四边形中常用的辅助线

专题提升9 四边形中常用的辅助线

四边形中添辅助线的目的一般都是造就线段平行或垂直，构造全等三角形、直角三角形、平行四边形等，把难以解决的问题转化成常见的三角形、平行四边形等问题处理，其常用方法有以下几种：

(1)连结对角线或平移对角线．

(2)把图形中的一部分旋转，构造全等三角形．

(3)涉及面积问题的，常构造直角三角形．

(4)已有一组平行线或对角线互相平分的，常构造平行四边形．

(5)涉及线段中点或平行四边形对角线交点的，常构造三角形的中位线．

(第1题)

1．如图，在四边形ABCD 中，R ，P 分别是BC ，CD 上的点．E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，下列结论成立的是(C )

A. 线段EF 的长逐渐增大

B. 线段EF 的长逐渐减少

C. 线段EF 的长不变

D. 线段EF 的长与点P 的位置有关

【解】 连结AR .

∵AR 的长度不变，根据中位线定理可知，EF ＝12

AR ， ∴当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，线段EF 的长不变．

(第2题)

2．如图，四边形ABCD 放在一组距离相等的平行线中，已知BD ＝6 cm ，四边形ABCD 的面积为24 cm 2，则两条平行线间的距离为(A )

A. 2 cm

B. 3 cm

C. 4 cm

D. 1 cm

【解】 过点A 作AE ⊥BD 于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，

则S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AE ·BD ＋12CF ·BD ＝12

BD (AE ＋CF )． ∵BD ＝6 cm ，四边形ABCD 的面积为24 cm 2，

∴AE ＋CF ＝8 cm ，∴两条平行线间的距离为2 cm.

3．(淄博中考)如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线

段DF 的中点，连结PG ，PC .若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，则PG PC 等于(B ) ,(第3题))

A. 2

B. 3

C. 22

D. 33

【解】 延长GP 交DC 于点H .

∵四边形ABCD 和四边形BEFG 都是菱形，

∴BC ＝DC ，BG ＝FG .

∵P 是线段DF 的中点，∴FP ＝DP .

由题意可知DC ∥FG ，∴∠GFP ＝∠HDP .

又∵∠GPF ＝∠HPD ，

∴△GFP ≌△HDP (ASA )，

∴GP ＝HP ，FG ＝DH ，

∴BG ＝DH ，

∴BC －BG ＝DC －DH ，即CG ＝CH ，

∴△HCP ≌△GCP (SSS )，

∴∠GCP ＝∠HCP ＝12

∠BCD ，∠HPC ＝∠GPC ＝90°. ∵DC ∥AB ，∠ABC ＝60°，∴∠BCD ＝120°，

∴∠GCP ＝60°，

∴易得PG PC

＝ 3. 4．已知P 是正方形ABCD 内一点，PB ＝2，PC ＝1，∠BPC ＝135°，则AP 的长为5．

(第4题解)

【解】 如解图，把△ABP 绕点B 顺时针旋转90°，到达△CBQ 的位置，连结PQ . 由旋转的性质，得PB ＝BQ ，∠PBQ ＝90°，AP ＝CQ ，

∴△BPQ 是等腰直角三角形，

∴PQ ＝PB 2＋BQ 2＝（2）2＋（2）2＝2，∠BPQ ＝45°，

∴∠CPQ ＝135°－45°＝90°，

∴△PCQ 是直角三角形，

∴AP ＝CQ ＝PC 2＋PQ 2＝12＋22＝ 5.

(第5题)

5．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD，交BD于点E，则DE的长为2－1．

【解】过点E作EF⊥DC于点F.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ODC＝45°，AC⊥BD.

∵CE平分∠ACD，EF⊥DC，

∴CO＝CF，∠DEF＝45°＝∠ODC，∴EF＝DF.

∵正方形ABCD的边长为1，

∴AC＝2，∴CO＝1

2AC＝

2 2，

∴CF＝CO＝2

2

，

∴EF＝DF＝DC－CF＝1－2

2

，

∴DE＝EF2＋DF2＝2－1.

(第6题)

6．如图，P为▱ABCD内一点，△P AB，△PCD的面积分别记为S1，S2，▱ABCD的面积记为S，试探究S1＋S2与S之间的关系．

(第6题解)

【解】如解图，过点P作EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F.

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴四边形ABFE，四边形EFCD都是平行四边形，

∴S1＝1

2S▱ABFE，S2＝1

2S▱EFCD.

∵S▱ABFE＋S▱EFCD＝S，∴S1＋S2＝1

2S.

(第7题)

7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A∶∠C＝1∶2，AB＝2，CD＝1.求：

(1)∠A，∠C的度数．

(2)AD，BC的长度．

(3)四边形ABCD的面积．

【解】(1)∵∠A＋∠C＝360°－∠B－∠D＝360°－90°－90°＝180°，∠A∶∠C＝1∶2，∴∠A＝60°，∠C＝120°.

(2)分别延长BC，AD相交于点E.

在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∴∠E＝30°，

∴AE＝2AB＝4，∴BE＝2 3.

在Rt△EDC中，易得EC＝2CD＝2，ED＝3，

∴AD＝AE－ED＝4－3，BC＝BE－EC＝23－2.

(3)S四边形ABCD＝S△ABE－S△EDC＝1

2×23×2－

1

2×3×1＝

3

2 3.

(第8题)

8．如图，在四边形ABCD中，BE＝DF，AC和EF互相平分于点O，∠B＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．

【解】连结AF，CE.

∵AC和EF互相平分，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE＝CF，AE∥CF.

又∵BE＝DF，

∴AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

又∵∠B＝90°，

∴▱ABCD是矩形．

(第9题)

9．在数学活动课上，小明提出了这样一个问题：如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠DEC＝35°，求∠EAB的度数．