一元二次方程的万能解法

2
即

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
用配方法解一般形式的一元二次方程
来自百度文库
ax2 bx c 0 (a 0)
∵a 0,4a2 0
当 b2 4ac 0
即 x b b2 4ac
2a
2a
b b2 4ac x
2a
x1 b
x
例2 用公式法解下列方程：
2a
(2) 2x2 2 2x 1 0
解： a 2,b 2 2, c 1
b2 4ac (2 2)2 4 21 0
x (2 2) 0 2 2 2
22
42
x1 x2
2 2
例2 用公式法解下列方程: (3) 5x2 3x x 1
b b2 4ac
x1
2a
, x2
2a
;
（2）当 b2 4ac 0 时，有两个相等的实数根。
x1

x2

b ; 2a
（3）当 b2 4ac 0 时，没有实数根。
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别 式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac
x b b2 4ac 2a
(4) x2x 4 5 8x
师生互动 巩固新知
1 3x2 6x 2 0
解： a 3,b 6, c 2.
b2 4ac 62 4 3 2 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
x1

3 3
15
,
x2

3 3
15
.
2 4x2 6x 0
解： a 4,b 6, c 0.
b2 4ac 62 4 4 0 36.
6
x
36 6 6 ,
24
8
x1

0,
x2

3 2
.
3 x2 4x 8 4x 11
解：化为一般式 x2 3 0 . a 1,b 0, c 3.
b2 4ac 02 41 3 12.
x 0 12 2 3 ,
21
2
x1 3 x2 3
(4) x2x 4 5 8x
解：化为一般式 2x2 4x 5 0 .
a 2,b 4, c 5.
b2 4ac 42 4 2 5 56.
x 4 2 14 4 2 14 ,
22
4
2 14 2 14 x1 2 , x2 2 .
21.2.2 一元二次方程的解法 ——公式法
用配方法解一元二次方程的步骤
1、 常数项 移到方程右边. 2、二次项系数化为１； 3、将方程左边配成一个 完全平方 式。 (两边都加上 一次项系数一半的平方 ) 4、用 平方根的意义 写出原方程的解。
用配方法解方程： 4x2 6x 3 0
温
b2 2a

4ac
,
x2

b

b2 4ac . 2a
由上可知，一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）.
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一
元二次方程时，可以先将方程化为一般形式
ax2 bx c 0 ，当 b2 4ac 0
时，将a，b，c 代入式子 x b b2 4ac
(4) x2 17 8x
x b b2 4ac 2a
解：方程可化为 x2 8x 17 0
a 1,b 8,c 17
b2 4ac (8)2 4117 40
∴方程无实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
注意：当 b2 4ac 0 时，方程无解。 3、代入求根公式: x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
师生互动 巩固新知
1 3x2 6x 2 0
2 4x2 6x 0
3 x2 4x 8 4x 11
x b b2 4ac 2a
解：方程可化为 5x2 4x 1 0
a 5,b 4, c 1
b2 4ac (4)2 4 5 (1) 360
x (4) 36 4 6
25
10
x1
1, x2

1 5
例2 用公式法解下列方程:

21 4
请问：一元二次方程的一般形式是什么？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0)
解: 移项，得 ax2 bx c
方程两边都除以 a ，得 x2 b x c
aa
配方，得
x2

b a
x


b 2a
2


c a


b 2a
例2 用公式法解下列方程： （１）x2 - 4x -7=0
解： a=1, b= -4 ,c= -7
∆=b2 - 4ac =12 - 4×1×(-7)=44>0
x (4) 44 4 2 11 2 11
21
2
即 x1 2 11, x2 2 11
b b2 4ac
就得到方程的根，这个式子叫做一元2二a 次方程 的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫 做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最 多有两个实数根。
一元二次方程的根的情况
ax2 bx c 0 （a 0）
（1）当 b2 4ac 0时，有两个不等的实数根。
b b2 4ac
解:移项，得： 4x2 6x 3,
故
二次项系数化为1，得 x2 3 x 3 ,
知
24
配方，得：
x2

3 2
x


3 4
2

3 4


3 4
2
,
新
(x 3)2 21 4 16
由此得: x 3 21
4
4
x1

3 4

21 , 4
x2

3 4