复数项级数

注意
n 的各项都是非负的实数,
n1
应用正项级数的审敛法则判定.
证
由于 n
an2 bn2 ,
n1
n1
而 an an2 bn2 , bn an2 bn2 ,
4.1 复数项级数
6
内容要点 1：复数项级数； 2：幂级数，阿贝尔定理，收敛圆和收敛半径，和函数 的性质；
3:解析函数的泰勒展式，一些初等函数的泰勒展开式；
4：罗朗级数，解析函数的罗朗展开式；
7
一、复数列的极限 先回顾一下实数序列收敛的定义！
1.定义 设 {n } (n 1,2,) 为一复数列, 其中 n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数, 如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
定理 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
定理 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n un
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
0
就能找到一个正数N, 当 n N 时,
(an ibn ) (a ib) ,
从而有 an a (an a) i(bn b) ,
所以
lim
n
an
a.
同理
lim
n
bn
b.
反之, 如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
那末当n N 时,
an
a
2
,
bn
b
2
.
从而有 n (an ibn ) (a ib)
n1
因为lim n
n
lim ein
n
0,
不满足必要条件, 所以原级数发散.
启示:
判别级数的敛散性时,
可先考察
lim
n
n
?
0
lim 如果n
n
0,
lnimn 0,
级数发散; 应进一步判断.
3. 绝对收敛与条件收敛
定理三
如果 n 收敛, 那末 n 也收敛.
n1
n1
且不等式 n n 成立.
n1
n1
1) un un1 ( n 1, 2, ); 2) lim un 0,
n
例. 讨论 p 级数 的敛散性.
1
1 2p
1 3p
1 np
(常数 p > 0)
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1
n
而调和级数
n1
1 n
发散
,
由比较审敛法可知
p
级数
发散 .
2) 若 p 1, p 级数收敛 .
第4章 级数series
N( ), 使 n 在 n N 时成立,
那末 称为复数列{n }当 n 时的极限,
记作
lim
n
n
.
此时也称复数列{n } 收敛于 .
2.复数列收敛的条件
n an ibn ,
复数列{n} (n 1,2,) 收敛于 的充要条件是
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b
.
证
如果
lim
n
n
,
那末对于任意给定的
n1 n
n
解
因为
an
n1
n1
1 n
发散;
bn
n1
n1
1 n2
收敛.
所以原级数发散.
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
n1
n1
lim
n
an
0
和
lim
n
bn
0.
所以复数项级数n收敛的必要条件是
n1
lim
n
n
0
重要结论:
lim
n
n
0
级数 n发散.
n1
例如,级数 ein :
(b) zn e 2 ;
12
(a)
zn
1 ni ; 1- ni
解：zn
1 ni 1 ni
1 1
n2 n2
i
1
2n n
2
我们就有xn
1 1
n2 n2
;
yn
2n 1 n2
,
而
lim
n
xn
lim
n
1 1
n2 n2
1,
lim
n
yn
lim
n
1
2n n
2
0.
所以lim n
zn
1
13
n i
(b) zn e 2 ;
(
3 )n cos n ,
2
6
yn
(
3 )n sin 2
n
6
lim
n
xn
0,
limnyn0源自limnz
n
0,
15
二、级数的概念
1.定义 设{n } {an bn } (n 1,2,)为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
sn 1 2 n 称为级数的部分和.
(an a) i(bn b)
an a bn b ,
所以
lim
n
n
.
[证毕]
定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
4.1 收敛序列和收敛级数
课堂练习: 下面各序列是否收敛？若收敛求其极限.
(a)
zn
1 ni 1- ni
;
(c)
zn (1
i )n. 3
n i
解：
z n
cos
n
2
i sin
n,
2
cos n ,sin n 在n 时，极限不存在。
2
2
这个序列极限不存在。
14
(c)
zn (1
i )n. 3
解：zn
3 2
n
(
3 i 1)n 22
n
3 2
(cos i sin )n
6
6
3 2
n
[cos(
n 6
)
i
sin(
n 6
)]
xn
(a1 a2 an ) i(b1 b2 bn )
n i n ,
根据 {sn } 极限存在的充要条件 :
{ n } 和 { n }的极限存在,
于是 级数 an 和 bn 都收敛.
n1
n1
说明 复数项级数的审敛问题
(定理4.1.2)
实数项级数的审敛问题
课堂练习 级数 1 (1 i ) 是否收敛？
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
例 等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 .
交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
收敛与发散
如果部分和数列{sn } 收敛, 那末级数 n收敛,
n1
并且极限
lim
n
sn
s
称为级数的和.
如果部分和数列{sn } 不收敛,
那末级数 n发散.
n1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是:
利用极限
lim
n
sn
s.
例如, 级数 zn :
n0
sn
1 z z2 zn-1
1 zn 1 z
(z 1),
由于当 z 1时,
lim
n
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
, z
所以当 z 1时级数收敛.
18
2.复数项级数收敛的条件
定理4.1.2
级数
n
(an ibn ) 收敛的充要条件
n1
n1
an 和 bn 都收敛.
n1
n1
证 因为 sn 1 2 n