线性规划的概念 课件
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第 2 课时 线性规划的概念
求线性目标函数的最值问题
设 z ＝ 2x ＋ y ， 式 中 变 量 x 、 y 满 足 条 件
x－4y≤－3 3x＋5y≤25 x≥1
，求 z 的最大值和最小值．
[分析] 由于所给约束条件及目标函数均为关于 x、y 的一 次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解．
∴z 的取值范围为[12，2]．
[点评] 求非线性目标函数的最值，要注意分析目标函数 所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系，是数列 结合的体现．
在条件00≤ ≤xy≤ ≤22 x－y≥1
下，z＝(x－1)2＋(y－1)2 的取值范围是
________．
[答案] [12，2]
[解析] 由约束条件作出可行域如图．
非线性目标函数的最值问题
x－y＋2≥0 已知 x、y 满足x＋y－4≥0
2x－y－5≤0
，求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
(2)z＝yx＋ ＋11的取值范围．
wenku.baidu.com
[分析] (1)将 z 化为 z＝x2＋(y－5)2，问题转化为求可行域 中的点与定点的最小距离问题；
(2)将式子化为 z＝yx－－－－11或 y＋1＝z(x＋1)，问题转化为 求可行域中的点与定点的连线的斜率的最值问题
x＋y≤6 若变量 x、y 满足约束条件x－3y≤－2
x≥1
，则 z＝2x＋3y
的最小值为( )
A．17
B．14
C．5
D．3
[答案] C
[解析] 作出可行域(如图阴影部分所示)． 作出直线 l：2x＋3y＝0. 平移直线 l 到 l′的位置，使直线 l 通过可行域中的 A 点(如 图) 这时直线在 y 轴上的截距最小，z 取得最小值．
[解析] 设 A、B 两种金属板分别取 x 张、y 张，用料面积 为 z，则约束条件为
3x＋6y≥45
5x＋6y≥55
x≥0
.
y≥0
目标函数 z＝2x＋3y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所 示．
z＝2x＋3y 变为 y＝－23x＋3z，得斜率为－23，在 y 轴上截距 为3z且随 z 变化的一族平行直线．
当直线 z＝2x＋3y 过可行域上点 M 时，截距最小，z 最小．解 方程组35xx＋＋66yy＝＝4555 ，得 M 点的坐标为(5,5)．
此时 zmin＝2×5＋3×5＝25 (m2)． 答：当两种金属板各取 5 张时，用料面积最省．
4 个茶杯和 5 包茶叶的价格之和小于 22 元，而 6 个茶杯与
[解析] 作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所 示．
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴 上的截距为 z，随 z 变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截 距 z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
解方程组3x－x＋45y＋y－32＝5＝0 0 ，得 A 点坐标为(5,2)， 解方程组xx－＝41y＋3＝0 ，得 B 点坐标为(1,1)， 所以 zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
解方程组xx－＝31y＝－2 ，得最优解yx＝＝11 . ∴z 最小＝2×1＋3×1＝5.
线性规划在实际问题中的应用
某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为 45 个与 55 个，所用原料为 A、B 两种规格金属板，每张面积分 别为 2 m2 与 3 m2.用 A 种规格金属板可造甲种产品 3 个，乙种 产品 5 个；用 B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各 6 个．问 A、B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的 用料面积最省？
[解析] (1)作出可行域，如图． 并求出点 A、B 的坐标分别为(1,3)、(3,1)．
(1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到定点 M(0,5) 的距离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线 MN，垂足为 N，则：z 最小＝|MN|2＝(|0－52＋2|)2＝92.
(2)z＝yx＋＋11＝yx－－－－11表示可行域内任一点(x，y)与定点 Q(－1，－1)连线的斜率，可知，kAQ 最大，kQB 最小．而 kQA＝31＋＋11 ＝2，kQB＝13＋＋11＝12.
目标函数表示点(x，y)与点 M(1,1)的距离的平方．由图可 知，z 的最小值为点 M 与直线 x－y＝1 的距离的平方．即 zmin ＝(|1－12－1|)2＝12.
z 的最大值为点 M(1,1)与点 B(2,0)的距离的平方： 即 zmax＝(1－2)2＋(1－0)2＝2. ∴z 的取值范围为[12，2]．
3 包茶叶的价格之和大于 24 元，则 2 个茶杯和 3 包茶叶的价格
比较( )
A．2 个茶杯贵
B．3 包茶叶贵
C．相同
D．无法确定
[答案] A
[解析] 设茶杯每个 x 元，茶叶每包 y 元，则
4x＋5y＜22 6x＋3y＞24 x，y∈N
，U＝2x－3y 取值的符号判断如下：
由 y＝23x－U3 .当 U＝0 时，过点 A(3,2)，往下平移．经过可 行域内的点－U3 ＜0，∴U＞0，即 2x＞3y.往上平移不经过可行 域内的点．∴选 A.
求线性目标函数的最值问题
设 z ＝ 2x ＋ y ， 式 中 变 量 x 、 y 满 足 条 件
x－4y≤－3 3x＋5y≤25 x≥1
，求 z 的最大值和最小值．
[分析] 由于所给约束条件及目标函数均为关于 x、y 的一 次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解．
∴z 的取值范围为[12，2]．
[点评] 求非线性目标函数的最值，要注意分析目标函数 所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系，是数列 结合的体现．
在条件00≤ ≤xy≤ ≤22 x－y≥1
下，z＝(x－1)2＋(y－1)2 的取值范围是
________．
[答案] [12，2]
[解析] 由约束条件作出可行域如图．
非线性目标函数的最值问题
x－y＋2≥0 已知 x、y 满足x＋y－4≥0
2x－y－5≤0
，求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
(2)z＝yx＋ ＋11的取值范围．
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[分析] (1)将 z 化为 z＝x2＋(y－5)2，问题转化为求可行域 中的点与定点的最小距离问题；
(2)将式子化为 z＝yx－－－－11或 y＋1＝z(x＋1)，问题转化为 求可行域中的点与定点的连线的斜率的最值问题
x＋y≤6 若变量 x、y 满足约束条件x－3y≤－2
x≥1
，则 z＝2x＋3y
的最小值为( )
A．17
B．14
C．5
D．3
[答案] C
[解析] 作出可行域(如图阴影部分所示)． 作出直线 l：2x＋3y＝0. 平移直线 l 到 l′的位置，使直线 l 通过可行域中的 A 点(如 图) 这时直线在 y 轴上的截距最小，z 取得最小值．
[解析] 设 A、B 两种金属板分别取 x 张、y 张，用料面积 为 z，则约束条件为
3x＋6y≥45
5x＋6y≥55
x≥0
.
y≥0
目标函数 z＝2x＋3y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所 示．
z＝2x＋3y 变为 y＝－23x＋3z，得斜率为－23，在 y 轴上截距 为3z且随 z 变化的一族平行直线．
当直线 z＝2x＋3y 过可行域上点 M 时，截距最小，z 最小．解 方程组35xx＋＋66yy＝＝4555 ，得 M 点的坐标为(5,5)．
此时 zmin＝2×5＋3×5＝25 (m2)． 答：当两种金属板各取 5 张时，用料面积最省．
4 个茶杯和 5 包茶叶的价格之和小于 22 元，而 6 个茶杯与
[解析] 作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所 示．
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴 上的截距为 z，随 z 变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截 距 z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
解方程组3x－x＋45y＋y－32＝5＝0 0 ，得 A 点坐标为(5,2)， 解方程组xx－＝41y＋3＝0 ，得 B 点坐标为(1,1)， 所以 zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
解方程组xx－＝31y＝－2 ，得最优解yx＝＝11 . ∴z 最小＝2×1＋3×1＝5.
线性规划在实际问题中的应用
某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为 45 个与 55 个，所用原料为 A、B 两种规格金属板，每张面积分 别为 2 m2 与 3 m2.用 A 种规格金属板可造甲种产品 3 个，乙种 产品 5 个；用 B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各 6 个．问 A、B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的 用料面积最省？
[解析] (1)作出可行域，如图． 并求出点 A、B 的坐标分别为(1,3)、(3,1)．
(1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到定点 M(0,5) 的距离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线 MN，垂足为 N，则：z 最小＝|MN|2＝(|0－52＋2|)2＝92.
(2)z＝yx＋＋11＝yx－－－－11表示可行域内任一点(x，y)与定点 Q(－1，－1)连线的斜率，可知，kAQ 最大，kQB 最小．而 kQA＝31＋＋11 ＝2，kQB＝13＋＋11＝12.
目标函数表示点(x，y)与点 M(1,1)的距离的平方．由图可 知，z 的最小值为点 M 与直线 x－y＝1 的距离的平方．即 zmin ＝(|1－12－1|)2＝12.
z 的最大值为点 M(1,1)与点 B(2,0)的距离的平方： 即 zmax＝(1－2)2＋(1－0)2＝2. ∴z 的取值范围为[12，2]．
3 包茶叶的价格之和大于 24 元，则 2 个茶杯和 3 包茶叶的价格
比较( )
A．2 个茶杯贵
B．3 包茶叶贵
C．相同
D．无法确定
[答案] A
[解析] 设茶杯每个 x 元，茶叶每包 y 元，则
4x＋5y＜22 6x＋3y＞24 x，y∈N
，U＝2x－3y 取值的符号判断如下：
由 y＝23x－U3 .当 U＝0 时，过点 A(3,2)，往下平移．经过可 行域内的点－U3 ＜0，∴U＞0，即 2x＞3y.往上平移不经过可行 域内的点．∴选 A.