椭圆中定点定值问题(与焦点弦有关)

椭圆中的“定”

二、与椭圆的焦点弦有关

4. 椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的离心率为e ，PQ 为过椭圆焦点2F 而不垂直于x 轴的弦，且PQ

的中垂线交x 轴于R ，则

22PQ F R e

=. 5.PQ 为过椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的一个焦点2F 的弦，2F K 为焦准距，e 为椭圆的离心率，则222112PF QF e F K

+=.

6.（1）PQ 为过椭圆12222=+b

y a x C ：()0>>b a 焦点F 的弦，PQ 的中垂线交F 所在的椭圆的对称轴于R ，直线RF 交F 所对应的准线于K ，则P 、K 、Q 、R 四点共圆.

（2）弦MN （异于长轴）过椭圆

122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，过椭圆左顶点1A 的两条直线11,A M A N

交椭圆的准线l 于,S T 两点,则以ST 为

直径的圆一定过椭圆的右焦点2F 和2

F 关于准线的对称点

.

（3）弦MN 过椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，椭圆的准线l 交

椭圆的对称轴于点D ,则

22MDF NDF ∠=∠.

（4）P 为椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 上任一点，2F 为椭圆右焦点，过P 作椭圆的切

线交椭圆的右准线于点N ，则

222ON PF b k k a

=-.

7.(1,2,3,)n n P Q n =为过圆锥曲线的一个焦

点2F 的弦，n n P Q 的中垂线交2F 所在的曲线的

对称轴于n R ，则过,,(1,2,3,)n n n P Q R n =的

圆必交于同一点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭

.

8. 弦AB （异于长轴）过椭圆122

22=+b y a x C ：

()0>>b a 的焦点，过B A ,两点分别作椭圆的两条切

线交圆222x y a +=于,M M '两点，则

（1）MM '是圆222x y a +=的一条直径，且四边形

MM BA '为梯形；

（2）角APB ∠为锐角；

（3）若两切线的交点为P ，当点P 为2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，APB ∆的面积最小，其最小值为4

b ac

.

9.在椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 通径（过焦点且垂直于焦点轴的弦）的延长线上任取

一点()00,P x y 作椭圆两条切线12,PP PP ，

则切点弦12PP ，x 轴和准线l 三线共点.

10.直线l 是过椭圆122

22=+b y a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，它与经过椭圆左

顶点1A 的切线交于点N ，椭圆的左焦点F 和

点N 的的连线FN 与左准线交于点M ，则椭

圆的右顶点2A ，切点P 及点M 三点共线.

11.直线l 是过椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，它与经过椭圆右顶点2A 的切

线交于点N ，椭圆的左焦点F 和点N 的的连线

FN 与左准线交于点M ，则椭圆的左顶点1A ，

切点P 及点M 三点共线.

12.直线l 是过椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，过该椭圆右的左焦点1F 作1F N l ⊥，

且与椭圆的左准线交于点M ，则椭圆的中心O ，切

点P 及点M 三点共线.、

13. 如图，点F 是椭圆122

22=+b y a x C ：()0>>b a 的右焦点，直线l 是椭圆的右准线，点

P 在椭圆上且PF x ⊥轴，AB 是经过右焦点F

的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相

交于点M ，则2PA PB PM k k k +=.

14. 过椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的焦点(),0F c 作倾斜角为θ的直线，交椭圆于,A B 两点，则2221cos ep AB e θ

=-（e 为离心率，p 为焦参数（通径长的一半））. 15. 弦AB 过椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的焦点F ，且AF FB λ=（点A 位于点B 之上），则弦AB 所在直线的斜率()()

()2

22110,11e k λλλλ+=-≠≠±-.