Chapter2-精度指标与误差传播概要
合集下载
第二章误差分布与精度指标
因为 故
E( X )
1
1t2
(t )e 2 dt
1 t 2
te 2 dt
1 t 2
e 2 dt
2
2
2
1t2
te 2 dt
1t2
-e 2 d(-
1
t2
)
0
2
1t2
e 2 dt 2
E( X ) 2 2
等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编《概率统计原理在测量中的应用》293 页。
1.60以上 0
0
0
0
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0
0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030
0
d△= 0.20〃 等于 区间 左端 值的 误差 算入 该区 间内
和
181 0.505
1 ( x )2
e 2 2
由数学期望看出甲乙两射手中甲的技术好些，还需要研究谁的技术稳 定，即各次射击的环数偏离平均值的程度，也就是研究随机变量相对其均 值的离散程度，最直观的方法求偏差的数学期望，即
EX EX 但上式带有绝对值，运算不方便，通常用 E X EX 2 来度量随机变量相
E( X ) f ( X )XdX X
其中：
D( X ) E X E( X )2
f
(
X
)
X
E(
X
)
2 dX
DXX
1 E( x1 )
E(
X
)
2
E( x2
)
X
n E( xn )
2 x1
2第二章 误差分布与精度指标
，
5 1.253 2 4
可见，同一测量条件下， 与 有着完全确定的关系，对应着相同的误差 分布曲线。因此，也可用平均误差作为精 度估计的标准。
33
§5.精度评定
三、平均误差 例 2: 以 例 1 中 第 一台经纬仪数据 为例，求观测值 的平均误差。
ˆ 1.5 0.7 0.5 9
34
§5.精度评定
2
中误差： ˆ
n
①各真误差必须对应同一测量条件。 ②可将表示测量条件的中误差附于观测值之后。 注 如： 50 3432.6 1.8 258.45m 2mm 意 “±”并不代表该误差范围，而是测量上约定 俗成的习惯。
28
§5.精度评定
二、方差和中误差
结论：
f(Δ)
0.5
' 503354.1''
30
§5.精度评定
二、方差和中误差
第一台经纬仪 第二台经纬仪
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Σ
观测值L 50°33′52.6″ 54.8 53.6 55.0 52.2 53.8 54.7 58.1 56.2
Δ -1.5 +0.7 -0.5 +0.9 -1.9 -0.3 +0.6 +4.0 +2.1
i / n d
偶然误差的四个特性
Δ
1.8 1.6 1.6 1.4 1.4 1.2 1.2 1 1 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 - 0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.2 -1.4 -1.4 -1.6 -1.6 -1.8
13
绪论2误差传播定律
未来，误差传播定律的 研究将更加注重跨学科 融合，借鉴其他领域的 理论和方法，形成更加 完善的理论体系。
智能化技术应用
随着人工智能等技术的 发展，未来误差传播定 律的研究将更加注重智 能化技术的应用，如利 用机器学习等方法进行
误差预测和控制。
实验与理论相结合
未来研究将更加注重实 验与理论的相结合，通 过实验验证理论的正确 性和可靠性，推动误差 传播定律在实际应用中
误差控制
为了控制误差的累积和传播，提高测 量结果的准确性，需要研究和掌握误 差传播规律。
学科发展
随着测量科学和技术的不断发展，对 误差传播规律的研究逐渐深入，形成 了较为完善的理论体系。
02
误差传播定律数学表达式
单一观测值误差传播公式
误差传播定律描述了测量误差在数据处理过程中的传 递规律。对于单一观测值，其误差传播公式可表示为
缺乏统一的理论框架
目前，误差传播定律的研究缺乏统一的理论框架，不同领域和方法 之间的融合不够，限制了其应用范围和效果。
实验验证不足
误差传播定律的实验验证相对较少，缺乏充分的实验数据支持，使 得理论成果在实际应用中的可靠性受到质疑。
未来发展趋势及前景预测
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
跨学科融合研究
输标02入题
$$sigma_y = |f'(x)| cdot sigma_x$$
01
03
该公式表明，函数 $y$ 的误差与 $x$ 的测量误差及 函数在该点的导数有关。当 $|f'(x)|$ 较大时，即使
$sigma_x$ 很小，$sigma_y$ 也可能较大。
04
其中，$sigma_y$ 为函数 $y = f(x)$ 的误差，$f'(x)$ 为函数在点 $x$ 处的导数，程测量中，误差传播定律用 于评估测量结果的可靠性和精度， 指导测量方案的设计和实施。
智能化技术应用
随着人工智能等技术的 发展，未来误差传播定 律的研究将更加注重智 能化技术的应用，如利 用机器学习等方法进行
误差预测和控制。
实验与理论相结合
未来研究将更加注重实 验与理论的相结合，通 过实验验证理论的正确 性和可靠性，推动误差 传播定律在实际应用中
误差控制
为了控制误差的累积和传播，提高测 量结果的准确性，需要研究和掌握误 差传播规律。
学科发展
随着测量科学和技术的不断发展，对 误差传播规律的研究逐渐深入，形成 了较为完善的理论体系。
02
误差传播定律数学表达式
单一观测值误差传播公式
误差传播定律描述了测量误差在数据处理过程中的传 递规律。对于单一观测值，其误差传播公式可表示为
缺乏统一的理论框架
目前，误差传播定律的研究缺乏统一的理论框架，不同领域和方法 之间的融合不够，限制了其应用范围和效果。
实验验证不足
误差传播定律的实验验证相对较少，缺乏充分的实验数据支持，使 得理论成果在实际应用中的可靠性受到质疑。
未来发展趋势及前景预测
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
跨学科融合研究
输标02入题
$$sigma_y = |f'(x)| cdot sigma_x$$
01
03
该公式表明，函数 $y$ 的误差与 $x$ 的测量误差及 函数在该点的导数有关。当 $|f'(x)|$ 较大时，即使
$sigma_x$ 很小，$sigma_y$ 也可能较大。
04
其中，$sigma_y$ 为函数 $y = f(x)$ 的误差，$f'(x)$ 为函数在点 $x$ 处的导数，程测量中，误差传播定律用 于评估测量结果的可靠性和精度， 指导测量方案的设计和实施。
第二章 误差传播律
z x x ...... x
2 2 2
1 2
2
n
即：多个独立观测值代数和的方差，等于多个独立观测值方差 之和。例2-3P12，2-4P13；
二、误差传播律
误差传播律的特例 （3）线性函数
z k1 x1 k 2 x2 ..... k n xn
写成矩阵的形式： Z KX
二、误差传播律
4、观测值非线性函数方差
f 因此，设ki , 代人公式可得 xi
Z k1 x1 k 2 x2 ...... k n xn
例 2-6 P15 习题2-13 P32
二、误差传播律
根据误差传播律的一般性质，可得出应用误差传播律的实际步骤: （1）根据具体测量问题，分析写出函数表达式 （2）根据函数表达式写成真误差关系式 （3）按误差传播律计算函数的方差和中误差
Z 1 2 ...... n
z 1 2 ...... n
2 2 2 2
第五节 误差传播律在测量中应用
5、根据实际要求确定部分观测值的精度 在测量实际工作中，经常会出现为了使观测值函数的精度 达到某一预定值的要求，反推观测值应有的精度，即已知 观测值函数的精度，求部分观测值的精度。 例2-7P18 习题2-9，2-12P32
n
[ i j ] n
衡量观测向量之精度的指标是方差—协方差矩阵。 一般地，设n维观测向量为
则其方差—协方差矩阵定义为：
4.当该组观测值是一组独立观测值时，则 li l j 0(i j ) 此时方差阵变为对角阵，即
5.当该组观测值是一组同精度独立观测值时，则
l l l ...... l ，此时方差阵变为数量矩阵
误差传播定律课件
各个内角，由关系式 180 计
算得到。 定义：阐述观测值中误差与函数中误差之间
数学关系的定律称为误差传播定律。
二、观测值的线性函数
1、和差函数 2、倍函数 3、线性函数
Z x1 x2 ... xn Z mx
Z k1x1 k2 x2 ... kn xn
三、观测值的非线性函数
(
f xi
)0
dxi
表示函数 Z 对各个变量取偏 导数，并以 xi (i 1,2,..., n) 的近似 值（观测值）代入计算所得至的数 值，它们都是常数。
全微分表达式的系数项是函数对 各自变量的偏导数，并以变量的近似 值（观测值）代入，其值为确定的常 数。非线性函数线性化后，可运用误 差传播定律的一般形式：
1. 非线性函数的一般表达式:
Z f x1, x2 ,..., xn
式中 x1，x2 ，…，xn 为独立观测值，相应的中误 差为 m1、m2 、… 、mn 。
2. 非线性函数的中误差的计算步骤是：
1) 非线性函数的线性化
dZ( f x1源自)0dx1( f x2
)0
dx2
...
( f xn
)0
dxn
§5.4 误差传播定律
一、概述： 直接观测的量，经过多次观测后，可
通过观测值真误差或改正数计算出观测值 中误差，并以此作为衡量观测值精度（观 测质量好坏）的标准。
在实际工作中，某些未知量不可能或不便进 行直接观测，需要由一些直接观测量根据一定的 函数关系计算出来，未知量是观测值的函数。
如三角形的内角和只能通过观测该三角形的
谢谢大家
2）
mh2
h s
2
0
ms2
h
2
0
算得到。 定义：阐述观测值中误差与函数中误差之间
数学关系的定律称为误差传播定律。
二、观测值的线性函数
1、和差函数 2、倍函数 3、线性函数
Z x1 x2 ... xn Z mx
Z k1x1 k2 x2 ... kn xn
三、观测值的非线性函数
(
f xi
)0
dxi
表示函数 Z 对各个变量取偏 导数，并以 xi (i 1,2,..., n) 的近似 值（观测值）代入计算所得至的数 值，它们都是常数。
全微分表达式的系数项是函数对 各自变量的偏导数，并以变量的近似 值（观测值）代入，其值为确定的常 数。非线性函数线性化后，可运用误 差传播定律的一般形式：
1. 非线性函数的一般表达式:
Z f x1, x2 ,..., xn
式中 x1，x2 ，…，xn 为独立观测值，相应的中误 差为 m1、m2 、… 、mn 。
2. 非线性函数的中误差的计算步骤是：
1) 非线性函数的线性化
dZ( f x1源自)0dx1( f x2
)0
dx2
...
( f xn
)0
dxn
§5.4 误差传播定律
一、概述： 直接观测的量，经过多次观测后，可
通过观测值真误差或改正数计算出观测值 中误差，并以此作为衡量观测值精度（观 测质量好坏）的标准。
在实际工作中，某些未知量不可能或不便进 行直接观测，需要由一些直接观测量根据一定的 函数关系计算出来，未知量是观测值的函数。
如三角形的内角和只能通过观测该三角形的
谢谢大家
2）
mh2
h s
2
0
ms2
h
2
0
测量平差第二章精度指标与误差传播
t,
则有： t, d dt
1
2
e 2 2 d
2
1
t2
e 2 dt
2
t是服从标准正态分布的随机变量 ，根据标准正态分布概率
积分表可得： 0.6750 2
3
由此可见：或然误差与中误差 也存在固定的比例关系,所以作 为衡量精度的指标,理论上是等 价的。
观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、 L2 ……Ln可表示为：
L1
L
n,1
L2
Ln
~
L1
~
~
L
n ,1
L2 L~n
n ,1
~
L1
~
L2
~
Ln
L1
L2
误差 区间
0.00~0.20 0.20~0.40 0.40~0.60 0.60~0.80 0.80~1.00 1.00~1.20
……
2.40~2.60 >2.60
和
个数K 40 34 31 25 20 16
…… 1 0 210
—△ 频率K/n 0.095 0.081 0.074 0.059 0.048 0.038
i
为纵坐标值，使曲线
（直方图）趋势不因区间间隔不同而变化）。
频率曲线变概率曲线
同条件下所得一组独立观测值，n足够大 时，误差出现在各个区间的频率总是稳 定在某一常数（理论频率）附近，n越 大；稳定程度越高。
《误差传播定律》课件
PPT,a click to unlimited possibilities
汇报人：PPT
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
误差传播定律是描述测量误差在测量过程中如何传播和放大的定律。
误差传播定律的核心思想是：测量误差在测量过程中会按照一定的规律进行传播和放大。
误差传播定律的数学表达式为：Δy = Δx * ∂y/∂x，其中Δy表示测量误差，Δx表示测量值，∂y/∂x表示测量值的 导数。
背景：在科学研究中，数据拟合是 常用的数据处理方法
分析：通过案例分析，了解误差传ห้องสมุดไป่ตู้播定律在实际中的应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
问题：数据拟合过程中，误差如何 传播和影响结果
结论：误差传播定律对于数据拟合 结果的准确性具有重要影响
控制系统：汽 车自动驾驶系
统
误差来源：传 感器误差、计 算误差、执行
PART THREE
添加标题
误差传播定律的基本公式：Δy = Δx * ∂y/∂x
添加标题
误差传播定律的误差传递系数：K = ∂y/∂x
添加标题
误差传播定律的扩展公式：Δy = Δx * ∂y/∂x + Δx * ∂y/∂x² + Δx * ∂y/∂x³ + ...
添加标题
误差传播定律的误差传递系数的平方：K² = (∂y/∂x)²
误差传播定律只适用于线性系统
误差传播定律无法处理随机误差
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
误差传播定律无法处理非线性系统 的误差传播
误差传播定律无法处理系统误差
非线性效应：在非线性系统中， 误差传播定律可能不再适用
汇报人：PPT
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
误差传播定律是描述测量误差在测量过程中如何传播和放大的定律。
误差传播定律的核心思想是：测量误差在测量过程中会按照一定的规律进行传播和放大。
误差传播定律的数学表达式为：Δy = Δx * ∂y/∂x，其中Δy表示测量误差，Δx表示测量值，∂y/∂x表示测量值的 导数。
背景：在科学研究中，数据拟合是 常用的数据处理方法
分析：通过案例分析，了解误差传ห้องสมุดไป่ตู้播定律在实际中的应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
问题：数据拟合过程中，误差如何 传播和影响结果
结论：误差传播定律对于数据拟合 结果的准确性具有重要影响
控制系统：汽 车自动驾驶系
统
误差来源：传 感器误差、计 算误差、执行
PART THREE
添加标题
误差传播定律的基本公式：Δy = Δx * ∂y/∂x
添加标题
误差传播定律的误差传递系数：K = ∂y/∂x
添加标题
误差传播定律的扩展公式：Δy = Δx * ∂y/∂x + Δx * ∂y/∂x² + Δx * ∂y/∂x³ + ...
添加标题
误差传播定律的误差传递系数的平方：K² = (∂y/∂x)²
误差传播定律只适用于线性系统
误差传播定律无法处理随机误差
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
误差传播定律无法处理非线性系统 的误差传播
误差传播定律无法处理系统误差
非线性效应：在非线性系统中， 误差传播定律可能不再适用
第二节 误差的传播
数学学院 信息与计算科学系
二、函数运算误差
设 f (x)在(a,b)内连续可微, x 的近似值为 x , f (x)的近 似值为 f ( x ), 其误差为 e[ f ( x )] , 误差限为 [ f ( x )]
e[ f ( x )] df ( x ) f ( x )dx f ( x )e( x )
f ( x) f (x ) r [ f ( x )] (x ) ( x ) f ( x) f (x )
对多元函数 y f ( x1 , x2 , , xn ), 自变量的近似值为
x1 , x2 ,, xn , y 的近似值为 y f ( x1 , x2 , xn ),
数学学院 信息与计算科学系
e( x y ) e( x ) e( y ) ( x y ) ( x ) ( y )
所以和或差的误差限是误差限之和。 以上的结论适用于任意多个近似数的和或差。 同理可得：乘、除运算的误差,以两数为例写出
e( x x ) x e( x ) x e( x )
同样, 若 u = x/y, 则 lnu = lnx – lny,
dlnu = dlnx – dlny 即 er ( u ) er ( x ) er ( y )
因此
r ( u ) r ( x ) r ( y )
即商的相对误差是被除数与除数的相对误差之差,
e( x y ) d ( x y ) dx dy e( x ) e( y )
可见, 和、差的误差是误差之和、差, 但是因为
e( x y ) e( x ) e( y ) ( x y ) ( x ) ( y )
2019年-第1章绪论 2误差传播定律-PPT精选文档
Δ为负值
个数v i
频率vi/n
0.00-0.20
45
0.126
0.20-0.40
40
0.112
0.40-0.60
33
0.092
，，
0.60-0.80
23
0.064
0.80-1.00
17
0.047
1.00-1.20
13
0.036
1.20-1.40
6
0.017
1.40-1.60
4
0.011
1.60以上
0
高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在纵轴 附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线的形态 上。
为了衡量观测值的精度高低，可以按上节的方法，把在一组相同条件下得到 的误差，用组成误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。在 实用上，是用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量 精度的指标。衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标。
2020/9/28
5
学习方法
课程特点： 公式多、计算量大，涉及数学知识多 学习方法： 复习测量学、线性代数、高等数学、概率论及数 理统计等课程知识， 对本课程的知识要通过预习-----听课----复习----完 成作业---编写计算机程序 等步骤来掌握所学知识。
2020/9/28
6
绪论
§1-1 概述
2020/9/28 11
第一章 观测误差及其传播
§1-3偶然误差的规律性
一、真值与真误差
1.真值
任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数
值就称为该观测量的真值。通常用 L~ 表示真值。
第二章 误差分布与精度指标
+1.3, -1.1, +0.8, +1.5, +1.1, -0.3, +0.2, +0.6, -0.5，-0.7, -2.0, +0.6, +1.2, -0.4, -0.9, -1.3, -1.1, -0.9，-0.3, +0.6, +0.8, -0.3, +0.8, -1.2, -0.8
试根据Δi计算测角精度ˆ 2 ˆ 和
第二章 误差分布与精度指标
本章主要内容
正态分布 偶然误差的分布特性
衡量精度的指标 精度、准确度与精确度
测量不确定度
§2-1 随机变量的数字特征
一、数学期望
离散型
E(x) xi pi i 1
连续型
E(x) xf (x)dx
二、方差
_
D(x) E{[ x E(x)]2}
离散型 连续型
D(x) [xi E(x)]2 pi i 1
分布。对一维随机变量服从参数为的正态分布，一般记为
x～N（ ）。
E( x ) f ( x )xdx
D( x ) E x E( x )2 f ( x )x E( x )2 dx 2
§2-2 正态分布
一维正态随机变量出现在给定区间
内的概率是：
( k , k )
P( k x k )
角度元素没有相对精度。
§2-4 衡量精度的指标
相对真误差＝ 真误差 ＝ 1 观测值 N
相对中误差＝ 中误差 ＝ 1 观测值 N
相对极限误差＝ 极限误差 ＝ 1 观测值 N
注意：
§2-4 衡量精度的指标
1.只有当n较多时， 才能够比较准确地反映测量的精度
2.当n较少时 比 更可靠反映测量的精度
测绘数据处理中的误差传播与精度评定方法
测绘数据处理中的误差传播与精度评定方法概述测绘是一种应用科学，通过对地球表面、空间或海洋的测量与分析，在地图、海图和地理信息系统等领域提供准确、可靠的数据支持。
在测绘数据处理过程中，误差传播和精度评定是两个重要的概念，在保证测绘成果质量的同时，也是不可或缺的步骤。
本文将探讨测绘数据处理中的误差传播与精度评定方法。
误差传播误差传播是指在数据采集、处理和分析过程中，由于各种因素引起的测量误差逐步累积和扩大的过程。
在测量中，误差来源主要包括仪器误差、环境条件、人为操作以及采样和处理等因素。
这些误差会通过一系列的数学运算和计算过程，被传递到最终的测绘数据中。
误差传播的数学模型可以通过线性传递函数来描述。
线性传递函数是一种将输入误差传递到输出误差的数学模型。
在实际的测绘数据处理过程中，常常使用均方根误差（RMSE）来评估误差的传播程度。
RMSE是真实值与估计值之差的均方根，它可以有效衡量测绘数据处理中的误差传播情况。
精度评定方法精度评定是对测绘数据进行质量控制和可靠性评估的过程，它是验证测绘成果是否满足精度要求的重要手段。
在精度评定中，常常使用概念精度和绝对精度来进行评估。
概念精度是指测绘数据与真实情况之间的一致性。
在实际的测绘中，由于误差传播的影响，测绘数据与真实情况之间存在一定的偏差。
概念精度评定的目标是评估测绘数据的相对准确性。
常用的方法包括误差椭圆法、试验场法和地面控制点法等。
误差椭圆法通过椭圆来描述误差范围，试验场法通过实地测量来评估精度，地面控制点法通过与现场控制点对比来评估概念精度。
绝对精度是指测绘数据与已知控制点之间的一致性。
在实际的测绘中，常常需要通过已知控制点来提高测绘数据的精度。
绝对精度评定的目标是评估和验证测绘数据的绝对准确性。
常用的方法包括相对定向法、绝对定向法和控制点法等。
相对定向法通过测量影像间的相对几何关系来提高测绘数据的精度，绝对定向法通过测量影像与已知坐标系之间的转换关系来提高精度，控制点法通过与现场控制点对比来评估绝对精度。
张卡第2章-误差分布与精度指标
在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误差分布，也就 代表这组观测中的每一个观测值，都是同精度观测值。
提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。
21
一、衡量精度的指标
能反映偶然误差分布的离散程度大小的数字，称衡量精度的指标。
1、方差和中误差
随机变量X的方差定义： X D( x) E[( x E ( x)) ] [ x E ( X )] f ( x)dx
n ,1
~ L1 L ~ 1 L 2 L2 n ,1 ~ Ln L n
~ n ,1 n ,1
则有， L L
若以观测量的数学期望表示其真值 E ( L) E ( L ), E ( L ),, E ( L )
6
二、n维正态分布
设随机变量X= (X1,X2,…,Xn)T，若X服从正态分布，则X为n为正态随机向量。 其
1 2 n
1 (2 ) D
1
n 2 1 2 XX
1 exp{ ( x ) D ( x )} 2
T 1 X XX X
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
例1的误差分布直方图
例1的误差分布曲线
例2的误差分布直方图
例2的误差分布曲线
- σ2 -σ1 0 0 σ1
σ2
结论：如果误差分布较密集， 即离散度较小时，则表示观测 质量较好，即观测精度较高； 观测质量好坏又反 反之，误差分布较分散、离散 映了什么呢？有什 度较大，则观测质量较差、精 么衡量指标吗？ 度较低 。
f(△)
P(-△)＝P(△)
P(-△)
提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。
21
一、衡量精度的指标
能反映偶然误差分布的离散程度大小的数字，称衡量精度的指标。
1、方差和中误差
随机变量X的方差定义： X D( x) E[( x E ( x)) ] [ x E ( X )] f ( x)dx
n ,1
~ L1 L ~ 1 L 2 L2 n ,1 ~ Ln L n
~ n ,1 n ,1
则有， L L
若以观测量的数学期望表示其真值 E ( L) E ( L ), E ( L ),, E ( L )
6
二、n维正态分布
设随机变量X= (X1,X2,…,Xn)T，若X服从正态分布，则X为n为正态随机向量。 其
1 2 n
1 (2 ) D
1
n 2 1 2 XX
1 exp{ ( x ) D ( x )} 2
T 1 X XX X
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
例1的误差分布直方图
例1的误差分布曲线
例2的误差分布直方图
例2的误差分布曲线
- σ2 -σ1 0 0 σ1
σ2
结论：如果误差分布较密集， 即离散度较小时，则表示观测 质量较好，即观测精度较高； 观测质量好坏又反 反之，误差分布较分散、离散 映了什么呢？有什 度较大，则观测质量较差、精 么衡量指标吗？ 度较低 。
f(△)
P(-△)＝P(△)
P(-△)
第二章 误差分布与精度指标
提示：一组观测值具有相同的分布， 提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各 不相同。精度不代表个别误差的大小,反映的是一组 不相同。精度不代表个别误差的大小 反映的是一组 的好坏. 观测值的观测质量 的好坏
精度指标： 二、精度指标：
1、平均误差 、
在一定的观测条件下， 在一定的观测条件下，一组独立的误差的绝对值的数学 期望。 期望。
由概率论知道:
µ + kσ
µ − kσ
− ( x − E ( x)) 2 f ( x)dx = ∫µ −kσ exp 2σ 2 σ 2π 1
µ + kσ
dx
p ( µ − σ < x < µ + σ ) ≈ 0.683
p(µ − 2σ < x < µ + 2σ) ≈ 0.955
偶然误差是服从正态分布的随机变量
§2.1
1
正态分布
服从正态分布的一维随机变量的概率密度函数是： 服从正态分布的一维随机变量的概率密度函数是：
− (x − µ)2 exp f ( x) = 2σ 2 σ 2π
−∞ < x < ∞
µ
σ
一维正态随机变量的数学期望和方差是: 一维正态随机变量的数学期望和方差是
(2π )
n 2
1 exp − [ X − µ X 2
−1 ]T D XX [X
− µ X ]
N维正态随机变量的数学期望和方差是 维正态随机变量的数学期望和方差是: 维正态随机变量的数学期望和方差是
E ( X ) = ∫ f ( X ) XdX = µ X
−∞
+∞
D( X ) = E [ X − E ( X )] = ∫ f ( X )[ X − E ( X )] dX = D XX
第二讲衡量精度的指标-PPT精选文档
500m±2cm 。问：中误差是否相等？它们的相对
精度是否相同？ 解：这两段距离中误差是相等，均为±2cm。 它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误 差为 2/100000=1/50000 ，后一段距离的相对中 误差为2/50000=1/25000。第一条边精度高。 角度元素没有相对精度。
的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。
衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用
的精度指标。
控制测量与平差 学习情境1 误差与误差传播律
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
第二讲 衡量精度的指标
2、衡量精度的指标
1）方差和中误差
误差Δ 的概率密度函数为：
f ( ) 1 2 e
2 2
2
方差定义：
2 2 2
D ( ) E ( ) f ( ) d
E(2 )
控制测量与平差
学习情境1 误差与误差传播律
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
P ( ) 68 .3 % P ( 2 2 ) 95 .5 % P ( 3 3 ) 99 .7 %
P ( ) 68 .3% P ( 2 ) 95 .5% P ( 3 ) 99 .7%
5. 偶然误差的数学期望（真值）为零。
控制测量与平差
学习情境1 误差与误差传播律
石家庄铁路职业技术学院
SHIJIAZHUANG INSTITUTE OF RAILWAY TECHNOLOGY
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
➢已知某水准点A高程为Ha=19.81m，测得A、B 两点间高差hab=0.34m,量测中误差为0.018m,B、 C两点间高差hbc=0.87m,量测中误差为0.026m， 求C点的高程及其误差。
2.3 协方差传播律
➢和或差函数
设待求值z与观测值x、y的关系为：
z x y
则待求值z的中误差计算式为：
令
Z1
Z
t ,1
Z
2
Zt
则
k11 k12 k1n
K
t,n
k21
k22
k2
n
kt1
kt 2
ktn
k10
K0
t ,1
k
20
kt0
Z
t ,1
K
t,n
X
n,1
K0
t ,1
2.3 协方差传播律
➢多个观测值线性函数的协方差阵
设有观测值向量X和Y的线性函数：
Z W
KX FY
限 3
2.3 协方差传播律
➢观测值线性函数的方差
倍数函数
设待求值z与观测值x的关系为：
z kx
则待求值z的中误差计算式为：
z k x
思考题
➢已知某水准点A高程为Ha=19.81m，测得A、B 两点间高差hab=0.34m,量测误差为0.018m,B、 C两点间高差hbc=0.87m,量测误差为0.026m， 求C点的高程及其误差。
2.1 偶然误差的规律性
➢偶然误差的特性
有界性：在一定的观测条件下，误差的绝对值有 一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出 现的概率为零
单峰性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差 出现的概率大
对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相同
抵偿性：偶然误差的数学期望为零，即偶然误差 的理论平均值为零
第2章 精度指标与误差传播
曹君
2.1 偶然误差的规律性
➢三角形的内角和问题：
在相同的观测条件下，独立地观测N组平面三角形 的三个内角：
A
B
C
2.1 偶然误差的规律性
➢三角形的内角和问题：
2.1 偶然误差的规律性
➢误差分布曲线
就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性， 即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而 言，却呈现出一定的统计规律性，是服从正态分布 的随机变量。
2.1 偶然误差的规律性
➢由偶然误差特性引出的两个测量依据
制定测量限差的依据 判断系统误差或粗差的依据，如水准测量往返闭 合差
2.2 观测量及观测向量的精度指标
➢精度、准度、准确度
精度：
精度就是指误差分布的密集或离散的程度。反映了 观测值与估计值或平差值的接近程度。
准度（准确度）
指真值与平差值的接近程度
2.2 观测量及观测向量的精度指标
➢观测值的精度指标
极限误差
一般以3倍中误差作为偶然误差的极限值，并称为 极限误差。在大量同精度观测的一组误差中，误差 落在1倍、2倍和3倍中误差的概率分别为：68.3%、 95.5%和99.7%。特别是绝对值大于3倍中误差的偶然 误差出现的概率仅有0.3%，这已经是概率接近于零 的小概率事件。
➢某1:1000的地形图上，进行了n次量测，量得 两点间的距离为d=13.2mm，其量测中误差为 δ=0.1mm，求该两点的实地距离及其中误差。
2.2 观测量及观测向量的精度指标
➢观测向量的精度指标
独立观测值与相关观测值
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角度、 方向和三角高程测量求得的高差等，都认为是独立 观测值。一般来说，独立观测值的各个函数之间是 不独立的，或者说是相关的，因而它们是相关观测 值。例如，三角网或导线网中根据观测角度和边长 求得的各点的坐标是相关观测值。
z
x2
2 y
2.3 协方差传播律
➢一般线性函数
设待求值z与观测值x的关系为：
Z k1X1 k2 X 2 kn X n k0
则待求值z的中误差计算式为：
Z
k1212
kn
思考题
已知地面上两点间的距离为530m，其量测中误差 为0.1m,则将该两点绘制在1:500的地形图上（不计 其他误差的影响），求该两点的图上距离及其精度
已知某水准点A高程为Ha=19.81m，测得A、B两点 间高差hab=0.34m,量测中误差为0.018m,B、C两点 间高差hbc=0.87m,量测中误差为0.026m，求C点的 高程及其中误差。
2.3 协方差传播律
➢多个观测值线性函数的协方差阵
Z1 k11X1 k12 X 2 k1n X n k10 Z2k2 1X1 k22 X2 k2n Xn k20 Zt kt1X1 kt2 X 2 ktn X n kt0
45°00′06″ 44°59′55″ 44°59′58″ 45°00′04″ 45°00′03″ 45°00′04″ 45°00′00″ 44°59′58″ 44°59′59″ 45°00′06″ 45°00′03″ 44°59′56″
设A没有误差，求观测值的中误差
思考题
➢某1:1000的地形图上，进行了一次量测，量得 两点间的距离为d=13.2mm，其量测误差为 △=0.1mm，求该两点的实地距离及其误差。
K0 F0
则有如下方差和协方差计算公式：
DZZ DWW
KDXX FDYY
K F
T T
DZW
KDXY
F
T
DWZ
FDYX K T
2.3 协方差传播律
➢非线性方程的方差
对函数求微分，转化为线性函数，再按照一般线性 函数的方式进行解算。
Z
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
思考题
则根据协方差传播律，hAB的方差为：
某泳池，经过测量，其长、宽、高的观测值分别为 150m、50m和2m，它们的中误差分别为5mm、2mm和 0.5mm，求该泳池的体积及相应的中误差
2.4 协方差传播律在测量上的应用
➢水准测量的精度
经N个测站测定A、B两点间的高差，其中第i站的观 测高差为hi，则A、B两点间的总高差hAB为
hAB = h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 + h7 +…+ h N
精准度
指观测值结果与真值的接近程度，包括精度准度
2.2 观测量及观测向量的精度指标
➢精度、准度、准确度
比较下列两种误差分布的精度和准确度
2.2 观测量及观测向量的精度指标
➢观测值的精度指标
中误差
n
方差：中误差的平方
2
n
思考题
使用同一经纬仪，对已知精确测定的水平角 A=45°00′00″作12次同精度观测，结果为：
2.3 协方差传播律
➢和或差函数
设待求值z与观测值x、y的关系为：
z x y
则待求值z的中误差计算式为：
令
Z1
Z
t ,1
Z
2
Zt
则
k11 k12 k1n
K
t,n
k21
k22
k2
n
kt1
kt 2
ktn
k10
K0
t ,1
k
20
kt0
Z
t ,1
K
t,n
X
n,1
K0
t ,1
2.3 协方差传播律
➢多个观测值线性函数的协方差阵
设有观测值向量X和Y的线性函数：
Z W
KX FY
限 3
2.3 协方差传播律
➢观测值线性函数的方差
倍数函数
设待求值z与观测值x的关系为：
z kx
则待求值z的中误差计算式为：
z k x
思考题
➢已知某水准点A高程为Ha=19.81m，测得A、B 两点间高差hab=0.34m,量测误差为0.018m,B、 C两点间高差hbc=0.87m,量测误差为0.026m， 求C点的高程及其误差。
2.1 偶然误差的规律性
➢偶然误差的特性
有界性：在一定的观测条件下，误差的绝对值有 一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出 现的概率为零
单峰性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差 出现的概率大
对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相同
抵偿性：偶然误差的数学期望为零，即偶然误差 的理论平均值为零
第2章 精度指标与误差传播
曹君
2.1 偶然误差的规律性
➢三角形的内角和问题：
在相同的观测条件下，独立地观测N组平面三角形 的三个内角：
A
B
C
2.1 偶然误差的规律性
➢三角形的内角和问题：
2.1 偶然误差的规律性
➢误差分布曲线
就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性， 即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而 言，却呈现出一定的统计规律性，是服从正态分布 的随机变量。
2.1 偶然误差的规律性
➢由偶然误差特性引出的两个测量依据
制定测量限差的依据 判断系统误差或粗差的依据，如水准测量往返闭 合差
2.2 观测量及观测向量的精度指标
➢精度、准度、准确度
精度：
精度就是指误差分布的密集或离散的程度。反映了 观测值与估计值或平差值的接近程度。
准度（准确度）
指真值与平差值的接近程度
2.2 观测量及观测向量的精度指标
➢观测值的精度指标
极限误差
一般以3倍中误差作为偶然误差的极限值，并称为 极限误差。在大量同精度观测的一组误差中，误差 落在1倍、2倍和3倍中误差的概率分别为：68.3%、 95.5%和99.7%。特别是绝对值大于3倍中误差的偶然 误差出现的概率仅有0.3%，这已经是概率接近于零 的小概率事件。
➢某1:1000的地形图上，进行了n次量测，量得 两点间的距离为d=13.2mm，其量测中误差为 δ=0.1mm，求该两点的实地距离及其中误差。
2.2 观测量及观测向量的精度指标
➢观测向量的精度指标
独立观测值与相关观测值
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角度、 方向和三角高程测量求得的高差等，都认为是独立 观测值。一般来说，独立观测值的各个函数之间是 不独立的，或者说是相关的，因而它们是相关观测 值。例如，三角网或导线网中根据观测角度和边长 求得的各点的坐标是相关观测值。
z
x2
2 y
2.3 协方差传播律
➢一般线性函数
设待求值z与观测值x的关系为：
Z k1X1 k2 X 2 kn X n k0
则待求值z的中误差计算式为：
Z
k1212
kn
思考题
已知地面上两点间的距离为530m，其量测中误差 为0.1m,则将该两点绘制在1:500的地形图上（不计 其他误差的影响），求该两点的图上距离及其精度
已知某水准点A高程为Ha=19.81m，测得A、B两点 间高差hab=0.34m,量测中误差为0.018m,B、C两点 间高差hbc=0.87m,量测中误差为0.026m，求C点的 高程及其中误差。
2.3 协方差传播律
➢多个观测值线性函数的协方差阵
Z1 k11X1 k12 X 2 k1n X n k10 Z2k2 1X1 k22 X2 k2n Xn k20 Zt kt1X1 kt2 X 2 ktn X n kt0
45°00′06″ 44°59′55″ 44°59′58″ 45°00′04″ 45°00′03″ 45°00′04″ 45°00′00″ 44°59′58″ 44°59′59″ 45°00′06″ 45°00′03″ 44°59′56″
设A没有误差，求观测值的中误差
思考题
➢某1:1000的地形图上，进行了一次量测，量得 两点间的距离为d=13.2mm，其量测误差为 △=0.1mm，求该两点的实地距离及其误差。
K0 F0
则有如下方差和协方差计算公式：
DZZ DWW
KDXX FDYY
K F
T T
DZW
KDXY
F
T
DWZ
FDYX K T
2.3 协方差传播律
➢非线性方程的方差
对函数求微分，转化为线性函数，再按照一般线性 函数的方式进行解算。
Z
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
思考题
则根据协方差传播律，hAB的方差为：
某泳池，经过测量，其长、宽、高的观测值分别为 150m、50m和2m，它们的中误差分别为5mm、2mm和 0.5mm，求该泳池的体积及相应的中误差
2.4 协方差传播律在测量上的应用
➢水准测量的精度
经N个测站测定A、B两点间的高差，其中第i站的观 测高差为hi，则A、B两点间的总高差hAB为
hAB = h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 + h7 +…+ h N
精准度
指观测值结果与真值的接近程度，包括精度准度
2.2 观测量及观测向量的精度指标
➢精度、准度、准确度
比较下列两种误差分布的精度和准确度
2.2 观测量及观测向量的精度指标
➢观测值的精度指标
中误差
n
方差：中误差的平方
2
n
思考题
使用同一经纬仪，对已知精确测定的水平角 A=45°00′00″作12次同精度观测，结果为：