到直线 l1 与直线 l2 距离之和的最小值是 d+1＝2+1＝3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查抛物线性质和定义的应用，利用图象，转化为点到直线的距离问题是解决本题的关 键．利用数形结合是解决本题的关键．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练 习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和 点线距的转化。
【详解】 0，可得 PF⊥QF，在 Rt△PQF 中，|OF|＝c，∴|PQ|＝2c，在直角三角形 PQF 中，
∠POF ，0＜∠PQF ，可得|PF|＝2csin∠PQF，|QF|＝2ccos∠PQF，取左焦点 F'，连接 PF'，QF'，
可得四边形 PFQF'为矩形，∴||QF|﹣|PF||＝|PF'|﹣|PF|＝﹣2csin∠PQF+2ccos∠PQF＝2a，∴e
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知
识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
9.对于直线 m，n 和平面 ， ，则 的一个充分条件是
A.
，，，
B.
，，
C.
，，
D.
，，
【答案】C
【解析】
【分析】
A，B，D 三个选项下的 相交时，也满足每个选项的条件，所以由 A，B，D 中的条件得不出 ，而选
11.实数 xy 满足 x=
A. 【答案】B 【解析】 【分析】
，则 B.
的最小值是（ ） C. 2
D. 3
x
⇒x2+y2＝1（x≥0）表示半圆；
P（﹣1，﹣2）的圆的切线的斜率．
1
，转化为求 的最小值，即求过
【详解】x
⇒x2+y2＝1（x≥0）表示半圆，如图：
1
设t
，表示点 和点
构成的直线的斜率，
即有 2a＜x0 在[1，2]的最大值， 由 x0 在[1，2]递增，可得 x0＝2 取得最大值 ， 则 2a ，可得 a ， 则实数 a 的取值范围为（﹣∞， ）． 故答案为：（﹣∞， ）． 【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算 能力，属于中档题．
3.已知直线 的方程为
，直线 的方程为
A. 或
B.
C.
，若 D.
，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两条直线平行得到系数满足的方程，解得 的值后检验即可得到 的值．
【详解】因为 ，故
，整理得到
，
解得
或
．
当
时，
，
，两直线重合，舎；
当
时，
，
故
，选 C．
【点睛】如果
（1） 平行或重合等价于
（2） 垂直等价于
可将数学问题转化与相应准线的距离问题．
8.在正四面体 P-ABC 中，M 是棱 PA 的中点，则异面直线 MB 与 AC 所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
取 PC 中点 N，连结 MB，MC，则 MC∥AC，∠BMC 是异面直线 MB 与 AC 所成角（或所成角的补角），
A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 四棱柱 D. 四棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图知该几何体是一个立放的四棱锥．
【详解】 根据三视图知，该几何体是一个立放的四棱锥，如图所示； 故选：D． 【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，属于基础题． 6.下列命题中，真命题的个数是（ ） ①若“p∨q”为真命题，则“p∧q”为真命题； ②“∀a∈（0，+∞），函数 y= 在定义域内单调递增”的否定； ③l 为直线，α，β 为两个不同的平面，若 l⊥β，α⊥β，则 l∥α；
15.已知双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，P，Q 为双曲线上关于原点对称的两点，若
=0，且∠POF＜ ，则该双曲线的离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】 运用三角函数的定义可得|PF|＝2csin∠PQF，|QF|＝2ccos∠PQF，取左焦点 F'，连接 PF'，QF'，可得四边 形 PFQF'为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式，即可得到所求值．
C. 用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形
D. 将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥
【答案】B
【解析】
【分析】
由棱柱的性质可判断 A；可举正八面体可判断 B；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可判
断 C；由圆锥的定义可判断 D．
【详解】由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，则 A 正确；
二、填空题（本大题共 3 小题，共 15.0 分）
13.已知直线 的方向向量为 =（3，2，1），直线 的方向向量为 =（0，m，-4），且 ______． 【答案】2 【解析】 【分析】
，则实数 m 的值为
根据直线方向向量的概念及 l1⊥l2 即可得出 的值． 【详解】∵l1⊥l2；
，从而得出
，进行数量积的坐标运算即可求出 m
由此能求出异面直线 MB 与 AC 所成角的余弦值．
【详解】取 PC 中点 N，连结 MB，MC，
设正四面体的棱长为 2，
则 BM＝BC＝
MC＝1，且 MC∥AC，
∴∠BMC 是异面直线 MB 与 AC 所成角（或所成角的补角），
故异面直线 MB 与 AC 所成角的余弦值为：
cos∠BMC 故选：B．
为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线
长时，经常用到垂径定理。
12.如图，表面积为 12π 的球 内切于正方体
，则平面 截球 的截面面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体和球的结构特征，判断出平面 ACD1 是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的 半径，最后求出内切圆的面积．
②“∀a∈（0，+∞），函数 y=ax 在定义域内单调递增”的否定：“∃a∈（0，+∞），函数 y=ax 在定义域内
不是单调递增的”；例如 a= ，
在定义域内单调递减；所以②正确；
③l 为直线，α，β 为两个不同的平面，若 l⊥β，α⊥β，则 l∥α；也可能 l⊂α，所以③不正确；
④“∀x∈R，x2≥0”的否定的正确写法为“
山西省晋中市 2018-2019 学年高二上学期期末调研测试数学（理） 试题
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.若曲线 A.
表示椭圆，则 k 的取值范围是 B.
C.
D.
或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据曲线表示椭圆列出不等式组，解出即可得 的取值范围．
【详解】由题设可得
，解得
B. 8
C. 6
D. 4
利用三角形中位线性质，求出
，利用双曲线定义，求出 ．
【详解】因为 是 的中点， 是 的中点，
，则
所以
，因为
，所以
，
因为 在右支上，故
，故
，故选 A．
【点睛】一般地，圆锥曲线中与焦点有关的数学问题可以考虑用圆锥曲线的几何性质.圆锥曲线的几何性
质包括第一定义和第二定义，前者可将与一个焦点有关的问题转化为与另一个焦点相关的数学问题，后者
，使得 ＜0”．故选项不满足命题的否定形式，所以
④不正确；
只有②是真命题；
故选：A．
【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复合命题的真假，指数函数的单调性，命题的否定直线
与平面的位置关系的应用，是基本知识的考查．
7.已知 ， 是双曲线 是
A. 10 【答案】A 【解析】
【分析】
的左右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是 的中点，若
所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥，比如正八面体的各个面都是正三角形，则 B 错误；
用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可得截面图形是五边形，则 C 正确；
由圆锥的定义可得直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥，则 D 正确．
故选：B．
【点睛】本题考查空间几何的性质，属于基本题．
，两直线平行，符合；
，
，
；
．
4.已知圆 A. 外离 【答案】D 【解析】
，圆 B. 外切
，则两圆的位置关系为（ ）．
C. 相交
D. 内切
由于圆 即 半径等于 的圆．
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， ，表示以
为圆心，
圆 表示以
， 为圆心，半径等于 的圆．
由于两圆的圆心距等于
．
故两个圆相内切．
故选： ． 5.某空间几何体的三视图如图所示，该几何体是
故答案为：（1， ）．
∈（1， ）．
【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理
的运算能力，属于中档题．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求
直线同时垂直于两个平面，那么这两个平面是平行的．
10.已知直线 ：3x-4y-6=0，直线 ：y=-2，抛物线
上的动点 P 到直线 与直线 距离之和的最小值
是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义进行转化，结合图象利用点到直线的距离公式进行求解即可．
【详解】 抛物线的焦点坐标为 F（0，1），准线方程为 y＝﹣1，
④“∀x∈R， ≥0”的否定为“∃ ∉R， ＜0”．
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复合命题的真假判断①的正误；利用指数函数的单调性判断②的正误；直线与平面垂直关系判断③的
正误；根据全称命题的否定的写法判断④的正误；
【详解】①若“p∨q”为真命题，可知两个命题至少一个是真命题，判断为“p∧q”有可能是假命题，不正 确；