人教版高中数学必修二课件：1.1.7 柱、锥、台和球体的体积(共38张PPT)

P
2．V圆台=π(r2+Rr+R2)h,其
中r、R分别为圆台的上、
下底面的半径，高为h.
A
A'
S'
D' O'
B'
C'
h
D
OS
B
C
x s' xh s
S'
x
h s' x
s s'
S
h
V台
1 S（h x) 1 S 'x
3
3
1 Sh 1 Sx 1 S 'x 3 33
1 Sh 1 (S S ' ) h s'
柱
祖暅原理
、
锥 、
V柱体 S h
V圆柱 r 2 h
台 的 体
V锥体
1 3
S
h
V圆锥
1 r 2
3
h
积
V台体
1 3
h（S
S S S）
V圆台
1 3
h（r 2
r
r
r2）
小结
1.本节主要在学习了柱,锥,台及球体 的体积和球的表面积.
2.应用上述结论解决实际问题.
作业：P32习题A6，7，8，9，10
33
s s'
1 Sh 1 ( s s' )h s' 1 h(s ss' s' )
33
3
形
S’
S
S
S
数
V柱体=sh
S=S/
V台
h (s 3
S/ =0
ss' s')
V锥
1 3
sh
五. 球的体积
V球=
4 R3，其中R为球的半径.
3
球的体积证明：
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
1.1.7柱、锥、台和球 体的体积
学习目标
1.了解祖暅原理及等体积变换的意义． 2．掌握柱、锥、台、球的体积公式并会求它们 的体积．
复习回顾
1.正方体的体积公式 V正方体=a3(这里a为棱长)
2.长方体的体积公式 V长方体=abc(这里a,b,c分别为长方体长、宽、高) 或V长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高)
求棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体
积之比。
D'
解：已知长方体可以看
C'
作是直四棱柱ADD’A’－ A'
B'
BCC’B’。
设底面ADD’A’的面积
D
是S，高为h，
A
C B
则它的体积为 V=Sh.
因为棱锥C－A’DD’的底面面积是 1 S，
高是h，
2
所以棱锥C－A’DD’的体积是
VC－A’DD’=
（A）6 3
（B） 3
（C）2 3
（D）2
2．正棱锥的高和底面边长都缩小原来
的 1 ，则它的体积是原来的（ B ）
2
（A）
1 5
（B）1
8
（C） 1
16
（D）312
Байду номын сангаас
3．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，
已知点P、Q分别为AA1、CC1上的点，
而且满足AP=C1Q，则四棱锥B－APQC
的体积是（B
3
7. 若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则 它的 体积扩大为原来的（ D ）
（A）3倍 （B）9倍 （C）27倍 （D）3 3 倍
8. 圆台的上、下底面半径和高的比为1： 4：4，母线长10，则圆台的体积为 （B ）
（A）672π （B）224π
（C）100π （D） 544
3
V长方体 S h
六棱柱的体积与圆柱体
积之差，
V 3 122 610 3.14 (10)2 10
4
2
2956(mm3) 2.956(cm3)
因此约有
5.8×103÷(7.8×2.956) ≈252(个)
答：螺帽的个数约为252个.
练习题：
1．设六正棱锥的底面边长为1，侧棱长
为 5 ，那么它的体积为（ B ）
等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？
等高、等截面面积（不受截面形状影响） 体积相等
二. 棱柱和圆柱的体积 柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底 面积S和高h的积. 即V柱体=S·h.
h
h
底面半径是R，高为的圆柱体的体积的计 算公式是V圆柱=πR2h.
将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有 什么关系？它们与三棱柱的体积有什么 关系？
祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积 公式的基础和纽带，原理中含有三个条 件，
条件一是两个几何体夹在两个平行平 面之间；
条件二是用平行于两个平行平面的任 何一平面可截得两个平面；
条件三是两个截面的面积总相等，这 三个条件缺一不可，否则结论不成立.
祖冲之（ 公元429年─公元 500年）是我国杰出的数学 家，科学家。南北朝时期人， 汉族人，字文远。生于宋文 帝元嘉六年，卒于齐昏侯永 元二年。其主要贡献在数学、 天文历法和机械三方面。
（A）
1 2
V
（C）1 V
4
）
1
（B）3
V
（D）2 V
3
4．把一个大金属球表面涂漆，需油漆 2.4kg，若把这个金属球熔化，制成64个半 径相等的小金属球（设损耗为零），将这 些小金属球表面涂漆，需用油漆 9.6 kg.
5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为
6π，则它的体积是 3 55 .
6．一个正方体的所有顶点都在球面上，若 这个球的体积是V，则这个正方体的体积 是 2 3V .
等面积法： 等底等高的三角形面积相等
h
h
a
a
S
1 2
a
h
h a
取一摞作业本放在桌面上(如图所示) ， 并改变它们的放置方法，观察改变前后 的体积是否发生变化？
从以上事实中你得到什么启发？
一. 祖暅原理
祖暅原理：幂势既同，则积不容异.
也就是说，夹在两个平行平面间的两个 几何体，被平行于这两个平面的任意平面 所截，如果截得的两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的体积相等.
２．将圆锥倒立放入 圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等
R
R
R
1
2 V球 ＝
R2 R 1 R2 R
3
５．球的体积计算公式：
V球
4 R3
3
探究
S1
R
4 R3
3
V球
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
1 3
RS球面
球的表面积： S球面 4R2
▪ 祖暅，祖冲之之子，圆满解决了球面积的计算问题， 得到正确的体积公式。祖暅总结了刘徽的有关工作， 提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体， 若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积 相等，这就是著名的“祖暅原理” （或刘祖原理）。
祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积 公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学 家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅的 儿子祖皓，续传家学，后来也成了数学家。
1 1 Sh 1 Sh 32 6
所以 棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分 的体积之比是1：5.
例2．有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg，已知螺帽 底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径 为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约 有多少个（ 取3.14，可用计算器）？ 解：六角螺帽的体积是
33 2 1 1
三. 棱锥和圆锥的体积 1. 如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
是S，高是h，那么它的体积是V锥体=
1 3
Sh.
2. 如果圆锥的底面半径是R，高是h，则它
的体积是V圆锥=
1 πR2h.
3
四. 棱台和圆台的体积
1. V台体=
1 (S 3
SS ' S ')h；其中S、S’分别
为台体上、下底面面积，h为台体的高.
例1. 如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’
D’中，用截面截下一个棱锥C－A’DD’，
求棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体
积之比。
D'
C'
A'
B'
D A
C B
D/ A/
D
D/
A/ D
C A
S
h
C/
B/ C
B
例1. 如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’
D’中，用截面截下一个棱锥C－A’DD’，