Koch 曲线的周长与面积

Koch 曲线的周长与面积

设原三角形P 1的边长为a 1 ，边数为 b 1 ，周长为L 1 ，面积为S 1。依次所得的“雪花曲线”（P n ）的边长为a n ，边数为b n ，周长为 L n ，面积为 S n 。

观察n ＝1、2、3时，a n 、 b n 、 L n 、S n 的表达式及其相互关系，

构造次数P n 边长为a 边数为 b 周长为L 面积为S

n=1 a 1 b 1 L 1=3a 1 S 1=4

3a 12 n=2 b 2=4b 1 L 2=34L 1 S 2=43a 12+3×4

3a 12 n=3 B 3=4b 2 L 3=(34)2L 2 S 3=

43a 12+3×43a 12+⎪⎭

⎫ ⎝⎛94×432×43a 12 … … …

… …

下面分步研究:

① a n 与 a n-1的边长之间的关系: 由 , ,……, 得, 。

②P n 与P n-1的边数之间的关系：

因为每操作一次，原来一条边变为4条边，所以

，从而

。

③P n 与P n-1 的周长之间的关系：

由,,……,得，。

④P n与P n-1的面积之间的关系：

∵P 是在P1的每条边上再生成一个小三角形，∴。

同理，对象P n是在P n-1的每条边上再生成一个小正三角形，于是对象P n的面积等于P n -1的面积加上b n个新增小正三角形的面积，即

，把和的表达式代入上式，得，即,

,……, ,用叠加相消法，得

。

P n和P n-1的之间的递推关系：P 的面积等于P n-1的面积加上b n-1个新增小正三角形的面积。

分析数列{a n}、{b n}、{L n} 、{S n} 的性质

①数列{a n}、{b n}、{L n} 、{S n}都是等比数列；

②数列{b n}、{L n} 、{S n} 都是递增数列；数列{a n}是递减数列；

③由于{b n}、{L n} 的公比大于1，{a n} 的公比小于1，随着n 趋近于＋∞，{b n} 、{L n} 的值趋于＋∞，{a n}的值趋于0；{S n}的公比小于1，随着n趋于＋∞，{S n} 的值趋于（且,即雪花曲线面积大于原正三角形面积，而小于P2的六个顶点连成的正六边形面积。）。

面的分析结果，得到雪花曲线的特性：

①雪花曲线是一条边数有无穷多，到处是尖端，不光滑的、连续的封闭的折线；②雪花曲线的周长为无穷大，而它所围成的面积是有限的；