第二章 动量传递的变化方程 本章先讨论动量传递的基本概念,动量传递的两种方式：扩散传递和对流动量传递,

X Y 0 Z g
因此，作用在微元系统的质量力为
dFBx Xρdxdydz
dFBy Yρdxdydz
dFBz Zρdxdydz
一、用应力表示的运动方程
表面力（又称接触力或机械力）
与流体元相接
触的环境流体 （有时可能是固 体壁面）施加于 该流体元上的力。 表面力又称为机 械力，与力所作 用的面积成正比。
p ps pd x x x
p ps pd y y y
p ps pd z z z
X 1 ps
x
Y 1 ps
y
Z 1 ps
z
四、以动压力表示的运动方程
以动压力表示的运动方程为
Du 1 p ν2u Dθ ρ
Dux Dθ
1 ρ
pd x
ν(
2ux x2
2ux y2
2ux z 2
一、用应力表示的运动方程 二、牛顿型流体的本构方程 三、流体的运动方程 四、以动压力表示的运动方程 五、柱坐标及球坐标下的运动方程
一、用应力表示的运动方程
动量守恒定律 牛顿第二定律— F = Ma = M du dθ
合外力 动量变化速率
拉格朗日方法
在流场中选一微元 系统（质量一定，体 积和形状变化）
x dx
x
在x,y,z方向分量： ux，uy，uz
连续性方程的推导
流体密度为ρ = ρ（x,y,z,θ)
一、 连续性方程的推导
对控制体作质量衡算。在 x 方向:
(uLeabharlann Baidu)
(u )
[u
x dx]dydz u dydz
x dxdydz
x
x
x
x
y，z方向流出与流入微元控制体的质量流量之差
(u )
于单组分流体系统（如水）或组成均匀的多组分 混合物系统（如空气）中，运用质量守恒原理进行 微分质量衡算，所得方程称为连续性方程。
质量守恒定律 流出质量速率+流入质量速率－积累质量速率＝0 采用欧拉观点
在流场中选一微分控制体。
一、 连续性方程的推导
微分控制体：
dV=dxdydz
u x
该点流速 u
(u )
τ yx y
τ zx z
)dxdydz
一、用应力表示的运动方程
用应力表示的运动方程：
x方向 y方向 z方向
ρ Dux ρX τxx τ yx τzx
Dθ
x y z
ρ Duy ρY τxy τ yy τzy
Dθ
x y z
ρ Duz ρZ τxz τ yz τzz
Dθ
x y z
us )
ub—管内流体的平均流速，m/s；
f—范宁摩擦因子，管壁与流体在界面处的动量通
量。
二、流体与壁面之间的动量传递
动量传递的根本目的是求解以上两个动量传递 系数—CD 或 f 。
CD 或 f 的求解途径：
在流体与壁面的界面处，动量传递的通量为分
子传递，即
s
dux
dy
y0
（2）
二、流体与壁面之间的动量传递
一、用应力表示的运动方程
x方向：dFx dFBx dFsx dFBx Xρdxdydz
dFsx
[( τ xx
τ xx x
dx)dydz
τ xx dydz ]
[(τ yx
τ yx y
dy)dxdz
τ yxdxdz]
[(τzx
τ zx z
dz)dxdy
τ zx dxdy ]
dFsx
( τ xx x
x y z
一、 连续性方程的推导
全导数的形式 d dx dy dz
d x d y d z d
随体导数
D
D
ux
x
uy
y
uz
z
随体导数是一个特定的全导数。随体导数的 物理意义是流场中的物理量随时间和空间的变 化率。
一、 连续性方程的推导
随体导数的一般定义为
D
D
变量数 > 方程数：方程无解
二、牛顿型流体的本构方程
本构方程 — 描述应力与形变速率之间关系的方程
对于三维流动系统，可以从理论上推导应力与形
变速率之间的关系。
剪
xy
yx
u
( x
y
u y
x
)
应
yz
zy
( uz
y
uy ) z
力
zx
xz
( ux
z
uz x
)
二、牛顿型流体的本构方程
法
ux
x
uy
y
uz
z
局部导数
对流导数
一、 连续性方程的推导
故连续性方程可写成
ρ u Dρ 0 Dθ
v 1
1 Dv 1 Dρ 0
v Dθ Dθ
体积膨胀速率
1 Dv u v Dθ
线性形变速率
二、连续性方程的简化
1. 稳态流动
( ρux ) ( ρuy ) ( ρuz ) 0
质量力
表面力
dFx dFBx dFsx dFy dFBy dFsy dFz dFBz dFsz
一、用应力表示的运动方程
质量力
质量力是指作用在流体元的每一质点上的力。
场力
外界力场对流体的作用力， 如重力、电磁力等
质量力 惯性力
由于流体作不等速运动而产生， 如流体作直线加速运动时所产 生的惯性力，流体绕固定轴旋 转时所产生的惯性离心力
一、用应力表示的运动方程
方程的分析：
可以证明 变量数10：
τxy τyx τ yz τzy τxz τzx
,ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,τzz ,τxy (τyx ), yz ( zy ), xz ( zx )
已知量3： X, Y, Z
方程数3+1：运动方程3个，连续性方程1个
dF = ρdxdydz du
作用在微 元系统上 的合外力
dθ
微元系统内
的动量变化 速率
x 方向
dFx
=
ρdxdydz
Dux Dθ
y
方向dFy =
ρdxdydz
Duy Dθ
dy
z 方向
dFz
=
ρdxdydz
Duz Dθ
dz dx
一、用应力表示的运动方程
微元作用上作用力的分析
dF dFB dFs
式（1）与（2）联立，得
CD 2
(u02
us2
)
dux dy
y0
CD μ dux
2
ρu02 dy y0
CD
dux dy y0
速度 分布
动量传递 变化方程
第二章 动量传递的变化方程
2.1 动量传递概述 2.2 连续性方程
一、连续性方程的推导 二、连续性方程的简化 三、柱坐标与球坐标系方程
一、 连续性方程的推导
2. 球坐标系
ρ θ '
1 r2
r
( ρr2ur )
1 r sin θ
θ
( ρuθ
sin θ)
1 r sin θ
φ
( ρuφ )
0
θ －时间；
r －径向座标；
－方位角；
θ－余纬度； ur , uφ , uθ －各方向的
速度分量。
第二章 动量传递的变化方程
2.1 动量传递概述 2.2 连续性方程 2.3 运动方程
一、用应力表示的运动方程
单位质量力
单位质量流体所受到的质量力称为单位质量力， 它在数值上等于加速度，是一个向量 FB / m
FB x mX , FB y mY , FB z mZ
X，Y，Z 的单位：N / kg = kg﹒m﹒s-2 / kg = m / s2
一、用应力表示的运动方程
若流体只受到重力作用，且 xoy 为一水平面
xx
p 2
ux x
2 u
3
向 应
yy
p 2
u y y
2 u
3
力
zz
p 2
uz z
2 u
3
三、流体的运动方程
将本构方程代入用应力表示的运动方程，简化得
Du
x
p
2u
X ( x
2u x
2u
x)
u (x
u y
u z)
D
x
x2 y2 z 2 3 x x y z
Du
y
Y
p
2u
2.对流动量传递
对流动量传递是由于流体的宏观流动引起的。在
流场中取一微元面积 dA , 流体在该微元上的流速为
ux , 且 ux 与微元面垂直，设流体的密度为 ， 则以
对流方式通过 dA 的动量通量为：
uxux
ux
dA
二、流体与壁面之间的动量传递
对流动量传递可以发生在流动流体的内部，也
可以发生在运动流体与固体壁面之间。流体与壁
u u
u
u
一、用应力表示的运动方程
牛顿第二定律在流体微元上的表达式
F d (Mu) dθ
拉格朗日观点，M=常数 F = M Du Dθ
微元系统dV，M=ρdV dF = ρdV Du Dθ
设某一时刻 ，
微元系统的体积 为 dV=dxdydz
dx
dy dF = ρdxdydz Du
Dθ
dz
一、用应力表示的运动方程
Du
p
2u 2u 2u
z Z ( z z z )
D
z
x2 y 2 z 2
ρ
Du Dθ
ρFB
p
μ2u
三、流体的运动方程
ρ
Du Dθ
ρFB
p
μ2u
惯性力 质量力 压力 粘性力
四、以动压力表示的运动方程
设流体不可压缩，并且 p ps pd
p—流体的总压力；
ps—静压力，即流体静止时的压力； pd—动力压力，即使流体流动所需的压力。
ρ
Du Dθ
ρFB
p
μ2u
1 3
μ(
u)
适用条件
牛顿型流体的稳态或非稳态、可压缩或不可压 缩流体、理想或实际流体的流动。
三、流体的运动方程
当流体不可压缩时 u = 0
Du
p
2u 2u 2u
x X ( x x x )
D
x
x2 y 2 z 2
Du y
Y
p
2u
( y
2u
y
2u y)
D
y
x2 y2 z2
r
1 r
一、用应力表示的运动方程
现以微元微元系统的一 个面（左面）为例分析：
τ 该表面力 可分解为：
ττ τ = n
xx—法向应力；
—剪应力。
t
再分解为：
τ τ t xy－垂直于表面 y 向剪应力； τ xz－平行于表面 z 向剪应力。
一、用应力表示的运动方程
现将 x 方向上微元系统的6个表面应力全部绘于图上
第二章 动量传递的变化方程
本章先讨论动量传递的基本概念，动量传递的 两种方式：扩散传递和对流动量传递，对流传递 系数的定义式和求解的一般途径。然后推导动量 传递的微分方程－变化方程。
第二章 动量传递的变化方程
2.1 动量传递概述
一、动量传递的基本方式 二、流体与壁面之间的动量传递
一、动量传递的基本方式
( y
2u y
2u y
)
u (x
u y
u z)
D
y
x2 y2 z2 3 y x y z
Du
z
p
2u
Z ( z
2u z
2u
z)
u (x
u y
u z)
D
z
x2 y2 z 2 3 z x y z
ρ
Du Dθ
ρFB
p
μ2u
1 3
μ( u)
奈维－斯托克斯（Naviar-Stokes）方程
三、流体的运动方程
面间的对流动量传递的一般定义为
u
s
CD 2
(u02
us2 )
（1）
ux、us－分别为流体内部与壁面处的流速，m/s；
τs－剪应力，流体与壁面间的对流动量通量，Pa；
CD－壁面与流体在界面处的对流动量传递系数，
或阻力系数。
二、流体与壁面之间的动量传递
对于封闭管道内的流动：
s
f 2
ub2
ux
f 2
ub (ub
x
y
z
2. 不可压缩流体
ux uy uz 0 x y z
u 0
三、柱坐标与球坐标系方程
1. 柱坐标系
ρ θ '
1 r
r
( ρrur
)
1 r
θ
( ρuθ
)
z
( ρuz )
0
θ －时间；
r －径向座标；
z －轴向座标；
θ－方位角；
ur , uz , uθ －各方向的
速度分量。
三、柱坐标与球坐标系方程
作用在流体上的力
一、用应力表示的运动方程
表面应力
单位面积上的表面力称为 表面应力。
切向应力 法向应力
t
dFt dA
n
dFn dA
N /m2 N /m2
一、用应力表示的运动方程
微元系统有6个表面，每 个面上都与相邻的环境流 体有表面力的作用，而每 个力又可沿坐标方向分解 为3个分量。
dx
dy
dz
分子传递 — 因流场中存在速度梯
度，分子随机运动引起
扩散传递
的动量传递过程。
动量 传递
涡流传递 —湍流中质点的随机脉 动引起的动量传递。
对流传递 —由于流体质点的宏观流动引起， 是动量的主体流动过程。
一、动量传递的基本方式 1.分子动量传递
分子动量传递的通量由牛顿黏性定律描述：
dux
dy
一、动量传递的基本方式
(u )
[u
y dy]dxdz u dxdz
y dxdydz
y
y
y
y
u x
(u ) x dx
x
(u )
(u )
[u
z dz]dxdy u dxdy
z dxdydz
z
z
z
z
一、 连续性方程的推导
控制体内的累积速率为 dxdydz
各式联立，可得
(ux ) (uy ) (uz ) 0
x
y
z
写成向量形式
uxi uy j+uzk
(u) 0
i j k x y z
流体流动的连续性方程
一、 连续性方程的推导
各项展开
( ux
x
uy y
uz z
) ux
x
uy
y
uz
z
0
由于流体密度是空间坐标及时间的函数
(x, y, z,)
其全微分为
d d dx dy dz
)
Duy 1 p d ν(2uy 2uy 2uy )
Dθ ρ y
x2 y2 z2
Duz Dθ
1 ρ
pd z
ν(
2uz x2
2uz y2
2uz z 2
)
五、柱坐标及球坐标下的运动方程
1. 柱坐标系
r －分量
ur θ '
ur
ur r
uθ r
ur θ
uθ2 r
uz
ur z
Xr
1 ρ
p r
ν