第九章梁的弯曲(4)应力状态

s 1 30 MPa ， 2 0 s
s 3 20 MPa
t max
s1 s 3
2
30 (20) 25 MPa 2
【例9-34】 用应力圆法求：1) a=30o斜截面上的应力；
2) 主应力及其方位；
3) 剪应力极值。
t
40.3
40 sa a
ta D2(-40,20) 20 30 x -45.3 C O
1.断裂原因：最大伸长线应变e1（与应力状态无关）； 2.破坏条件： 3.强度准则：
e1 s1 (s 2 s 3 ) s b
s 1 (s 2 s 3 ) [s ]
4.应用情况：符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等，不符合 大多数脆性材料的脆性破坏。
四个强度理论 第三强度理论（最大切应力理论）
【例9-35】分析圆轴扭转时的应力状态。
Me
解： ) 围绕圆轴外表面一点取 1
A B
D C
单元体 ABCD: t Mn / Wp
Me
2 s1 0 0 2) t 2 t s3 2 2 t tan2a 0 a 0 45o
s1
s3
45o x t -45o
第九章 梁的弯曲
§9-1 平面弯曲 §9-2 梁的弯曲内力——剪力和弯矩 §9-3 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图 §9-4 用微分关系法绘制剪力图和弯矩图 §9-5 用叠加法画弯矩图 §9-6 梁弯曲时的应力及强度计算
§9-7 梁的变形
§9-8 梁的应力状态
§9-8 梁的应力状态
一、应力状态的概念
3) s 1 t ,s 2 0 ,s 3 t
4) 圆 轴 扭 转 时 ， 横 截 面 为 纯 剪 切 应 力状态，最大拉、压应力在与轴 线成±45 o 斜截面上，它们数值相 等，均等于横截面上的剪应力；
0
s3
ABCD
s1
分析圆轴扭转时的应力状态
破坏断面
Me
5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能 力差，扭转破坏时，通常是横截 面上的最大剪应力使圆轴沿横截 面剪断；
s1 s b
s 1 [s ]
3.强度条件：
4.应用情况：符合脆性材料的拉断试验，如铸铁单向拉伸 和扭转中的脆断；但未考虑其余主应力影响且不能用于无拉应 力的应力状态，如单向、三向压缩等。
四个强度理论 第二强度理论（最大伸长线应变理论 ）
准则：无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的
共同原因是单元体中的最大伸长线应变e1达到某个共同极 限值ejx。
y ty t
sy
n a
ta sa
(sa,ta)E
G1t1
2a
D1 (s x ,t x )
2a0 A A1 s1
sx
tx
sx x
tx
B1 O s2
B C D2
s
sy
ty
t
(s y ,t y )
G2 t 2
应力圆与单元体的对应关系
1）点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着单元体上某 一斜截面上的正应力和切应力值。如D1点的坐标 s x ,t.x 2）转向对应 应力圆上由基准点D1到点E的转向和单元体 上由x面到α面的转向一致。
准则：无论在什么样的应力状态下，材料发生屈 服流动的原因都是单元体内的最大切应力tmax达到某 一共同的极限值tjx。 1.屈服原因：最大切应力tmax（与应力状态无关）； 2.屈服条件： 3.强度准则：
s1 s 3 s s
s1 s 3 [s ]
4.应用情况：形式简单，符合实际，广泛应用，偏于安全。
二、平面应力分析 三、梁的主应力和主应力迹线 四、强度理论
一、 应力状态的概念
1.一点的应力状态
一点的应力状态：通过构件内某一点所有不同截面 上的应力情况集合。
研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和最 大剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破 坏原因并进行失效分析。 2.应力状态分类
P A
四个强度理论 第四强度理论（形状改变比能理论）
准则 ：不论应力状态如何，材料发生屈服的共同原
因是单元体中的形状改变比能ud 达到某个共同的极限值 udjx。
1.屈服原因：最大形状改变比能ud（与应力状态无关）；
2.屈服条件：
2 (s1 s 2 )2 (s 2 s 3 )2 (s 3 s1 )2 2s s
3）倍角对应 应力圆上两点间圆弧的圆心角是单元体上相 应的两个面之间夹角的二倍。
y sy n a
ta sa
t
(sa,ta)E 2a B 2a0 A C D2 (s y ,t y ) sx x tx
D1 (s x ,t x )
ty sx
tx
O
s
sy
ty
t
3.主平面及主应力 由主平面：
tan2a 0
（一） 强度理论简介
四个强度理论
1. 第一类强度理论（以脆性断 裂破坏为标志）
两类强度理论：
2. 第二类强度理论（以塑性 屈服破坏为标志）
四个强度理论
第一强度理论（最大拉应力理论）
准则 ：无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的
共同原因是单元体中的最大拉应力s1达到某个共同极限值 sjx。 1.断裂原因：最大拉应力s1 （与应力状态无关） 2.破坏条件：
2
由s1、s3、0按代数值大小排序得出：s1≥s2≥s3
最大剪应力(切应力)：
t
max mix
sx s y 2 t x 2
2
最大剪(切)应力平面与主平面相差45o
t
max min
s max s min 2
【例9-33】求图所示单元体的主应力与主平面，最大切应力。已知
3.强度准则：
1 [(s 1 s 2 ) 2 (s 2 s 3 ) 2 (s 3 s 1 ) 2 ] [s ] 2
4.应用情况：对塑性材料比最大剪应力准则符合实验结果。
强度理论应用
强度准则的统一形式：
s2
s1
s r [s ]
s3
其中：
s r 1 s 1 s s (s s ) 2 3 r2 1 s r 3 s 1 s 3 s 1 [(s s )2 (s s )2 (s s )2 ] 1 2 2 3 3 1 r4 2
P
(1)单元体：
围绕 构 件内 一 点所 截 取的微小正六面体。
单元体
A
(2)应力状态分类
一点处的 应力状态
单向应力状态 平面应力状态 纯剪切应力状态 双向应力状态 空间应力状态 三向应力状态
s s t
简单应 力状态
复杂应 力状态
单向应 力状态
纯剪切 应力状态
三向应 力状态
双向应 力状态
P A s s
sx
sx
tx sy ty x
t sx x
sα
a
dA
sy
a
tα
ty x
tx ty
x
2 2 s y dA dA t t 0：t axdAs(s xsincosa )sina (s y2a sina )cosa 2a t x cos x (t dAcosa )cosa (t dAsina )sina 0 y x 2
P
Me
B
Me
A
t
B
b) 横截面，周向面，直径面各一对
a) 一对横截面，两对纵截面
P C
Me Me
c) 同b)，但从 上表面截取
s
t
C
s
P A B
C
sA
A
sA
B
tB
sC
tC C
sC
二、平面应力状态分析
1、平面应力分析的解析法
sy
sx
sx sy
sx
sx tx
ty
tx
sy
ty
任意斜截面上的应力
y
sy t n
Me
Me
Me
6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔) 抗拉性能差，扭转破坏时，通常 沿与轴线成45o 的螺旋面发生拉 断。
破坏断面
【例9-36】图示单元体，试求：① a=30o 斜截面上的应力； ②主应力并画出主单元体；③切应力极值。
y ty
t
sy
n a
ta sa
(sa,ta)E
2a B O D2 C 2a0
D1 (s x ,t x )
sx
tx
sx x
tx
A
s
sy
ty
t
(s y ,t y )
应力圆的绘制：
①定坐标及比例尺；
②取x面，定出D1(s x
, tx
)点；取y面，定出D2( s y
, t y )点；
③连D1D2交s轴于C点，以C为圆心，D1D2为直径作圆；
sin 2a t x cos2a
2、平面应力分析的图解法—应力圆
应力圆方程：
sa
s x s y
tx
2 s x s y

s x s y
2
cos2a t x sin 2a
2
2
sin 2a t x cos 2a
2
s s 2 sx s y x y 2 2 sx t x t x 2 2
符号规定：
a —以x轴正向为起始线，逆时针旋转为正，反
之为负。
s —拉为正，压为负。 t —使微元产生顺时针转动趋势为正，反之为负。
【例9-32】 图示单元体各面应力如图所示，试求斜截面上 的应力 s a 、t a 。 【解】已知 s x 30 MPa ，