排序不等式

例2 设a1,a2,…,an是n个互不相等的正整数， 求证：
an a2 a3 1 1 1 1 ... a1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n
证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列， 且有 b1<b2<…<bn 因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数， 所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
2 1 2 2 2 n 1 2 n
当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时, 反序和等于顺序和 .
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要 ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
练习
1.设a1 , a2 ,..., an为实数，证明： a1c1 a2c2 ... an cn a a ... a ,
2 1 2 2 2 n
其中c1 , c2 ,..., cn是a1 , a2 ,..., an的任一排列。
练习
2.已知a, b, c为正数，用排序不等式证明 2(a b c ) a (b c) b (a c) c (a b).
( 2)将数组(a1 , a2 ,, an )和(b1 , b2 ,, bn )按相反顺序相乘 所得的和
S1 a1bn a2bn 1 a3bn 2 anb1
称为 反序和 ( 3)将数组(a1 , a2 ,, an )和(b1 , b2 ,, bn )按相同顺序相乘 所得的和 称为
S2 a1b1 a2b2 a3b3 anbn
顺序和
反序和 乱序和 顺序和 即 S1 S S2
定理 (排序不等式或称排序原 理) 设a1 a2 an , b1 b2 bn为两组实数 , c1 , c2 ,, cn是b1 , b2 , , bn的任一排列 , 那么 a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2 c2 an cn a1b1 a2b2 anbn
3 3 3 2 2 2
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练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ... an . a2 a3 an a1
解：总时间(分）是10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，对于两个数组10， 9，…1和t1，t2，…t10 当t1<t2<…<t9<t10 ， 即取反序和时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
又因 1 1 1 ... 1 2 2 2 2 3 n 由排序不等式，得：
an bn a2 a3 b2 b3 a1 2 2 ... 2 b1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 2 ... n 2 1 ... 2 3 n 2 3 n
人之为学有难易乎？学之，则难者亦易也； 不学，则易者亦难矣！
(1)设c1 , c2 ,, cn 是数组b1 , b2 ,, bn的任何一个排列 , 则 S a1c1 a2c2 ancn叫做数组(a1 , a2 ,, an ) 和(b1 , b2 ,, bn )的 乱序和