掌握连续系统状态方程的离散化方法

V ( x) xT Px xTT T PTx xTT 1PTx [x1 x2
称为二次标准型。
1

xn
]

2

0
0 x1


x2


n


xn

V(x)正定的充要条件是P的特征值均大于0。
P的符号性质：
V(x)正定，P正定，记为P>0; V(x)负定，P负定，记为P<0;
④各主子行列式的值均≤ 0，且| P |=0， P半负定。
4. Liaponov稳定性判据
设 x f ( x) 的平衡状态为xe=0,有V(x)满足： ① 对x有连续一阶偏导； ② V(x) 正定。
则 ① V ( x) 为半负定，则稳定。
② V ( x) 为负定，则渐近稳定； V ( x)为半负定，但对任意的x(t0) ≠0除x=0外的其它x ，V ( x) 不恒为0， 也渐近稳定； 更进一步，|| x ||→∞ ，有V(x) →∞，则为大范围渐近稳定。
3)
大范围渐近稳定
结论：
对所有的初始状态x0都渐近稳定。
① ②
x(t)有界， xe 稳定； x(t)有界且→0， xe 渐近稳定；
4) 不稳定
③ x(t)无界， xe 不稳定；
由 s(δ )内出发的状态轨线至少有一根会越过s(ε) ，称xe不稳定
10.4.2 Liyaponov 第一法 线性定常（时不变）系统的稳定判据
P11 P12
V ( x) xT Px x1 x2
xn

P21

P22

Pn1
Pn2
半 正 定
V(x) =x1 2+x22
P1n x1
P2n


x2


Pnn


xn

P为实对称阵，存在正交阵T，使当 x Px 时，有
行列式的值为1，逆阵和转置阵相等。
x Φ(t; x0 , t0 )
移至坐标原点xe =0处。
称为从初始条件（t0, x0） 出发的运动轨迹（运动、状态轨线）。
满足 f ( xe , t) 0 的xe,称为系统的平衡状态。
例

x1 x2
x1 x1
x2

x23
其平衡点为
0 xe1 0
0 xe2 1
x Ax Bu y Cx
结论：只有系统无零、极点对消 且系统的特征值与其极点相同时， 系统的状态稳定性才与其输出稳 定性一致。
系统在平衡状态xe=0渐近稳定的充分必要条件是A的所有特征值全部 具有负实部，为内部稳定性。
若系统对于有界输入，所引起的输出有界，则称系统为输出稳定。
输出稳定的充要条件是W(s)=C(SI-A)-1b的极点全部位于s的左半平面。

1 0
s
0 11 1 1

(s
s 1 1)(s 1)

s
1 1
s=-1位于s的左半平面，因而系统输出稳定。
10.4.3 Liaponov 第二法 基本思想：构造虚拟广义的能量函数V(x)以此判定系统的稳定性。 适用范围：不能用传统方法判定系统的稳定性的情况下。
定义V(0)=0 的V(x) 为Liaponov函数 ，亦称能量函数， 是标量函数。

x
2 1

x
2 2
,易知其正定，则
V ( x) 2x1x1 2x2 x2 2x1[x2 x1(x12 x22 )] 2x2[x1 x2 (x12 x22 )] 2(x12 x22 ) 负定，
故系统渐近稳定。
且当 || x ||→∞时 ，有V(x) →∞，所以为大范围渐近稳定。
③V ( x) 为正定，不稳定。
注意： ①不能说找不到Liaponov函数V(x)，就作出否定的结论。
②平衡状态必须是坐标原点即 xe=0，否则须坐标平移。
例1 判定

x1
x2

x2 x1(x12 x1 x2 (x12
x22 ) x22
)
的稳定性。
解： xe =0
设
V (x)
例1 判定系统
x

1

0
0 1
x

1 1 u
的状态稳定性和输出稳定性。
y [1 0]x
解：由 | I A | 1 0 0 得 0 1
1 1, 2 1
故系统平衡状态不是渐近稳定的。
由
W (s) C(sI A)1b 1
0s
0 xe3 1
2. 关于稳定性的几个定义
定义 || x xe || (x1 x1e )2 (x2 x2e )2 (xn xne )2
称为欧几里德范数即x与xe的距离。
1) Liyaponov意义下的稳定
0, ( ,t0 ) 0, s.t.
V(x)半正定，P半正定，记为P ≥ 0;
V(x)半负定，P半负定，记为P ≤ 0。
3. 希尔维斯特判据
实对称阵P符号性质的充分必要条件是：
① 各主子行列式的值均大于0， P正定；
② 偶数阶和奇数阶主子行列式的值分别大于0和小于0，P负定；
③ 各主子行列式的值均≥ 0，且| P |=0， P半正定；
if || x0 xe || ( ,t0 ) then
|| Φ(t, x0, t0 ) xe || (t0 t )
称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。
2) 渐近稳定
0 and ( , t0 )( 0) 0
xe稳定且从初始状态出发的状态轨线收敛于xe。
1. V(x)的符号性质
正 定： V(x) >0
半正定： V(x) ) ≥ 0
负 定： V(x) <0 半负定： V(x) ≤ 0 不 定： V(x) >0 或 V(x) <0。
半 正 定
例 对于x=[x1 x2 x3]T,
V(x)
V(x) =(x1+x2 ) 2+x32
正
=x12+x22+x32
定 2. 二次型标量函数
10.4 稳定性与Liyaponov方法
要Biblioteka Baidu： 1、理解Liyaponov稳定性的定义； 2、掌握稳定性的判定方法。
10.4.1 Liyaponov关于稳定性的定义
1. 系统的平衡状态 x f ( x, t)
设初始条件（t0,x0）的唯一解为：
结论： ① 非线性系统的平衡点可能不唯一， 也可能无。 ② 任何一个平衡状态可以通过坐标平