相似三角形的综合运用

相似三角形的综合运用

知识要点：

1. 对应角相等，对应边成比例的两个三角形称为相似的三角形。

2. 相似三角形的相似比等于对应边之比，也等于它们的对应线段之比以及周长比，相似比的平方等于它们的面积比。

3. 常用的判定两个三角形相似的方法是：角角相似，两边夹一角相似以及三边对应成比例相似，“斜边，直角边”相似。

【典型题】

1. 如图所示，△PQR 是等边三角形，若∠APB=120°，AQ=4，RB=9，求QR 的长。

P

A Q R

B

2. 直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB 上是否存在点P 。使△PAD 与△PBC 相似？若存在，求出所有的AP 的长，若不存在，请说明理由。

B

3. 折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 上的点F 处，已知折痕55AE =，

43

CF CE =

，求矩形ABCD 的周长。

A D

例4. 如图所示的两个正方形有共同的对称中心，连结HA ，HC ，若△AHC 是正三角形，AB=2，求EF 的长。

H G

E F

【模拟训练题】

一、填空题

1. 线段a=0.7，b=1.4，c=0.4，d=0.3，则线段a ，b ，c ，d_____________成比例的线段（填“是”或“不是”）。

2. 在比例尺1：12000000的地图上，某两地之间相距24.5cm ，则它们的实际距离用科学记数法表示是__________________km 。（保留两个有效数字）

3. 线段a 比线段b 长4cm ，a:b=7:5，则a=________cm ；线段a ，b 的比例中项等于________。

4. 若3:8y :)y x (=+，则y ：x=__________；若4:3)y x (:)y x (=+-，则22y :x =_______。

5. 32f e d c b a =

==，则f 3d 2b e

3c 2a +-+-=_____________。

6. 下列判断中，（1）所有的等腰三角形都相似；（2）所有的正三角形都相似；（3）所有的正方形都相似；（4）所有的矩形都相似，其中判断正确的序号是_____________。

7. 如图所示，若∠1=∠2=∠3，则图中有_______________对三角形是相似三角形。

A

1

B C

D

E 2 3

8. 直角坐标系中，已知点A （-2，0），B （0，4），C （0，

3），过点C 的直线交x 轴于点D ，使以D ，O ，C 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线最多可作_____________条。

二、选择题

9. 如图所示，l 1//l 2//l 3，下列各式中正确的是（ ）

A. HE DH

HC AH =

B. EF DE

AC AB =

C. EF DF

AB AC = D.

AB DE

BC EF =

10. Rt △BAC 中，∠A=90°，P 为BC 边上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截得的三角形与△ABC 相似，则满足条件的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

11. 如图所示，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ） A. AF AE ⊥

B. 2

AF EF

=

C. FE FH AF 2

⋅=

D. CE HB FC FB =

A D

E H

F B C

12. 三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边为21cm ，则其余两边之和为（ ） A. 32cm B. 24cm C. 18cm D. 16cm

13. 如图所示，△ABC 中，∠BAC=90°，D 为BC 中点，AE ⊥AD 交CB 的延长线于E ，则正确的结论是（ ） A. △AED ∽△ACB B. △AEB ∽△ACD C. △BAE ∽△ACE

D. △AEC ∽△DAC

A

E B D C

14. 平行四边形ABCD 中，E 为BC 上一点，BE ：EC=2：3，AE 交BD 于F ，则BF ：FD 等于（ ）

A. 2：5

B. 3：5

C. 2：3

D. 5：7

15. 如图所示，下列各式能使△ACB ∽△DCA 的是（ ）

A. AB AC

BD CD =

B. CD AC

AC CB =

C. BC AC

AB AD =

D. AB AD

AD AC =

16. 如图所示，△ABC 中，CD ：DB=3：1， AE ：EB=3：2，则CF ：FE 等于（

）

A. 3

B. 4

C. 3：2

D. 5

以下不复印【典型例题】

例1. 如图所示，△PQR 是等边三角形，若∠APB=120°，AQ=4，RB=9，求QR 的长。 解析：∵△PQR 是正三角形 ∴∠QPR=60°

又∠APB=120°

∴∠APQ+∠BPR=60°

但可证∠A+∠APQ=60°

∴∠A=∠BPR 同理∠APQ=∠B ∴△QAP ∽△RPB ∴BR QP PR AQ =，∴9QP PR

4=

∴PR ·QP=36

∵PR=QR ，∴QR=6

例2. 直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB 上是否存在点P 。使△PAD 与△PBC 相似？若存在，求出所有的AP 的长，若不存在，请说明理由。 解析：不妨设AP=x ，则

（1）当∠ADP=∠CPB 时， ∵△ADP ∽△BPC ∴PB BC AD AP =

，∴x 732x -=

解方程得x=1或6 （2）当∠ADP=∠BCP 时， ∵△ADP ∽△BCP

∴BC PB AD

AP =，∴3x 72x -=

解方程得

514x =

∴由（1）（2）知：在AB 上存在点P ，使AP=1或6或514

。

例3. 折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 上的点F 处，已知折痕55AE =，

43

CF CE =

，求矩形ABCD 的周长。

解析：显然易证△AFE ≌△ADE ∴∠EFC=∠BAF ，∠B=∠C

又Rt △EFC 中，

43

CF CE = ∴设CE=3k ，CF=4k ，EF=5k

∴DE=5k

∴CD=AB=8k

又易证△AFB ∽△FEC

∴CF AB FE AF =，∴k 4k

8k 5AF =

，∴AF=10k

∴在Rt △EFA 中，222AE EF AF =+ ∴解得k=1

∴AD=AF=10，AB=8

∴36C ABCD =四边形