2.5与圆有关的比例线段 数学选修4-1

PA=PC
4.切线长定理 4.切线长定理 从圆外一点引圆的两 条切线，它们的切线长相等 相等, 条切线，它们的切线长相等,圆心和 这一点的连线平分两条切线的夹角. 这一点的连线平分两条切线的夹角.
例1.E是圆内的两条弦 是圆内的两条弦AB,CD的交点 直 的交点,直 是圆内的两条弦 的交点 的延长线于F,FG切圆于 线EF//CB,交AD的延长线于 交 的延长线于 切圆于 G. C 求证:(1)△DFE∽△EFA; 求证 △ ∽ 3 (2)EF=FG
C
D
因为A,B重合， 重合， 因为 重合
P
O
上式可变形为 PA²=PC·PD 切线长:从圆外一点向圆作切线， 切线长 从圆外一点向圆作切线，这 一点和切点之间的线段称作这点倒圆 的切线长。 的切线长。
A(B)
3.切割线定理 3.切割线定理 从圆外一点引圆 的切线和割线，切线长是这点到 的切线和割线，切线长是这点到 割线与圆交点的两条线段长的比 例中项. 例中项. D
如图,AB是⊙O的直径 过A,B引 的直径,过 例2.如图 如图 是 的直径 引 两条弦AD和 相交于点C, 两条弦 和BE,相交于点 相交于点 求证:AC•AD+BC•BE=AB². 求证 D 分析:A,F,C.E四点共圆 E C 分析 四点共圆 BC•BE=BF•BA. A
F O
B
F,B,D,C四点共圆 四点共圆 AC•AD=AF•AB. AC•AD+BC•BE=AF•AB+BF•BA =AB(AF+BF)=AB²
作业： 作业：
教科书P40 习题 第1、3题 习题2.5第 、 题 教科书
探究3:使割线 绕 点运动到切 探究 使割线PB绕P点运动到切 使割线 线的位置,是否还能成立 是否还能成立? 线的位置 是否还能成立
PA·PB=PC·PD
D C O P P A B A(B) C O D
连接AC,AD易证△PAC∽△PDA 故PA·PB=PC·PD仍成立 仍成立
探究1:AB是直径 是直径,CD⊥AB交点 线 交点P.线 探究 是直径 ⊥ 交点 之间有何关系? 段PA,PB,PC,PD之间有何关系 之间有何关系
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∵△PAD∽△PCB ∽
PA PD = . PC PB
∴PA·PB=PC·PD
D A C P O A B C D P B O A D P O C B
∠PCQ= ∠PGD= ∠DBE, 故C,E,B,Q四点共圆 ⑽ 四点共圆
作业: 作业:
教科书P40习题2.5第 教科书P40习题2.5第4、8题 P40习题2.5
D A O E
CD•AE=AC•CE 同理 BD•AE=AB•BE 因为AC=AB,由 ⑵⑶ 因为 由 可得 BE•CD=BD•CE
⑵ ⑶ ⑷
C
图⑴
问题2 在图(1)中 使线段AC绕 旋转 得到图(2), 旋转,得到图 问题 在图 中,使线段 绕A旋转 得到图
其中EC交圆于 交圆于F,此时又能推出哪些 其中 交圆于G,DC交圆于 此时又能推出哪些 交圆于 交圆于 结论? 结论 B
PA²=PC·PD
P
C O
A(B)
探究4:使割线 绕 点运动到切线的 探究 使割线PD绕P点运动到切线的 使割线 位置,可以得出什么结论 可以得出什么结论? 位置 可以得出什么结论 C(D) D
C O P A(B) P A(B) O
PA²=PC·PD
易证Rt△ 易证 △OAP≌Rt△OCP. ≌ △
如图,AB,AC是⊙O的切线 的切线,ADE 例5.如图 如图 是 的切线 的割线,连接 是⊙O的割线 连接 的割线 连接CD,BD,BE,CE.
问题1 由上述条件能推出哪些结论? 问题 由上述条件能推出哪些结论 B 探究1: 探究 ∠ACD= ∠AEC ADC∽ △ADC∽△ ACE ⑴
CD AC CE AE
D C P A(C.P) A B P A B C D
P在圆上:PA=PC=0, 仍有 PA·PB=PC·PD P在圆外:易证△PAD∽△PCB
PA PC
=
PD . PB
故PA·PB=PC·PD
2.割线定理 从圆外一点引圆的两条割 割线定理 线，这一点到每条割线与圆的交点的两 条线段长的积相等. 条线段长的积相等 PA·PB=PC·PD
A
⑸
(对应边成比例且夹角相等 对应边成比例且夹角相等). 对应边成比例且夹角相等
图⑵
连接FG由于F,G,E,D四点共圆 另一方面连接 由于 四点共圆 ∴ ∠CFG= ∠AEC, ∵∠ACF= ∠AEC, 又∵∠ ∴ ∠CFG= ∠ACF, ∴ FG//AC
⑹
问题3 在图(2)中 使线段 继续绕A旋转 使线段AC继续绕 旋转,使割 问题 在图 中,使线段 继续绕 旋转 使割
D C O P
A B
例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点 P,已知PA=PB=4.PC= 1 PD,求CD的长.
4 4 1 解:设CD=x,则PD= 5 x ,PC= 5 x A 由相交弦定理,得
PA•PB=PC•PD
D
4 x 5
• ∴4×4= × 求得 x=10, ∴CD=10
1 x 5
P C B
1.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被 相交弦定理 圆内的两条相交弦， 交点分成的两条线段长的积相等。 交点分成的两条线段长的积相等。
D
PA·PB=PC·PD
A
P O
B
C
探究2:把两条相交弦的交点 从圆内 探究 把两条相交弦的交点P从圆内 把两条相交弦的交点 运动到圆上.再到圆外， 运动到圆上 再到圆外， 再到圆外 是否还能成立? 结论 PA·PB=PC·PD 是否还能成立
O E
1 2
B
A G
D F
例2.如图 两圆相交于 如图,两圆相交于 两点,P是 如图 两圆相交于A,B两点 是 两点 两圆公共弦AB上的任一点 从P引两 两圆公共弦 上的任一点,从 引两 上的任一点 圆的切线PC,PD. 圆的切线 求证:PC=PD 求证 C
P B A
D
作业: 作业:
教科书P40习题2.5第 教科书P40习题2.5第5、6题 P40习题2.5
B E D A C C O D A F G O E
图⑴
图⑵
探究2: 探究 猜想并可证明 △ADC∽△ ACE ⑸ 同样可得⑵⑶⑷ ∽ 同样可得⑵⑶⑷
证明如下: 证明如下
∵AB²=AD•AE,而AB=AC, 而 ∴AC²=AD•AE,即 即
AC AD = AE AC
B E D F G C O
∵∠CAD= ∠EAC, ∵∠ ∴ △ADC∽△ ACE ∽
变成切线CD,得到图 此时又能推出哪 得到图(3),此时又能推出哪 线CFD变成切线 变成切线 得到图 些结论? 些结论
B E D A F G C F C P G O A D O B E
图⑶
图⑵
探究3: 可以推出（ ） （ ）的所有结论。 探究 可以推出（1）~（6）的所有结论。
AD CG = 此外 ∵AC//DG. ∴ B AE CE E ∴AD•CE=AE•CG ⑺ D ∵ △ACD∽△ AEC ∽ O CD AD A ∴ = CE AC G Q ∴AC•CD=AD•CE ⑻ 图⑶ ⑺⑻可得 可得： 由⑺⑻可得： C AC•CD=AE•CG ⑼ P 连接BD,BE,延长 到P,延长 交AC于Q,则 延长GC到 延长 延长BD交 于 则 连接 延长