联合分布函数与边缘分布函数的关系解读

【结论】 联合分布
边缘分布
在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？
3.3 条件分布 问题
考虑一大群人,从其中随机挑选一个人,分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高,则X 和 Y 都是随 机变量,他们都有自己的分布.
现在如果限制 Y 取值为1.5m ,在这个 限制下求 X 的分布 .
一、离散型随机变量的条件分布
0
0 P{ y Y y }
存在, 则称此极限为在条件Y=y下, X的条件分布函数,
记作 P{X x Y y} 或 FX Y ( x y).
lim P{ X x y Y y } lim P{ X x, y Y y }
0
0 P{ y Y y }
F(x, y ) F(x, y)
用 P{ X x Y y}直接定义, 因为P{Y y} 0, 我们
只能讨论Y取值在y附近的条件下，X的条件分布.
定义 给定y, 对于任意固定的 0, P{ y Y y } 0.
若对于任意实数x, 极限
lim P{X x y Y y } lim P{X x, y Y y }
fY ( y)
f ( x, y)d x 0.
得
6( fY ( y)
y y), 0,
0 y 1, 其他.
例6 设(X,Y)在区域 G {(x, y) 0 x 1, y x}上服从 均匀分布,求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度.
例7 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
2
,
2 1
,
2
2
,
)
X
~
N
(
1
,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
【说明】 对于确定的1, 2, 1, 2, 当不同时, 对应了
不同的二维正态分布. 在下一章将指出, 对于二维正态
分布而言, 参数正好刻画了X和Y之间关系的密切程度.
思考 边缘分布均为正态分布的随机变量, 其联合分布 一定是二维正态分布吗?
解
f (x, y)
fX Y ( x y) fY ( y)
1
e
1 2(1
2
)
(
x
1
2 1
)2
2
(
x
1
)( y 1 2
2
)
(
y
2
2 2
f (x, y)
1
e
1
2(1
2
)
(
x
1
2 1
)2
2
(
x
1
)( y
1 2
2
)
(
y
2
wenku.baidu.com
2 2
)2
21 2 1 2
1
e
1
2(1
2
)
(
x 1 1
)
(
y 2 2
)
2
(1
2
)(
y2 )2
2 2
21 2 1 2
1
e e
(
y 2
2
2 2
)2
(
x 1 ) ( 1
fX (x)
f ( x, y)d y 0.
因而得
6( x x2 ), 0 x 1,
fX (x)
0,
其他.
y
(1,1)
y x
O
y x2 x
当 0 y 1时,
y
(1,1)
fY ( y)
f (x, y)d x
y
y 6d x
y x ●
O
●
y x2
x
6( y y).
当 y 0 或 y 1时,
2(1
y 2 2
2)
)
2
21 2 1 2
f (x, y)
1
21 2 1 2
1
21 2 1 2
e e
(
y 2
2
2 2
)2
(
x 1 ) ( 1
2(1
y 2 2
2)
)
2
e e
(
y 2
2
2 2
)2
t2
2
令
( x 1 ) ( y 2 )
t 1
2
1 2
fY ( y) f ( x, y)dx
Y X x1 xi
p• j
y1
p11 pi1
p•1
yj
p1 j pij
p•
j
pi•
p1• pi
1
•
三、连续型随机变量的边缘概率密度
定义 对于连续型随机变量( X ,Y ), 设它的概率
密度为 f ( x, y),由于
x
FX ( x) F ( x,)
[ f ( x, y)d y]d x,
fY ( y) f ( x, y)dx fY X ( y x) fX ( x)dx
类似于Bayes公式(求条件概率密度)
fXY (x
y)
f (x, y) fY ( y)
fY X ( y x) fX ( x) fY ( y)
fY X ( y
x)
f (x, y) fX (x)
fX Y ( x y) fY ( y) fX (x)
f (x, y)
f (x y)
.
XY
fY ( y)
则 FX Y ( x y) P{ X x Y y}
x f (x, y) dx
fY ( y)
同理, 当 fX ( x) 0 时,
y f (x, y)
FY X ( y x)
d y. fX (x)
【说明】
FX Y ( x y), f X Y ( x y) 仅是 x 的函数, 此时y是常数.
x
Y
y}
fY ( y)
fY ( y)
FX Y ( x y)
定义 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x, y), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若
对于固定的 y,
fY ( y) 0 , 则称
f ( x, y) 为在Y y fY ( y)
的条件下 X 的条件概率密度, 记为
f (x, y) 0,
其他.
求边缘概率密度 fX ( x), fY ( y).
解
fX (x)
f (x, y)d y
当 0 x 1时,
y y x●
fX ( x)
f (x, y)d y
●
O
x
6d y x2
(1,1)
y x2
x
6( x x2 ).
当 x 0 或 x 1时,
2
e e dt 1
2 2
( y 2 )2
2
2 2
t2 2
dt dt dx dx
1 dx
1 1 2
fY ( y)
1
2 2
e
(
y 2
2
2 2
)2
Y
~
dx 1
N
(
2
,
2 2
)
1 2 dt
【结论】二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态
分布, 并且都不依赖于参数.
即
(X
,Y
)
~
N (1,
或
P{Y yj } P{X xi Y yj }, P{Y yj } 0
i, j 1,2,
类似全概率公式(求边缘分布律)
P{ X xi } pij P{ X xi ,Y y j }
j1
j1
P{ X xi Y y j } P{Y y j }, P{Y y j } 0, i 1, 2, j1
记
fX ( x)
f (x, y)d y,
称其为随机变量( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度.
同理可得Y 的边缘概率密度
y
FY ( y) F (, y)
f (x, y)d x d y,
fY ( y)
f (x, y)d x.
例5 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x2 y x,
k 1
i 1, 2,
【练习】已知(X,Y)的联合分布律
X Y
0
1
2
0 3/28 9/28 3/28
1 1/14 5/14 0
2 1/28 0 0
求:Y=1时, X的条件分布律.
例1 把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子 中, 每盒可容球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数, Y 为落入 2 号盒的球数，求 (1) 在Y = 0 的条件下，X 的条件分布律； (2) 在 X = 2 的条件下，Y 的条件分布律.
②条件分布律满足分布律的充要条件:
(1) P{X
xi
Y
yj}
pij p• j
0,
i 1, 2,L
;
(2)
P{ X
i 1
xi
Y
yj}
i 1
pij p• j
1 p• j
i 1
pij
p• j p• j
1.
类似乘法公式(求联合分布律)
P{X xi ,Y yj } P{X xi } P{Y yj X xi }, P{X xi } 0
P{Y y j } pij P{X xi ,Y y j }
i 1
i 1
P{Y yj X xi } P{X xi }, i 1
P{X xi } 0, j 1, 2,
类似逆概公式(求条件分布律)
P{X
xi
Y
yj}
P{Y
yj
X
xi } P{X
xi }
,
P{Y y j X xk } P{X xk }
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量, 对于固定
的 j, 若 P{Y y j } pij 0, 则称 i 1
P{ X
xi
Y
yj}
P{X xi ,Y P{Y y j }
yj}
pij , p• j
i 1, 2,L
,
为在Y
y
条件下随机变量
j
X
的条件分布律.
对于固定的 i, 若 P{ X xi } pij 0, 则称
f (x, y)
1
2σ1σ2 1 ρ2
1
exp
2(1
ρ2
)
(
x
μ1 )2 σ12
2
ρ
(
x
μ1 )( y σ1 σ2
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
x , y , 其中 μ1, μ2 ,σ1,σ2 , ρ 都是常数,且 σ1 0, σ2 0, 1 ρ 1. 试求二维正态随机变量的边缘概率密度 .
FX
(
x)
F
(
x,
)
x
dx f ( x, y)dy
y
FY ( y) F (, y)
dy
f ( x, y)dx
二、二维离散型随机变量的边缘分布律
由(X,Y)的联合分布律P{X＝xi,Y＝yj}＝pij，i,j＝1,2,…
P{ X xi } P{ X xi , U(Y y j )} j 1
条件概率密度满足概率密度的充要条件:
(1) f X Y ( x y) 0 ;
(2)
f X Y ( x y)dx
f ( x, y)dx
fY ( y) 1 .
fY ( y)
fY ( y)
利用条件概率密度可计算Y=y条件下, 与X有关的事
件的条件概率:
P{ X L Y y} L fX Y ( x y)dx
例2 一射手进行射击, 每次击中目标的概率为p(0<p<1), 射击到击中目标两次为止. 设以X 表示首次击中目标所进 行的射击次数, 以Y 表示总共进行的射击次数. 试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律.
二、连续型随机变量的条件分布
【引言】在条件分布中,作为条件的随机变量的取值
是确定的数.但是当Y 是连续型r.v.时, 条件分布不能
lim
0 FY ( y ) FY ( y)
F ( x, y)
f (x, y)
F(x, y ) F(x, y)/
lim 0
FY ( y ) FY ( y) /
y dFY ( y)
连续
fY ( y) 0,
x
dy
连续
f ( x, y)dx
x
f
( x,
y) dx
def.
P{ X
类似于乘法公式(求联合概率密度)
f (x, y) fX (x) fY X ( y x) fX (x) 0
fY ( y) fX Y (x y) fY ( y) 0
类似于全概率公式(求边缘概率密度)
fX ( x) f ( x, y)dy fX Y ( x y) fY ( y)dy
联合分布、边缘分布、条件分布的关系
联合分布
边缘分布 条件分布
联合分布
例3 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布, 求
f X Y ( x y), fY X ( y x) .
r2
x
2
•
x
-r
r
•
r2 x2
例4 已知( X ,Y ) ~ N
1
,
2 1
;
2
,
2 2
;
, 求 fX Y (x y) .
3.2 边缘分布
联合分布函数与边缘分布函数的关系
FX ( x) F ( x, ) ; FY ( y) F (, y).
由联合分布律求边缘分布函数
FX ( x) F ( x, )
pij , FY ( y) F (, y)
pij .
xi x j1
y j y i1
由联合概率密度求连续型r.v.的边缘分布函数
P{ X xi ,Y y j } pij pi• , i 1, 2, ...
j 1
j 1
P{Y y j } P{ U( X xi ),Y y j } i 1
P{ X xi ,Y y j } pij p• j , j 1, 2, ...
i 1
i 1
联合分布律及边缘分布律
j1
P{Y
yj
X
xi }
P{X xi ,Y yj } P{X xi }
pij , pi•
j 1, 2,L
,
为在X xi条件下随机变量 Y 的条件分布律.
【说明】
① 条件分布的本质是条件概率, 离散型r.v.X在{Y=yj}发 生的条件下的条件分布律, 就是在{Y=yj}发生条件下将 X每一个可能取值及取值的条件概率列出.