范德蒙德行列式的推广

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范德蒙德行列式推导过程

范德蒙德行列式推导过程范德蒙德行列式是一种矩阵计算方法，主要用于解决线性代数中的问题。

在许多数学领域中都有广泛的应用，因此了解范德蒙德行列式的推导过程是非常重要的。

在本文中，我们将讨论范德蒙德行列式的基本定义和一些关键的推导步骤。

首先，范德蒙德行列式是一个由$n$个数$x_1,x_2,\ldots,x_n$构成的$n\times n$的方阵，该方阵的行列式记作$D$，即：$$D = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}\\\end{vmatrix}$$那么，我们该如何推导这个行列式呢？首先，我们需要理解一些基本的矩阵求行列式的规则。

对于一个$n\times n$的方阵$A$，它的行列式记作$|A|$，定义为：$$|A|=\sum_{\sigma\inS_n}\text{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i,\sigma_i}$$其中$\sigma$是$S_n$中的一个置换，$\text{sgn}(\sigma)$表示它的奇偶性，$a_{i,\sigma_i}$表示矩阵$A$中第$i$行第$\sigma_i$列的元素。

当矩阵$A$的所有行都是等差数列时，即：$$a_{i,j}=a_{1,j}+(i-1)d$$其中$d$是等差数列的公差。

此时，我们可以通过对第一列进行数学归纳来计算$|A|$。

为简洁起见，我们假设$d=1$。

当$n=2$时，矩阵$A$可以写成：$$A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,1}+1\\a_{1,1} & a_{1,1}+1\\ \end{bmatrix}$$此时，$$|A|=\text{sgn}(1,2)\prod_{i=1}^2a_{i,\sigma_i }-\text{sgn}(2,1)\prod_{i=1}^2a_{i,\sigma_i}$$ $$=a_{1,1}+1-a_{1,1}=1$$当$n=3$时，矩阵$A$可以写成：$$A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,1}+1 &a_{1,1}+2\\ a_{1,1} & a_{1,1}+1 & a_{1,1}+2\\a_{1,1} & a_{1,1}+1 & a_{1,1}+2\\ \end{bmatrix}$$此时，$$|A|=\text{sgn}(1,2,3)\prod_{i=1}^3a_{i,\sigma _i}+\text{sgn}(1,3,2)\prod_{i=1}^3a_{i,\sigma_i}+\t ext{sgn}(2,1,3)\prod_{i=1}^3a_{i,\sigma_i}$$ $$-\text{sgn}(2,3,1)\prod_{i=1}^3a_{i,\sigma_i}-\text{sgn}(3,1,2)\prod_{i=1}^3a_{i,\sigma_i}-\text{sgn}(3,2,1)\prod_{i=1}^3a_{i,\sigma_i}$$ $$=(a_{1,1}+1)(a_{1,1}+2)-a_{1,1}(a_{1,1}+2)+(a_{1,1})(a_{1,1}+1)-2(a_{1,1}+1)(a_{1,1}+2)+a_{1,1}(a_{1,1}+2)+a_{1,1}( a_{1,1}+1)$$$$=a_{1,1}^2-a_{1,1}+1$$接下来，我们可以考虑应用这个归纳规律到范德蒙德行列式上。

范德蒙行列式拉普拉斯展开克莱姆法则课件

PART 04
范德蒙行列式、拉普拉斯展开与克莱姆法则的关系
三者之间的联系
范德蒙行列式、拉普拉斯展开与克莱姆法则都是线性代数中的重要概念，它们在解决线性方程组
问题中具有重要作用。
范德蒙行列式是拉普拉斯展开的基础，而克莱姆法则则是基于范德蒙行列式的一种求解线性方程
组的方法。
三者在形式上具有一定的相似性，都是通过行列式或矩阵来表达线性方程组的解。
1 2 3
拉普拉斯展开的定义拉普拉斯展开是关于二项式系数的一种展开式，它可以表示为$(a+b)^n$的形式，其中$a$和 $b$是常数，$n$是自然数。
拉普拉斯展开的计算拉普拉斯展开的计算公式为$(a+b)^n = sum_{k=0}^{n} C(n,k) a^{n-k} b^k$，其中 $C(n,k)$是二项式系数。
克莱姆法则
克莱姆法则的定义
总结词
克莱姆法则是线性代数中解线性方程组的一个重要定理，它给出了线性方程组解的唯一性和存在性的条件。
详细描述
克莱姆法则指出，对于一个包含n个方程和n个未知数的线性方程组，如果系数行列式不为零，则该线性方程组有唯一解。这个法则基于线性方程组的系数矩阵和常数列向量之间的关系，通过计算系数行列式和代数余子式来确定解的唯一性。
克莱姆法则的条件
总结词
克莱姆法则的应用需要满足一定的条件，以确保线性方程组有唯一解。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
首先，线性方程组中的系数行列式必须不为零，这是克莱姆法则应用的基本条件。其次，线性方程组中的未知数个数必须与方程个数相等，以确保方程组是确定的。此外，还需要满足线性独立条件，即系数矩阵的行向量必须是线性独立的。这些条件共同保证了克莱姆法则的有效性和准确性。

范德蒙德行列式推导

范德蒙德行列式推导范德蒙德行列式，这个名字听上去有点拗口，但其实它在数学界可是个明星哦。

想象一下，一个优雅的舞者在舞台上翩翩起舞，每一步都在精准地展示着美感和力量。

范德蒙德行列式就像这个舞者，它在数学的世界里也扮演着一个重要的角色。

说到范德蒙德，咱们先得聊聊它的由来。

这个名字来源于一个叫做范德蒙德的数学家，听起来是不是很酷？他研究的行列式在很多地方都有用，尤其是在多项式插值问题中。

那种感觉就像你在购物的时候，突然发现了一个折扣，心里别提有多高兴。

范德蒙德行列式到底是什么呢？简单来说，它是一个方阵的行列式，里面的元素有点特别。

假设咱们有个整数n，那范德蒙德行列式就是一个n×n的方阵，里面的元素是这样的：第一列是1，第二列是x的0次方，第三列是x的1次方，以此类推，最后一列是x的n1次方。

看到这里，你可能会想，这和我有什么关系呢？别急，这个方阵可不是普通的方阵，它隐藏着很多有趣的性质。

举个例子，假设咱们的x值是一组不相同的数，比如1、2、3，那么范德蒙德行列式就变成了一个充满活力的矩阵。

你想象一下，第一行的元素是1、1、1，第二行是1、2、3，第三行是1、4、9。

这些数字看似杂乱无章，但其实它们之间有着深刻的联系。

计算这个行列式的时候，你会发现，结果总是和这组数有关。

真是让人惊讶，不是吗？说到计算，范德蒙德行列式的一个很棒的性质就是它的值和那些x的差值有关。

如果你用公式去计算，你会发现这个行列式的值等于那些x值的差的乘积。

这就好比是你和朋友们一起去吃饭，大家都点了不同的菜，最后的账单就是你们每个人选择的菜之间的差异，越是不一样，账单就越高，哈哈。

如果你还是觉得复杂，那就放轻松。

可以想象一下，把这些数都放在一个舞台上，他们每个人都有自己的风格。

x的值越不一样，这场舞会就越热闹，行列式的值就越大。

这里面蕴含的道理可真不少，数学中的美丽就在于此。

生活中的很多事情也可以用这种方式来理解，比如说朋友之间的个性差异，越是不一样的朋友，聚在一起时总能擦出火花。

广义Vandermonde行列式

广义Vandermonde 行列式作者：袁敏指导老师：舒阿秀摘要 Vandermonde 行列式是行列式的一种特殊形式，而广义Vandermonde 行列式是Vandermonde行列式的一种推广形式，在实际应用中占有十分重要的地位，如在Hermite 插值问题适定性证明等问题中都可以用到它. 本文主要在Vandermonde 行列式基础上介绍广义Vandermonde 行列式及其性质、计算与应用，并在此基础上加以适当推广，介绍增次广义Vandermonde 矩阵的含义和一些相关性质.关键词 Vandermonde 行列式广义Vandermonde 行列式增次广义Vandermonde 矩阵1引言在高等代数中，行列式是一个极其重要的概念，而Vandermonde 行列式又是行列式的一种特殊形式，目前许多文献都对它进行了广泛的研究并得到了许多丰富的成果. 本文主要在Vandermonde 行列式的基础上对广义Vandermonde 行列式及其性质、应用等进行一些归纳和讨论.1.1 Vandermonde 行列式的定义称形如12322221231111123111...1........................n nn n n n nD a a a a a a a a aaaa----=(1.1)的行列式为n 级范德蒙德（V andermonde ）行列式.1.2 性质任意的(2)n n ≥级范德蒙德行列式等于12,,,n a a a 这n 个数的所有可能的差i α-j α(1)j i n ≤<≤的乘积. 用连乘号，这个结果可以简写成123222212311111123111...1......()..................n nijj i nn n n n na a a a a a a a a a aaaa≤<≤----=-∏由这个结果立即得出，V andermonde 行列式为零的充分必要条件是12,,,n a a a 这n 个数中至少有两个相等.2 广义Vandermonde 行列式 2.1 定义设m 维向量21(;)(1,,,...,)m F m λλλλ-=,它对λ的一阶导数为()2(;)0,1,2,...,(1)m F m m λλλ-'=- （2.1）同样可以定义(;)F m λ对λ的k 阶导数()(;)k F m λ，显然，当k m ≥时，()(;)k F m λ是零向量，令(1)F(,)1F (,)1!1F (,)(;;)2!...1F (,)(1)!d d mm m m F d m m d λλλλλ-⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥''⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ （2.2）考虑如下的Vandermonde 型的12(...)t d d d m +++⨯阶矩阵11221212F(;;)F(;;)(,,...;,,...;)...F(;;)t t t t d m d m V d d d m d m λλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2.3）这里,1,2,...,i d N i t ∈=.显然，当12...t d d d m +++=时，1212(,,...;,,...;)t t V d d d m λλλ是m 阶方阵.当i λ在（2.3）式中不出现时，约定0i d =，这里仍写成121112111212(,,...,,,...,;,,...,,,...,;)(,,...;,,...;)i i t i i t t t V d d d d d m V d d d m λλλλλλλλ-+-+≡ （2.4）显然，行列式1212(,,...;,,...,;)t t V d d d m λλλ是通常的Vandermonde 行列式2111121222121211...1...(,,...,)()...............1...n n n i j j i n n n n n V λλλλλλλλλλλλλλ--≤<≤-==-∏的一种推广，即当12...1t d d d ====时，有121212(,,...;,,...;)(,,...),tt tV m V d dd λλλλλλ=.以下称1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ为广义Vandermonde 行列式.2.2 性质定理设12121,1,...,1,...t t d d d d d d m ≥≥≥+++=且，则有 1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ=1223341......2131132422....1()()()()()()()t t t t d d d d d d d d d t t dt t λλλλλλλλλλλλλλ-⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅⋅-⎢⎥⎣⎦------- （2.5）证明将1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ的第1,2,...,2,1m m --列各乘以1()λ-，然后分别加到第,1,2,...,2m m m --列，并按第1行展开得到一个1m -阶行列式，设为1V ，也即11212(,,...;,,...;)t t V V m d d d λλλ==111111121122113211211112122212122122121112112221132212121()().........() (00)0...1...()()().........()1.........m m m d d m d m m m m m m C C C C C C C C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ----------------------22211321211122221111112212.....................000...1...()....................()()........()0...1...t t t tm d d m d m m m t t tt t t t d m d d m d m m C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλ--------------------（1V 是1m -阶）显然1V 的第一行是1m -维向量1(;1)F m λ-，1V 的第二行是1132121(0,1,,...,)m m C C λλ--， 1V 的第三行是2243121(0,0,1,,...,)m m C C λλ--，………1V 的第11d -行是1111221121(0,0,...,0,1,,...,)d d m d d m C C λλ-----. 从而知1V 的前11d -行是11(;1;1)F d m λ--，又易知21λλ-是1V 的第1d 行各元素的公因子，故第1d 行可变成（将21λλ-提到行列式的外边相乘）：222222;1(1,,,...,)()m m F λλλλ--=.再把第1d 行乘以1-加到第11d +行上去，得第11d +行为()()1011011021212113222112221211321221222120,(),(),...,()0,,(),...,()m m m m m m C C C C C C CC C c c λλλλλλλλλλλλλλλ------------=---它也有公因子21λλ-，也提到行列式外边相乘，这时，第11d +行变成11322222(0,1,,...,)(;1)m m C C F m λλλ--'=-. 再把第11d +行乘以1-加到第12d +行，于是第12d +行变成为()()2122122132432221432312323122224221321232120,0,(),(),...,()0,0,(),(),...,()m m m m m m m C C C C C C C CC C C C λλλλλλλλλλλλλλλ----------------，它也有公因子21()λλ-，可提到行列式外边相乘，这时，第12d +行变为21(;1)2!F m λ''-，这样一直进行到第121d d +-行（共2d 次）为2(1)221(;1)(1)!d F m d λ---，而提出到行列式外面的因子为221()d λλ-，同理，可依次得到1V 的其余121m d d --+行，最后得出1122112112122F(;1;1)F(;;1)()...F(;;1)()(,,...,;1,,...,;1)ii td i i t t td i t t i d m d m V d m V d d d m λλλλλλλλλλ==---=--=---∏∏即有212122111212(,,...;,,...;)()...()V(,,...,;1,,...,;1)tt t d d t t t V m d d d m d d d λλλλλλλλλλ=---- （2.6）反复用（2.6）式即得（2.5）式：()1211212112122123231212123(,,...;,,...;)()V(,,...,;1,,...,;1)...=()V(,,...,;,,...,;)...=()()...()ii j i t t t td it t i d t d i t t i d dt t d d d i j t t i j V m d d d m d d d m d d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-===---=⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏1.t d -于是定理得证.2.3 应用在Hermite 插值问题适定性的证明中将用到广义Vandermonde 行列式，下面我们将介绍这个应用.首先，我们陈述一下Hermite 插值问题.对1,2...,()i s s z +=∈ ,设i x R ∈是第i 个插值结点,且s 个结点互异；设ix z +∈是关于第i 个结点的插值重度，记()k i y R ∈为关于第i 个结点k 阶导数的任意给定参数(0,1,...,1)i k α=-，确定满足条件：()()()(0,1,...,1;1,...,)k k n i i i p x y k i s α==-=的一元n 次多项式()n p x ，其中01,1si i n Z n α=∈+=∑，且称上条件为Hermite 插值条件；称满足Hermite 插值条件的一元n 次多项式()n p x 为Hermit 插值多项式.现在我们给出Hermite 插值问题的直观性证明.定理2.1[1] Hermit 插值多项式是存在唯一的.证明记一元多项式()n p x 为01()...n n n p x c c x c x =+++，其中(0,1,...,)i c i n =为待定系数，利用上Hermite 插值条件可得如下关于待定系数01,,...,n c c c 的方程组1()111...,!0,...,1;1,...,.k k k n k k k k i k n i n i i C c C x c C x c y k k i s α-++⎧+++=⎪⎨⎪=-=⎩ 显然上方程组的系数矩阵为广义Vandermonde 矩阵V ，利用定理2.1由插值结点互异知，广义Vandermonde 行列式不等于0，从而上方程组的解存在且唯一.定理2.2 Hermit 插值多项式可表为111111,,...,,...,()/,...,,...,,...,ns n s s s x x x x p x V x x y V αααα⎡⎤=-⎛⎫⎢⎥⎣⎦ ⎪⎝⎭其中(1)(0)(1)111(,...,);(,,...,),(1,...,)1!(1)i T s i i i i i y y y y y y y i s αα-===- .证明参见文献[1].另外，在图书流通管理中可应用广义范德蒙德（V andermonde ）行列式的纵向思维过程；关于WJ-A VE5数字特技机在电视节目制作过程中的使用可应用广义范德蒙德（Vandermonde ）行列式的统计运算功能；目前许多行业，如饲料工业上的应用、肉碱在畜禽水产养殖上的应用、计算机应用基础课程教学模式的探讨、计算机辅助教学课件的应用分析等等，都在利用数学模拟计算方法包括广义范德蒙德（V andermonde ）行列式在内的一系列的基础数学理论，以精确的理论数据进行可维护的实践操作. 另外上定理可将控制论中许多关于iA e 的计算得到简化.3 增次广义Vandermonde 行列式 3.1 定义对于第2节中给出的广义范德蒙德行列式的定义（2.4），若去掉1212(,,...;,,t V d d λλλ...;t d )m 的第1,...,r k k 列，11...,1r k k m r m ≤<<≤≤≤，而在末尾增加诸i λ次数顺序为,...,1m m r +-的列，则所得矩阵称为增r 次广义Vandermonde 矩阵，记为111(,...,;,...,;;,...,)t t r V d d m k k λλ=111111112221111111131311111112212112111111122221.........01..........................................00.........1.........1...rrrrrrk k k k m rk k k k m r k k k k m r d m d rm r C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+111111222212222313111111122222222212112......01..........................................000.........1...............................rr rrrrk k k km rk k k k m rk k k k m r d m d r m r C C C C C C C λλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+111111222131311111112222111...........1.........01 (00).........1.........rrrrrrt t k k k k m rt t t t t t t k k k k m rt k t k t k tk t m r td m d r m r t C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.2性质Laplace 定理的引理行列式D 的任一k 阶子式M 与它的代数余子式A 的乘积MA 中的每一项都是D 的一项，而且符号一致.定理3.1 11111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)t t t t k V d d m k V d d m λλλλτ-=⋅. （3.1）证明 11(,...,;,...,;;)t t V d d m k λλ是111(,...,,;,...,;1;1)t t t V d d m λλλ++的按最后一行展开式中项11k t λ-+的系数1×(1)m k++-，而13221341112131132422111112121(,...,,;,...,;1;1)()()()()()()...()()(,,...;,,...;)()t t tti id d d d t t t t td d d d d d d t t t t i i td t i t t i V d d m V m d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+=+=⎡⎤+=--⋅⋅⋅-⎣⎦⎡⎤⎡⎤⋅--⋅⋅⋅-⋅⋅--⎣⎦⎣⎦=⋅-∏∏.再由韦达定理知11()i td t i i λλ+=-∏中11k t λ-+的系数为(1)1(1)m k k τ----，所以1(1)11111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)(1)(1)m k m k t t t t k V d d m k V d d m λλλλτ++---=⋅-⋅-.化简即得（3.1）式.推论3.1 111111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)(...)t t t t t t V d d m m V d d m d d λλλλλλ=⋅++. 推论3.2 当12...1t d d d ====时，有：111(,...,;1,...,1;;)(,...,)t t k V m k V λλλλτ-=，且仅当k t =时，有111(,...,;1,...,1;;)(...)()t t ijj i tV m t λλλλλλ≤<≤=++-∏.推论3.3 若()i j i j λλ≠≠，则1212(,,...;,,...;)t t V d d d m λλλ的秩为m . 推论3.4 若1(),0i j k i j λλτ-≠≠≠，则11(,...,;,...,;;)t t V d d m k λλ的秩为m . 推论3.5 若12(),(...)0i j t i j λλλλλ≠≠++≠时，1(,...,;1,...,1;;)t V m t λλ的秩为m . 推论3.6 若11(),(...)0i j t t i j d d λλλλ≠≠++≠时,11(,...,;,...,;;)t t V d d m m λλ的秩为m .定理3.2 12121112111221(,...,;,...,;;;)(,...,;,...,;)()t t t t k k k k V d d m k k V d d m λλλλττττ----=-.证明设1121(,...,,,;,...,,1,1;2)t t t t V d d m λλλλ+++按最后两行展开后， 121221121111111112121122k k k k k k t t t t t t k k t t λλλλλλλλ------++++++--++=- 的系数为12,k k D ，则1212121112,(,...,;,...,;;;)(1)m m k k t t k k V d d m k k D λλ+++++=-从而112111122111(,...,,,;,...,,1,1;2)(,...,;,...,;)()()()jit t t t t t ttd d t i t j t t i j V d d m V m d d λλλλλλλλλλλλ++++++==+=⋅---∏∏.注意到11()i td t i i λλ+=-∏,展开式中111211,k k t t λλ--++的系数分别为11111212(1),(1)m k m k k k ττ-+-+----；而21()jtd t j j λλ+=-∏展开式中221222,k k t t λλ--++的系数分别为22221212(1),(1)m k m k k k ττ-+-+----，于是1121(,...,,,;,...,,1,1;2)t t t t V d d m λλλλ+++中121112,k k t t λλ--++的系数是12121212(1)(1)m k m k k k ττ-+-+-----12122121(1)(1)m k m k k k ττ-+-+----.由Laplace 定理的引理知：121212121111211121221(,...,;,...,;;;)(,...,;,...,;)(1)()(1)k k t t t t m m k k k k k k V d d m k k V d d m λλλλττττ--+++++----=⋅--⋅-化简上式即得定理成立.推论3.7 若12121221(),ij k k k k i j λλττττ----≠≠≠，则11(,...,;,...,;)t t V d d m λλ的秩为m .3.3 计算例1 计算234623524234623523461012346001361510123461x x x x x x x x x x x x V y y y y y y y y y zz z z z =.解63232V (x ,y ,z ,u ;3,2,1,1;7)()()()()()()y x z x z y u x u y u z =------. V是V(x,y,z,u;3,2,1,1;7)的按最后一行展开式中5u 项系数⨯6+7（-1），得63267632()()()[(32)](1)()()()(32).V y x z x z y x y z y x z x z y x y z +=----++⨯-=---++例2 计算236725645236725623671012367013152110123671x x x x x x x x x x x x V y y y y y y y y y zz z z z =. 解 6323213V (x ,y ,z ,u ,v ;3,2,1,1,1;8)()()()()()()(y x z xz yu x u y u z v x=------- 21()()()v y v z v u ---V 是V(x,y,z,u,v;3,2,1,1,1;8)的按最后两行展开中45455445u u u v u v v v=-项系数5678(1)+++⨯-，得321()()()u x u y u z ---中43,u u 的系数为2343(1),(1)ττ--，54,v v 的系数为254(1),(1)ττ--，所以6322453()()()()V y x z x z y τττ=----.结束语本文主要在Vandermonde 行列式的基础上对广义Vandermonde 行列式的概念、性质及其应用等加以归纳和讨论，并在此基础上适当推广，讨论了增次广义Vandermonde 行列式的含义、性质与计算. 由于广义Vandermonde 行列式的应用较为广泛，目前在这方面的研究已经取得了丰硕的成果，对此本文不再深入讨论.参考文献[1] 盛中平. 林正华, 广义Vandermonde行列式及其应用[J]，高等学校计算数学学报，3（1996），217-225.[2] 邱建霞. 吴康，广义Vandermonde行列式的再推广[J]，西华师范大学学报(自然科学版)，25：3（2004），328-332.[3] 王向东,，广义Vandermonde行列式[J]，佛山科学技术学院报，19：1（2001），1-4.[4] 邱建霞，增次广义Vandermonde行列式[J]，大学数学，21：3（2005），85-90.[5] 邱建霞，增次广义Vandermonde行列式的计算[J]，高等数学研究，9：1（2006），19-21.[6] 普丰山. 陈军，广义Vandermonde行列式及其应用[J]，河南科学，24：5（2006），26-28.[7] SEYMOURL Inpschut. Schaum’s outline of Theory and problems of Linear Algebra [M]. McGraw 2 Hill Book Company, 1968Generalized Vandermonde DeterminantAuthor: Yuan Min Supervisor: Shu AxiuAbstract: Vandermonde determinant is a special determinant, and generalized Vandermonde determinant is promotion of Vandermonde determinant which is important in practical application. For instance, it can be used to solve the question of qualitative property of Hermit interpolation. In this paper , we introduced the property , calculation and application of generalized Vandermonde determinant, extended appropriately ,and introduced the definition and property of generalized additional involution Vandermonde matrixesKey words: Vandermonde determinant; generalized Vandermonde determinant;generalized additional involution Vandermonde matrixes。

两个范德蒙行列式问题及其推广

Ｓ３一（＋Ｙ＋）计２ｚＳ一
（ｘｙ＋．Ｚ＋ｙபைடு நூலகம்Ｓ科ｌ＋ｘＳＴｚ）ｙｚ．
Ｄ一Ｉ（Ｒ，Ｉ一：ｓ）
１＜￡＾ ≤ ≤
所以Ｓ的分子为
Ｆ一 ∑ （）Ｔ ∑ （）Ｄ，一１Ｄ一ｘ一１ｘ抖Ｔ
由于Ｄ恰等于范德蒙行列式Ｖ（一，，计，ｘｚｚ
…
由于，，ｚＹｚ是不同的整数，且
收稿日期：ＯＯ０ — ９修改日期：Ｏ１１ — １２ｌ一６１；２ｌ－２２作者简介：海燕（９８－）女，００级硕士研究生在读，究方向为黎１８－，２１研课程与教学论．ｍａ：９３６１＠ｑ．ＯｌＥｉ５７３５５ｑＣＷｌ
造成初等形式的，因此，高观点下看初等数学，从探
究高等数学与初等数学的关系，利于提高大学生有对高等数学的应用能力．同时，大学数学竞赛也注重
学生对高等数学的创新和应用能力的考察，现举两
黎海燕，陈娟华，吴康
（南师范大学数学科学学院，东广州５０３）华广１６１
摘要分析出现在数学竞赛中的两个有关范德蒙行列式的问题，用其结构特点对问题进行推广．利关键词范德蒙行列式；环对称表达式；用循应
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范德蒙行列式及其应用

目录摘要及关键词 (1)一、范德蒙行列式 (1)(一)范德蒙行列式定义 (1)(二)范德蒙行列式的推广 (4)二、范德蒙行列式的相关应用 (8)(一) 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 (8)(二) 范德蒙行列式在微积分中的应用 (14)(三) 范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (19)(四) 范德蒙行列式推广的应用 (21)三、结束语 (22)四、参考文献 (23)范德蒙行列式及其应用摘要：在北大版高等代数的教科书中，行列式是一个重点也是一个难点，它是学习线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，起着重要作用。

而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，同时可以应用在很多领域。

本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算、推广及其证明，讨论它在行列式计算,微积分和多项式理论中的相关应用，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计算的某些方法和技巧，这将有助于我们更好的应用范德蒙行列式解决问题。

关键词：范德蒙行列式、行列式The Determinant of Vandermonde and Its ApplicationYuping- Xiao(Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China) Abstract: Higher algebra textbook edition in Beijing University,the determinant is not only animportant point but also a difficult point,it is a foundation of learning linear equations,matrices,vector space and linear transformation,it plays an important role.And the calculation of determinant has a certain regularity and skills,it can be applied in many areas at the same time. This paper will be through the calculation,expansion and prove of a n band Vandermonde determinant,and discuss the calculation of determinant,the relevant application in the calculus and multinomial theory, then study some examples about the determinant of Vandermonde,and acquire some methods and skills of determinant calculation,This will help us better use the determinant of Vandermonde to solve the problems.Key words: the Vandermonder determinant; determinant一、范德蒙行列式(一)范德蒙行列式定义定义1[1]关于变元x,2x n x的n阶行列式1122221211112111n n nn n n nx x x D x x x x x x ---= (1) 叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式。

浅析Vandermonde行列式的质与应用

浅析Vandermonde行列式的质与应用浅析Vandermonde行列式的性质与应用摘要：在线性代数与高等代数的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，且其计算具有一定的规律性和技巧性.而Vandermonde行列式是一类很重要的行列式,它构造独特、形式优美、性质特殊，是行列式中的一颗璀璨明珠.为了使我们对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，同时开阔数学视野、培养发散思维能力，以便更好地为我们的科研和生活服务，本文主要阐述了Vandermonde行列式的证法及其相关性质,并用例举法介绍及总结了如何利用Vandermonde行列式计算某些特殊的行列式与其在多项式、向量空间等中的简单应用.关键词：行列式 Vandermonde Vandermonde行列式宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文Analysis of Vandermonde determinant Properties and ApplicationsAbstract:Linear algebra and advanced algebra learning, the determinant i s undoubtedly a key and difficult points, it is the follow-up course matrix, the basis of vector spaces and linear transformations, and its calculation with a certain regularity and skill. Vandermonde determinant is a very important determinant, it constructs a unique, beautiful form of special nature, is a shining pearl in the determinant. To enable us to further deepen the understanding and application of the Vandermonde determinant, and at the same time broaden their mathematical horizons, develop divergent thinking ability in order to better serve our research and living services, the paper mainly expounds the Vandermonde determinant permit law and its related properties, and introduced with examples of France and summarizes how to use the Vandermonde determinant for the calculation of some of the special determinant of the Vandermonde determinant polynomial, the vector space.Keywords: Determinant Vandermonde Vandermonde determinant宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文目录1 引言 (1)2 VANDERMONDE行列式的定义与证法 (2)2.1V ANDERMONDE行列式的定义 (2)2.2V ANDERMONDE行列式的证法 (2)3 VANDERMONDE行列式的性质 (4)3.1V ANDERMONDE行列式的翻转与变形 (4)3.2V ANDERMONDE行列式为0的充分必要条件 (5)3.3V ANDERMONDE行列式推广的性质定理 (5)4 VANDERMONDE行列式的应用 (7)4.1V ANDERMONDE行列式在行列式计算中的应用 (7)4.1.1 计算准Vandermonde行列式 (7)4.1.2 计算特殊的行列式 (7)4.2V ANDERMONDE行列式在多项式与向量空间中的应用 (10)4.2.1 Vandermonde行列式在多项式中的应用 (10)4.2.2 Vandermonde行列式在向量空间中的应用 (13)5 小结 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)1 引言行列式最早出现在17世纪关于线性方程组的求解问题中，由日本数学家关孝和德国数学家莱布尼茨分别发明，而法国数学家范德蒙德(A-T.Vander- monde，1735-1796)对行列式理论做出了连贯的、逻辑的阐述，并命名了著名的Vandermonde 行列式.后许多数学家如柯西、雅可比、泰勒等对其不断发展完善，做了进一步的解析与应用，使得19世纪中期行列式与向量、矩阵完美融合.时至今日，行列式成为了线性代数与高等代数的主要内容与重点内容之一，是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，而vandermonde行列式在多项式、向量空间、线性方程组、线性变换、矩阵的特征值与特征向量、微积分等理论中都有大量应用，例如对Cramer法则的补充、Lagrange插值公式的推导、向量空间基的证明、与Taylor公式结合求微积分问题等起了重要的作用[1]，而其在简化行列式计算方面，更是灵活巧妙，成为了广大学生的有力工具.出于对n阶vandermonde行列式其独特的构造、优美的形式、特殊的性质的好奇与喜爱，我查阅了大量的参考文献后，决定就Vandermonde行列式的证法与相关性质，浅谈其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用，使得对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，培养自身的科研素养.当然我相信，随着科技的进步与更多数学家的进一步研究，Vandermonde行列式这颗璀璨明珠，将会在各领域绽放更耀眼的光芒.2 Vandermonde 行列式的定义与证法 2.1 Vandermonde 行列式的定义我们把型如 n V =121111211...1..................nn n n na a a a a a ---的行列式叫做Vandermonde 行列式，其值为1()i j j i na a ≤<≤-∏，即n V =121111211...1..................nn n n na a a a a a ---=1()i j j i na a ≤<≤-∏其中1()i j j i na a ≤<≤-∏表示12,,...n a a a 这n 个数的所有可能的差i j a a -（1j i n ≤<≤）的乘积（2n ≥）[2].2.2 Vandermonde 行列式的证法方法一：消元法（降阶法）[3]证明从第n 行开始，每一行加上前一行的1a -倍，根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有n V =)()(...)(0)()(...)(0............ (01)1 (1)11211211222131131123211112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n -------------------- 再按行列式首项展开得：n V =1·)()(...)()()(...)(...............1211211222131131123211112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n --------------------各列提公因式得：n V =21111()...()()n n a a a a a a ----·2313333231222223111...11........................n nn n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a ----------- 注意到行列式2313333231222223111...11........................n nn n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a -----------是1n -阶Vandermonde 行列式1-n V ，即已经将n V 用1-n V 表示出来,降了一阶，并且少了一元1a .重复用上述方法对1-n V 再进行求解，经过有限步则可以得到：1n V -=（(21a a -)…111()()n n a a a a ---）·(()32122()...()n n a a a a a a ----)…(1n n a a --)=1()i j j i na a ≤<≤-∏即证.方法二：数学归纳法[4] 证明（1）当2n =时, 221121 1V a a a a ==-成立. （2）假设对于1n -阶成立，则对于n 阶，首先构造一个辅助的n 阶行列式： 11-n 112112212221121)(1 1 1 1------=n n n n n n x xa a a xa a a xa a a V显然，n aV V n =)(，将)(x V 按第n 列展开，得：1)(=x V ·n A 1x +·n A 22x +·13-++n n x A ·nn A其中),,2,1(n i A in =是行列式)(x V 中元素),,2,1(1n i x a i in ==-的代数余子式，且不含x ，因此可知)(x V 是一个n-1次的多项式，它的最高次1-n x 的系数是nn A ，按定义知11)1(--+=-=n n n n nn V V A .另一方面，根据行列式的性质知121,,-n a a a 是)(x V 的n-1个根，根据多项式的理论，得：)())((1211)(-----=n n x a x a x a x V V取n a x =代入，得：)())((1211)(-----=n n n n n x a a a a a a V V即 )())((1211-----=n n n n n n a a a a a a V V根据归纳假设，1-n V =11()i j j i n a a ≤<≤--∏，因此n V =1()i j j i na a ≤<≤-∏.由（1）（2）结论得证.3 Vandermonde 行列式的性质3.1 Vandermonde 行列式的翻转与变形n V =121111211...1..................nn n n nx x x x x x ---(1)将Vandermonde 行列式逆时针旋转90，得11(1)11211111(1)1n nn n n n n n n n x x x x V x x ------=-.(2)将Vandermonde 行列式顺时针旋转90，得1111(1)222111(1)1n n n n n n nn x x x x V x x ----=-.(3)将Vandermonde 行列式旋转180，得1111111111n n n n n n n x x x V x x x -----=.3.2 Vandermonde 行列式为0的充分必要条件一个Vandermonde 行列式121111211...1..................nn n n na a a a a a ---为0的充分必要条件是：12,,,n a a a 这n 个数中至少有两个相等.3.3 Vandermonde 行列式推广的性质定理行列式()n k V = 122221211112111121211...1.......................................nnk k k n k k k n nn n nx x x x x x x x x x x x x x x ---+++=1212......n k n kp p p p p p x x x --∑·V (k=0,1,2…n -1) 其中符号“()n k V ”中的下标“n ”表示n 阶行列式，“(k)”表示仅缺少的k 次方幂元素行；12,...n k p p p -是1,2,...n 中（n k -）个数的一个正序排列；12...n kp p p -∑表示对所有（n k -）阶排列求和；1(x -x )i j j i nV ≤<≤=∏[5].证明（i ）在行列式()1,2(...)n k n V x x x 中增补第（1k +）行和（1n +）列相应的元素，考虑（1n +）阶Vandermonde 行列式1211111212121111121211...11.....................()(,...,)........................n k k k k n n kk k k n k k k k n nn n nnx x x x x x x x f x V x x x x x x x x x x x x x x x x ----++++===213111()()()()n x x x x x x x x ----·))(()(2223x x x x x x n --- ·… … … … ))((11----n n n x x x x · ()n x x -=12()()...()n x x x x x x ---·1()i j j i nx x ≤<≤-∏(ii)由上式的两端分别计算多项式k x 中项的系数.在上式左端，由行列式计算k x 的系数为：行列式中该元素对应的代数余子式(1)k n +-·()n k V ，在上式右端，由多项式计算知12,,...,n x x x 为()0f x =的n 个不同根，根据根与系数的关系，k x 项的系数为：(1)n k n k a --=-·1212,......n k n kp p p p p p x x x --∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏(k=0,1,2…n -1)其中12,...n k p p p -是1，2…n 中（n k -）个数的一个正序排列，12,...n kp p p -∑表示对所有（n k -）阶排列求和.（iii ）比较)(x f 中k x 项的系数，计算行列式)(k n V .因为(*)式左右两端k x 项系数应该相等，所以(1)k n +-·)(k n V (1)n k -=-·1212,......n k n kp p p p p p x x x --∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏，则1212(),......n k n kn k p p p p p p V x x x --=∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏1212......n k n kp p p p p p x x x --=∑·V (k=0,1,2…n -1)定理得证.4 Vandermonde 行列式的应用4.1 Vandermonde 行列式在行列式计算中的应用4.1.1 计算准Vandermonde 行列式利用Vandermonde 行列式推广的性质定理可以计算各阶准Vandermonde 行列式（缺行的Vandermonde 行列式也叫做超Vandermonde 行列式或准Vandermon -de 行列式），简便易行[6].特别地，当k n =时，令0p =1，()n k V 即为Vandermonde 行列式n V .例1 计算准Vandermonde 行列式1234562222221234566(3)444444123456555555123456666666123456111111a a a a a a a a a a a a V a a a a a a a a a a a a a a a a a a =解由定理，n =6,k =3,所以 1231236(3)p p p p p p V aa a =∑·∏≤<≤-61)(i j j ia a=123124456(...)a a a a a a a a a +++·∏≤<≤-61)(i j j ia a4.1.2 计算特殊的行列式Vandermonde 行列式在行列式计算中的应用，除了应用其推广的性质定理来计算各阶准Vandermonde 行列式之外，还可以用以下一些方法来计算某些类似Vandermonde 行列式的特殊的行列式.（1）法一: 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与Vandermonde 行列式不完全相同，需利用行列的性质（如提取公因式，调换各行（列）的次序等）将其化为Vandermonde 行列式[7].例2 计算n 阶行列式nn n n n n D22222111=解 n D 1212122211111!--=n n n n n n)1()13)(12(!---=n n ·)]1([)2()24)(23(-----n n n!n =·)!1(-n ·)!2(-n ·!2·!1（2）法二：利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的Vandermonde 行列式.例3 计算)1(+n 阶行列式n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nn b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a D 1111212111112122222221221111212111111+-+++-++-++------+=其中0≠i b ，0≠i a ，（1,,2,1+=n i ）解提取1+n D 各行的公因式，得：nn n n n a a a D 211=+·11222211111)(1)(1)(1---n n n nnn n a b a b a b a b a b a b （Vandermonde 行列式）上式右端的行列式是以新元素112211,,,++n n a b a b a b 为列元素的1+n 阶Vandermonde 行列式，所以：1+n D =n nn n a a a 21·∏+≤<≤-11)(n i j j jii a b a b（3）法三：如n 阶行列式n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含有相同分行（列），且n D 中含有n 个分行（列）组成的Vandermonde 行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以（1-）加到（1+i ）行（列），消除一些分行（列），即可化成Vandermonde 行列式[8].例4 计算行列式△4=434233322322213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++ 解在△4的第2行中去掉与第一行成比例的分行，得到△4=434233322322213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行，得:△4=4333232134********321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=∏≤<≤-41)sin (sin i j j i ϕϕ（4）法四：行列式中其他各行（列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）的元素不是相应元素的零次幂（即该行（列）元素都不是1），而是各行（列）元素的函数，利用行列式的性质将这一行（列）元素化为全是1的元素.例5 证明△3=ba a c cbc b a cb a +++222证明将△3的第1行加到第3行上，得到△3=c b a c b a c b a c b a c b a++++++222=222111)(c b a c b ac b a ++ ))()()((b c a c a b c b a ---++=4.2 Vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用在线性方程组中，Cramer 法则有着非常重要的作用，它给出了一类重要的线性方程组的解的存在唯一性.而在许多行列式的计算与证明中，Vandermonde 行列式又是一个十分重要的行列式.两个如此“重要”的数学元素相结合，其产生的作用将更重要.Vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用，主要就是结合Cramer 法则来证明相关的问题[9].下面一起来看几个典型的例子. 4.2.1 Vandermonde 行列式在多项式中的应用例6 证明一个n 次多项式至多有n 个互异的根. 证明用反证法.设n n x a x a x a a x f ++++= 2210)(有n+1个互异的根，分别为：121 , , ,+n x x x ，则有：0)(2210=++++=n i n i i i x a x a x a a x f （11+≤≤n i ）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++000122111022221201221110n n n n n n nn na x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a这个关于n a a a , , ,10 的齐次线性方程组的系数行列式是一个Vandermonde 行列式:0)( 11 111121!22221211≠-=∏+≤<≤+++n i j j in n n n n nx xx x x x x x x x x则由Cramer法则知该方程组只有零解，即0210=====n a a a a ，而n 次多项式)(x f 的最高次项的系数n a 是不为零的.这个矛盾表明)(x f 至多有n 个互异的根.例7 设多项式n k n k k x a x a x a x f +++= 2121)(，0≠i a ， j i k k ≠，j i ≠，},,2,1{,n j i ∈，则)(x f 不可能有非零且重数大于1-n 的根.证明用反证法.设0≠α是)(x f 的重数大于1-n 的根，则0)(,,0)(,0)()1('===-αααn ff f进而有0)(,,0)(,0)()1(1'===--αααααn n ff f即：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+--+++--++--=+++=+++0)2()1()2()1()2()1(0021212122221111221121n n n k n n nn k k k n n kk k n k k a n k k k a n k k k a n k k k a k a k a k a a a ααααααααα 把上式看作是以n k n k k a a a ααα，，， 2121为未知量的齐次线性方程组，则其系数行列式为：)2()1()2()1()2()1()1()1()1(111222*********+--+--+-----n k k k n k k k n k k k k k k k k k k k k n n n n n n1121121111---=n nn n nk k k k k k∏≤<≤≠-=ni j j i k k 10)( 由Cramer 法则知上面的齐次线性方程组只有零解，从而),,2,1(,0n i a k i ==α因为0≠i a ，所以必须0=α，这与假设0≠α矛盾，故)(x f 没有非零且重数大于1-n 的根.例8 证明：对于平面上n 个点),(i i b a （n a a a n i , , , , 121 ≤≤互不相等），必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式)(x f 通过这n 个点，即 i i b a f =)()(1 n i ≤≤.分析要证明n 个等式成立，也就是要证明n 个方程组成的方程组有解，很自然地会想到Cramer 法则，再根据系数行列式的特点，考虑用Vandermonde 行列式的结论.证明设n n n n c x c x c x c x f ++++=---12211)( ，要使)(1 )(n i b a f i i ≤≤=，即满足关于n c c c , , , 21 的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---------n n n n n n n n n n n n n n n n bc c a c a c a b c c a c a c a b c c a c a c a 12211212222112111221111该方程组的系数行列式为Vandermonde 行列式：111212221212111n n n n n n n n n a a a a a a a a a------，当n a a a , , , 21 互不相等时，该行列式不为0，由Cramer 法则知方程组有唯一解，即对于平面上n 个点),(i i b a （n a a a n i , , , , 121 ≤≤互不相等），必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式)(x f 通过这n 个点. 4.2.2 Vandermonde 行列式在向量空间中的应用例9 设n t t t 21 ,是互不相同的实数，证明向量组（12, , ,1-n i i i t t t ）i=1,2,…n 是n 维向量空间n R 中的一个基.证明只需证明12, , ,1-n i i i t t t 线性无关即可.令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---12122221121121 1 1 1 n m m m n n n t t t t t t t t t a a a A ，因为n t t t 21 ,是互不相同的实数，所以 0)(1≠-==∑≤<≤ni j j iT t tA A ，故12, , ,1-n i i i t t t （i=1,2,…n ）线性无关，是n 维向量空间n R 中的一个基.例10 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}，证明 C[a,b]是R 上的向量空间.证明我们知道，C[a,b]是R 上的无限维向量空间，要证该结论，只需对任意的正整数n ，可证得n x x x , , ,12线性无关即可.设R k k k k n ∈∃, , , , 210 ，使得02210=++++n n x k x k x k k取n+1个实数121, , , +n c c c ，使得b c c c a n ≤<<<≤+121 ，则由上式知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++000121211022222101212110n n n n n nn nn c k c k c k k c k c k c k k c k c k c k k即A ·⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 10 n k k k ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n n n nn c c c c c c c c c A 121122221211 1 1 1而0)(det 11≠-==∏+≤<≤n i j j i c c A A ，则A 可逆，用1-A 左乘A ·⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 10 n k k k 的两端，得：0210=====n k k k k ，所以n x xx , , ,12线性无关.故C[a,b]是R 上的向量空间，且是R 上的无限维向量空间.例11 设0dim >=n V F （即V 的维数为n ），存在集合V S ⊆，使S 含无穷多个向量，且S 中任意n 个不同的向量都是V 的一个基.证明设n ααα, , , 21 是V 的一个基，令{}F k k k k S n n ∈+++==-|13221αααα ， n n k k k k ααααβ13221-++++= ，让n k k k , , , 21 互不相同，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---11211222212121 1 11), , , (), , , (21n n n n nn n k k k k k k k k k k k k n αααβββ由于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---112112222121 1 11n n n n nn k k k k k k k k k T ，其行列式是Vandermonde 行列式，即0)(det 1≠-==∏≤<≤ni j j ik kT T ，故), , , (21n k k k βββ 线性无关，是V 的一个基，且S中含无穷多个向量.当然，Vandermonde 行列式与Cramer 法则相结合的应用远不仅此，二者还可用于求缺项)11( -≤≤n k x k 的多项式的表达式、Lagrange 插值公式的推导等，还可与泰勒公式相结合来证明有关高阶微积分的问题，因所需的专业知识较深、综合性较强、推导计算等过程较复杂，这里不作研究.5 小结以上我们在回顾行列式相关知识的基础上，进一步比较系统地阐述了Vandermonde行列式的一些重要性质与其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用等知识，使得我们对vandermonde行列式进一步加深了解与应用.在本文的撰写中，我通过查阅大量文献，在各代数学家研究的理论基础上选择并总结了适合大学生学习与应用的部分，通过举例向大家具体呈现了Vandermonde行列式的应用方法，同时开阔了自己的数学视野，培养了发散思维能力与科研素养，为今后继续对行列式及vandermonde行列式更深层次、更复杂层次的相关研究做铺垫.对于第一次论文的撰写，难免有纰漏，望老师提出宝贵的意见，以便更好地为我们的学习、科研和生活服务.参考文献谢辞在论文的选题及撰写过程中得到我的指导教师的悉心指导，在此表示衷心的感谢！李老师严谨治学的态度使我受益匪浅，在论文写作的这段时间里,她时刻关心着我的论文完成情况,并时常给我指出论文中的缺点和需要改进的地方,并指导我如何查找资料，使得我最后顺利完成论文.同时感谢其他所有帮助过我的老师、同学以及一起努力过的朋友.[1] 张贤科，许甫华.高等代数[M].北京:清华大学出版社,1998年4月:102.[2] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社.2003年6月:79-81.[3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].北京:高等教育出版社.2004年7月:95-96.[4] 张禾瑞，郝炳新. 高等代数[M].北京:高等教育出版社.1999年5月:119-120.[5] 黄玉蝉.多项式、线性方程组及Vandermonde 行列式的相互应用[J].济南大学学宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文报.1994(2):4-6.[6] 刘建中.范德蒙德行列式的一个性质的证明及其应用[J].河北大学学报（自然科学版）.2000(4):8-10.[7] 袁旭华，杨海文，赵耀峰.几种类Vandermonde行列式的计算[J].延安大学学报（自然科学版）.2006(1):7-9.[8] 王新长.Vandermonde行列式在高等代数中的应用[J].井冈山师范学院学报（自然科学版）.2002(3):3-5.[9] 宴林.范德蒙行列式的应用[J].文山师范高等专科学校学报.2001(2):10-13.17。

范德蒙行列式的推广及其在教学中的应用

范德蒙行列式的推广及其在教学中的应用
范德蒙行列式的推广及其在教学中的应用
德蒙行列式是一种正交化处理方法，它也称作正交行列式。

它主要用于调整数据，使相应的变量之间形成一种平行关系。

在统计学中，德蒙行列式也称作正交因子分析的主成分分析。

范德蒙行列式是德蒙行式的一种推广，它将行列式的变量和系数扩展到多个变量之间形成多列。

范德蒙行列式对调整数据更有效，因为它考虑了多个变量之间的相互关系。

范德蒙行列式可以更好地探索数据集中的不同变量的关系。

此外，它还能估计出一个变量的综合指标，以衡量该变量出现的频率。

教学中，范德蒙行列式可以用于解释数据库中的复杂关系，帮助学生了解两个或多个变量之间的精确关系。

此外，该方法还可以建立一个可以衡量多个变量相互影响程度的联合指标，帮助学生更有效地理解多变量数据集和使用数据来测量其他变量时出现的潜在因素。

总体而言，范德蒙行列式可以提供有效的处理数据的方法，能够帮助学生学习多变量数据分析，解决复杂的理论问题。

它也可以用于教学过程中，帮助学生了解各种变量之间的关系，用数据形象化进行深入分析。

四阶范德蒙德行列式的推广

四阶范德蒙德行列式的推广摘要：在数学领域范德蒙德行列式有很深的应用和研究，为了更清楚地了解范德蒙德行列式，本文讨论了四阶和三阶范德蒙德行列式的计算公式，并且分别介绍了越过它的某一行的行列式的计算方法，即通过“增边法”构造范德蒙德行列式进行计算，并给出了具体的例子进行了验证。

关键词：范德蒙德行列式；四阶范德蒙德行列式缺行的计算A generalization of the fourth -order vandermonde determinant(school of mathematics and statistics, class 2, mathematics and applied mathematics, grade2016)Abstract ：Vandermonde determinant has wide application and research in mathematics, the aim of understand the vandermonde determinant more clearly. This article discussed the fourth -order and third -order vandermonde determinant calculation formula, and separately introduces the determinant of a line across its calculation method, namely through the "edge" tectonic vandermonde determinant calculation, and presents a concrete example is verified.Key words: Vandermonde determinant; Calculation of the fourth order vandermonde determinant with missing rows.引言行列式有很多种类型，并且形式千变万化，范德蒙德行列式是其中的一种，其构造具有特殊性，四阶范德蒙德行列式较为简单明了，本文由它展开讨论。

范德蒙的行列式

范德蒙的行列式摘要：一、范德蒙行列式的定义二、范德蒙行列式的性质1.行列式与其转置行列式之间的关系2.行列式的可逆性3.行列式的乘积性质三、范德蒙行列式的计算方法1.递推法2.矩阵的行列式公式3.扩展行列式公式四、范德蒙行列式在数学中的应用1.线性方程组的求解2.矩阵的逆矩阵求解3.矩阵的LU 分解五、范德蒙行列式的推广1.范德蒙行列式的更高阶数2.带标号的范德蒙行列式正文：范德蒙行列式是一种特殊的行列式，它是以法国数学家范德蒙命名的。

范德蒙行列式具有很多重要的性质和应用，下面我们来详细了解一下。

一、范德蒙行列式的定义范德蒙行列式是一个n 阶行列式，它的定义如下：|A| = a11 * a22 * ...* ann- a12 * a21 * ...* an1+ a13 * a22 * ...* an2- a14 * a23 * ...* an3+ ...+ (-1)^(n-1) * a1n * a2n-1 * ...* ann其中，a11, a12, ..., ann 是矩阵A 的主对角线元素，a12, a21, ..., an1 是矩阵A 的次对角线元素，以此类推。

二、范德蒙行列式的性质1.行列式与其转置行列式之间的关系范德蒙行列式的转置行列式等于其本身，即|A| = |A^T|。

2.行列式的可逆性当且仅当矩阵A 可逆时，范德蒙行列式不为零。

3.行列式的乘积性质设矩阵A 和矩阵B 都是n 阶矩阵，则有|AB| = |A| * |B|。

三、范德蒙行列式的计算方法1.递推法对于n 阶矩阵A，我们可以通过递推的方式计算范德蒙行列式。

具体来说，我们可以先计算出n-1 阶矩阵A"的范德蒙行列式，然后用主对角线元素和次对角线元素的关系来计算n 阶矩阵A 的范德蒙行列式。

2.矩阵的行列式公式根据矩阵的行列式公式，我们可以直接计算出范德蒙行列式。

3.扩展行列式公式通过扩展行列式公式，我们也可以计算范德蒙行列式。

vandermonde行列式的一个推广及其在初等数学中的应用

vandermonde行列式的一个推广及其在初等数学中的应用
拉斐尔·范德蒙德（Rafael de laVandermonde）是一位法国数学家，他发明了一种矩阵，被称为范德蒙德矩阵（Vandermonde Matrix）。

范德蒙德矩阵是一种特殊的矩阵，它的每一行都是一个等差数列，每一列都是一个等比数列。

它的行列式可以用来计算一组数字的组合数。

范德蒙德矩阵的一个推广是多项式矩阵，它是一种特殊的范德蒙德矩阵，它的每一行都是一个多项式，每一列都是一个多项式的系数。

多项式矩阵的行列式可以用来计算一组多项式的组合数。

范德蒙德矩阵和多项式矩阵在初等数学中有着广泛的应用。

它们可以用来计算一组数字或多项式的组合数，这在求解多项式方程时非常有用。

此外，它们还可以用来计算组合数学中的组合数，以及概率论中的概率分布。

总之，范德蒙德矩阵和多项式矩阵是一种特殊的矩阵，它们的行列式可以用来计算一组数字或多项式的组合数，在初等数学中有着广泛的应用。

毕业论文范德蒙行列式

1、若将范德蒙行列式逆时针旋转
可得
5 / 16
2、若将范德蒙行列
3、若将范德蒙行列式
1．3 范德蒙行列式的推广定义及证明利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。但是对于一些结构特
殊的行列式，可以考虑用一些特别的方法。下面以n阶范德蒙行列式为例，我们来说明怎样利用n阶范德蒙行列式来简化行列式的计算。对于（1）式而言，n阶行列式D_n的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由 0递增至n-1。根据范德蒙行列式的这种结构特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后利用其结果计算。个人收集整理勿做商业用途
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商业用途
商业用途
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(
)(
)(
)
途
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后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可
能差（2≤j＜i≤n）；而包含的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明. 个人收集整理勿做商业用途
这里
，i=1,2，第三章
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拉格朗日插值公式
公式内容求一个 n 次多项式 f (x) an an1x …… a0xn 使得 f (x0 ) y0 ，
f (x1) y1 ，…… f (xn ) yn ，其中 X 0 , , X n 是两两互不相同的数，y0 , , yn 是 n 1
从而
，这显然不合题意，
故以下考虑当时最高阶无穷小为6阶的情形.令
等价于
此时为未知数的线性方程组，其系数行列式为范德蒙行列式

范德蒙行列式的推广及其应用

范德蒙行列式的推广及其应用
顾燕;张俊伟
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2015(031)006
【摘要】范德蒙行列式构造独特,是高等代数中一个典型的行列式.它在数值计算,数值逼近等领域有着广泛的应用.通过对已有的几类广义范德蒙行列式的分析,推广得到了更一般的范德蒙行列式的计算公式.
【总页数】5页(P72-76)
【作者】顾燕;张俊伟
【作者单位】苏州大学数学科学学院,江苏苏州215006;苏州大学数学科学学院,江苏苏州215006
【正文语种】中文
【中图分类】O151
【相关文献】
1.两个范德蒙行列式问题及其推广 [J], 黎海燕;陈娟华;吴康
2.范德蒙行列式的推广 [J], 和斌涛
3.推广的范德蒙行列式的某些结果 [J], 蔡南莲
4.范德蒙行列式的推广 [J], 和斌涛
5.范德蒙行列式的矩阵形式推广及其应用 [J], 周颂奇;白颖
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范德蒙德行列式的性质及应用(16开)

Dn =( an − a1 )( an − a2 ) ⋯ ( an − an −1 )⋯⋯ ( a2 − a1 ) =
例1
1≤ j < i≤ n
∏
( ai − aj )
x1 x1 x1 − 1 x2 x2 计算行列式 D = x2 − 1 ⋯ ⋯ xn xn xn − 1
解从第 i 行提出
x12 ⋯ x1n −1
∏
( ai − aj ) 故 ∆ n +1 是一个关
1≤ j <i ≤n
∏
1≤ j <i ≤n
2、范德蒙行列式的计算方法
定理 1 1 1 a1 a2
2 Dn = a12 a2 ... ... n −1 n −1 a1 a2
[1]
1 a3
... ...
1 an
2 2 a3 ... an = ∏ ( a j − ai )( n ≥ 2) 1≤i < j ≤n ... ... n −1 n −1 a3 ... an
-1-
湖北师范学院文理学院 2012 届数学与应用专业毕业论文（设计）
范德蒙行列式的性质及应用
张鹏（指导老师：余红宴）（文理学院数学系 0807 班湖北黄石 435002）
1、前言
形如 1 a1 a12 ... a1n −1 1 a2 2 a2 ... n −1 a2 1 a3 2 a3 ... n −1 a3 ... ... ... 1 an 2 an ... n −1 ... an
(1)
不难看出, f ( x ) 是一个 ( n −1) 次多项式,并且它有 n − 1个根: a1 , a2 ,…,
a n −1 ,因此 f (x) = k ( x − a1 )( x − a2 )...( x − an −1 ), 其中 k 为特定常数.由于 k 为 x n −1

范德蒙德行列式推导过程

范德蒙德行列式推导过程范德蒙德行列式是高等数学中的一个重要概念，它在线性代数、微积分、微分方程等领域都有广泛的应用。

本文将以范德蒙德行列式的推导过程为标题，详细介绍它的定义、性质和应用。

一、范德蒙德行列式的定义范德蒙德行列式是由一组数列构成的行列式，它的定义如下：$$\begin{vmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1}\end{vmatrix}$$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_n$是$n$个实数或复数。

二、范德蒙德行列式的性质1. 行列式的值与行列式的行列式相等，即$$\begin{vmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix}$$2. 行列式的值与行列式的列列式相等，即$$\begin{vmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \\a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix}$$3. 行列式的值为$$\begin{vmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_j-a_i)$$三、范德蒙德行列式的应用范德蒙德行列式在线性代数、微积分、微分方程等领域都有广泛的应用。

范德蒙行列式的推广及应用论文2概要

襄樊学院本科毕业论文论文题目：范德蒙行列式的推广和应用姓名：李小兵学号：2009109157专业：数学与应用数学班级：应用数学0911班指导老师：冯倩倩材料清单一、毕业设计二、毕业设计任务书三、毕业设计开题申请表四、毕业设计开题报告正文声明本人李小兵，学号2009109157，系湖北文理学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业0911班学生。

所做论文内容主体均为原创，无任何抄袭、剽窃他人劳动成果的行为。

如有发现此类行为，本人愿意为此承担一切道义及法律责任，特此声明。

学生签名：年月日范德蒙行列式的推广和应用摘要：范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式，它构造独特、形式优美，更由于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式。

它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。

本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算，以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。

关键词：行列式；范德蒙行列式；向量空间理论；线性变换理论；微积分；等差数列拆项Application and Popularization of Vandermonde determinant Abstract：Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations,describes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus.Key words: linear algebra；Vandermonde determinant；theory of vector spaces；linear transformation theory；infinitesimal calculus目录1引言 (1)2.范德蒙行列式的基本性质 (2)2.2 范德蒙行列式的证明 (2)2.3 范德蒙行列式的性质 (3)3 范德蒙行列式的推广 (5)3.1 跳行范德蒙行列式 (5)3.2 合流范德蒙行列式 (6)3.3 范德蒙行列式的在推广 (7)4 范德蒙行列式的应用 (13)4.1 范德蒙行列式在行列式计算中德应用 (13)4.2 范德蒙行列式在微积分中德应用 (14)4.3 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用 (15)4.4 范德蒙行列式在线性变换理论中的应用 (15)4.5 范德蒙行列式在数列拆项中的应用 (17)4.6 范德蒙行列式在奥数中德应用 (19)5 范德蒙行列式与行列的组合计算 (22)结论 (25)主要参考文献 (26)致谢 (27)1引言行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。

范德蒙德行列式

02
范德蒙德行列式的性质
行列式的值唯一确定
• 范德蒙德行列式的值是由其元素唯一确定的。行列式的元素满足线性关系，即对于任意两个不同的排列，其对应的行列式值是相等的。这种线性关系是范德蒙德行列式的一个重要性质，也是其广泛应用于矩阵计算和线性方程组求解的基础。
转置不改变行列式的值
• 范德蒙德行列式的转置不改变其值。也就是说，对于任意一个n阶范德蒙德行列式D，有D^T=D。这个性质在计算行列式时非常重要，因为它意味着我们不需要对每个元素进行单独处理，而可以将它们按照一定的规律进行排列，从而简化计算过程。
范德蒙德行列式的推广
范德蒙德行列式是组合数学中的重要公式，可以用于求解一些组合数的问题。通过对该行列式的推广，我们可以将其应用于更广泛的数学问题中。
推广的范德蒙德行列式可以用于求解更复杂的组合数问题，也可以用于研究矩阵的特性。通过对行列式的深入研究，我们可以得到许多有价值的数学结论。
范德蒙德行列式在量子力学中的应用
代数余子式
• 在范德蒙德行列式的定义中，我们可以看到每个子行列式都是由给定点的坐标差组成的。这些子行列式称为代数余子式（Algebraic Minors）。
范德蒙德矩阵
• 范德蒙德矩阵（Vandermonde Matrix）是由给定平面上任意n个点的所有有序坐标差组成的矩阵。其行向量和列向量都由给定点的坐标构成。
THANK YOU
感谢观看
03
范德蒙德行列式的计算方法
递归法
递归法是一种通过不断将问题分解为更小的子问题来解决问题的方法。在计算范德蒙德行列式时，可以将行列式拆分成更小的行列式，然后逐个计算，最终得到原行列式的值。
具体来说，我们可以将范德蒙德行列式的每一行都拆分成两个或更多的行，然后利用拆分后的行列式与原行列式的递推关系，从低阶行列式推导出高阶行列式的值。这种方法虽然比较繁琐，但对于计算一些低阶的范德蒙德行列式非常有效。

范德蒙德行列式公式推导

范德蒙德行列式公式推导好的，以下是为您生成的关于“范德蒙德行列式公式推导”的文章：在数学的奇妙世界里，范德蒙德行列式就像是一颗璀璨的明珠，闪耀着独特的光芒。

今儿个，咱们就来好好聊聊它的公式推导，别怕，没那么难！我记得有一次，我给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸懵地问我：“老师，这范德蒙德行列式到底是个啥呀？”我笑着告诉他：“别着急，咱们一步步来。

”先来说说范德蒙德行列式的定义。

它是这样的一个 n 阶行列式：\[\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\x_1^{n - 1} & x_2^{n - 1} & x_3^{n - 1} & \cdots & x_n^{n - 1}\end{vmatrix}\]接下来，咱们开始推导它的公式。

咱们从最后一列开始，依次往前做。

对于第 n 列，元素分别是 $x_1^{n - 1}, x_2^{n - 1}, x_3^{n - 1},\cdots, x_n^{n - 1}$ 。

我们把第 $n - 1$ 列乘以 $x_1$ ，第 $n - 2$ 列乘以 $x_1^2$ ，依次类推，一直到第一列乘以 $x_1^{n - 1}$ 。

这时候你发现了没？新得到的第 n 列的元素就变成了 $x_1^{n - 1}, x_1^{n - 1}x_2, x_1^{n - 1}x_3, \cdots, x_1^{n - 1}x_n$ 。

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的行列式称为范德蒙德行列式，许多研究者对其做了不同形式的推广
，并讨论了它们的应用．
１主要结果
文献［］的定理２：１为
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Ｊｎｏ８ａ．２ｏ
［文章编号］１０７０（０８０ — ０８一４０７— ４５２０）１０８ｏ
范德蒙德行列式的推广
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黄朝霞
（集美大学理学院，福建厦门３１２）６０１
，
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［摘要］先指出文献［］的定理２结论有误，并推出其正确结果，然后对范德蒙德行列式从不同角度１进行推广，得到不同的结果。
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… ．）
其中，２是１２ …，中，个数的一个正序排列．ｐｐ・・，，，ｌｌ一
文献［］只说利用韦达定理即可证明，但证明过程却略掉了．本文认为此结论有误，正确的应Ｉ
该是：
［收稿日期］２００ —１０７— １０［修回日期］２００７—０３—１９［基金项目］福建省自然科学基金资助项目（０１０３Ａ５０２）［作者简介］黄朝霞（９６，女，１６一）副教授，从事模糊数学和基础数学方向研究
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集美大学学报（自然科学版）
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第１３卷
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第１期
黄朝霞：范德蒙德行列式的推广
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第１３卷
第１期
集美大学学报（自然科学版）
ＪｕａｏｍｅＵｉｒｔ（ａｒｌｃｅｃ）ｏｒｌｆｉｉｎｅｓｙＮｔａＳｉｅｎＪｖｉｕｎ
Ｖ０，３Ｎｏ１１１．
２００８年１月
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［关键词］范德蒙德行列式；正序排列；推广［中图分类号］０１９１；８。３［文献标志码］Ａ
，
％：
Ｏ引言
范德蒙德（ａｄｒｏｄｒＶｎｅｎｅ）行列式，它构造独特，ｍ形式优美，是线性代数中一个典型的行列式，由
于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式．本文中，口，，均不为０口， … ，且两两不同．众所周知，形如