材料力学 第五章 弯曲应力PPT课件
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材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
材料力学弯曲应力PPT课件
M
Fl
F 解：1.画梁的剪力图和弯矩图
按正应力计算
max
M max Wz
6F1l bh2
F1
bh2
6l
107 100 1502 109 6
3750N
3.75kN
按切应力计算
max 3FS / 2A 3F2 / 2bh
F2 2 bh / 3 2106 100150106 / 3 10000N 10kN 35
截面为bh=30 60mm2 的矩形
求:1截面竖放时距离中性层20mm 处的正应力和最大正应力max; (2) 截面横放时的最大正应力max
b
解: M Fa 5103 0.18 900Nm
竖放时
横放时
IZ
bh3 12
30 603 12
54cm 4
y 20mm : M y 33.3MPa
主要公式:
变形几何关系 y
物理关系 E
E y
静力学关系
1 M
EIZ
My
IZ
为曲率半径
1
为梁弯曲变形后的曲率
11
§5.2 纯弯曲时的正应力
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力
My
IZ
•横截面惯性积 Iyz =0
•弹性变形阶段 ( p )
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲近似使用
12
试校核梁的强度。
分析： 非对称截面,要寻找中性轴位置 作弯矩图,寻找需要校核的截面
要同时满足 t,max t , c,max c
25
例题
解：（1）求截面形心
52
z1 z
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
材料力学弯曲应力_图文
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
解：1. 求支反力
x 90kN M
x
（压应力）
目录
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
z
M
C
zzy
x
dA σ
y
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明 ，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时 ，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
2. C 截面最大正应力
B
x
180
K
30 C 截面弯矩 z
FBY
y
C 截面惯性矩
x 90kN M
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
材料力学第五章弯曲应力
式中 ： M 横截面上的弯矩
Iz
横截面对中性轴的惯性矩
y
求应力的点到中性轴的距离
I z A y2dA
m 惯性矩是面积与距离平方的乘积，恒为正值，单位为 4
My
IZ
讨论
应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。
max M (x) WZ
RA
P
A
C
5m 10m
RB B
a
12.5
z
166
例题1 ：图示简支梁由 56 a 工字钢制成 ，其横截面见图 p = 150kN。求 (1) 梁上的最大正应力 max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
解：
C 截面为危险截面。最大弯矩
+
M max 375KN.m
查型钢表，56 a 工字钢
I z 65586 cm6
W z 2342cm2
(1) 梁的最大正应力 +
σ max
M max WZ
160MPa
(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
所以 a 点的正应力为
σ a M max ya 145MPa IZ
12.5
My
IZ
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处 当 中性轴为对称轴时 ，ymax 表示最大应力点到中性轴 的距离，横截面上的最大正应力为
max M ymax Iz
WZ
IZ ymax
材料力学5弯曲应力_图文
（1）合理安排载荷 （2）分散载荷(从使用方案考虑) （3）调整支座位置（从设计角度）
1、合理安排梁的受力
（1）合理安排载荷
P
(降低最大弯矩）
P
a
b
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（2）分散载荷(从使用方面考虑)
P P
P
若：
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（3）调整支座位置（从设计角度）
aP
q
A
C
E
l
P
B D
弯曲切应力强度校核
一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大 截面的中性轴上，且
是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩 。
型钢可查表
切应力强度条件：
梁上的最大切应力max≤[]
例题4-10 图示梁为工字型截面，跨长2a=4 m、 q=25 KN/m；材
料许用应力[]=160 MPa，[]=100 MPa。试选择工字钢型号。
3950
（3）合理截面要符合材料的力学性能
塑性材料
z
z
采用关于中性轴对称的截面
y
y
脆性材料
z
采用关于中性轴不对称的截面
y
理想情况： 可调整各部分尺寸，使
z
y
y1 z
y2 y
3、采用变截面梁
以危险截面的弯矩设计梁的截面，而在其
他截面的弯矩较小，材料不能被充分利用。
从强度的角度来看，如果在弯矩大的部位采用较大的截面，弯矩较 小的部位采用较小的截面，就比较合理。截面尺寸沿梁轴线变化的梁 叫变截面梁。 若各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力，这种梁叫等强度梁。
正应力大小与其到中 性轴距离成正比；
1、合理安排梁的受力
（1）合理安排载荷
P
(降低最大弯矩）
P
a
b
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（2）分散载荷(从使用方面考虑)
P P
P
若：
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（3）调整支座位置（从设计角度）
aP
q
A
C
E
l
P
B D
弯曲切应力强度校核
一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大 截面的中性轴上，且
是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩 。
型钢可查表
切应力强度条件：
梁上的最大切应力max≤[]
例题4-10 图示梁为工字型截面，跨长2a=4 m、 q=25 KN/m；材
料许用应力[]=160 MPa，[]=100 MPa。试选择工字钢型号。
3950
（3）合理截面要符合材料的力学性能
塑性材料
z
z
采用关于中性轴对称的截面
y
y
脆性材料
z
采用关于中性轴不对称的截面
y
理想情况： 可调整各部分尺寸，使
z
y
y1 z
y2 y
3、采用变截面梁
以危险截面的弯矩设计梁的截面，而在其
他截面的弯矩较小，材料不能被充分利用。
从强度的角度来看，如果在弯矩大的部位采用较大的截面，弯矩较 小的部位采用较小的截面，就比较合理。截面尺寸沿梁轴线变化的梁 叫变截面梁。 若各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力，这种梁叫等强度梁。
正应力大小与其到中 性轴距离成正比；
材料力学弯曲切应力ppt课件
m
F*
B N2 n
dFs
FN*2
FN*1
dM Iz
S
* z
3 求纵截面 AB1 上的切应力 ’
S dFs 1 dM *
b dx bI z dx z
Fs
S
* z
bI z
z x
y
A1
FN*1
m
B1 dFs
A
n
bm
dx
B FN*2 n
Fs
S
* z
bI z
4 横截面上距中性轴为任意 y 的点，其切应力 的计 算公式。
*
z max [ ]
I zb
式中 ：[] 为材料在横力弯曲时的许用切应力。
S* z max
为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩
F S s,max
*
z max [ ]
I zb
在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面， 再按切应力进行强度校核。
例题3 ： 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度 q 3.6 kN m
Fs,max 所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上。 全梁各横截面中最大切应力可统一表达为
S Fsmax
* z max
max
Izb
S Fsmax
* z max
max
Izb
S* z max
—— 中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩
b —— 横截面在中性轴处的宽度
Fs max —— 全梁的最大剪力
q
m
C
E
G
H D
m
l 2
l
Fs 图 F
M图
ql 2
ql 2 8
E
τ max
F*
B N2 n
dFs
FN*2
FN*1
dM Iz
S
* z
3 求纵截面 AB1 上的切应力 ’
S dFs 1 dM *
b dx bI z dx z
Fs
S
* z
bI z
z x
y
A1
FN*1
m
B1 dFs
A
n
bm
dx
B FN*2 n
Fs
S
* z
bI z
4 横截面上距中性轴为任意 y 的点，其切应力 的计 算公式。
*
z max [ ]
I zb
式中 ：[] 为材料在横力弯曲时的许用切应力。
S* z max
为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩
F S s,max
*
z max [ ]
I zb
在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面， 再按切应力进行强度校核。
例题3 ： 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度 q 3.6 kN m
Fs,max 所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上。 全梁各横截面中最大切应力可统一表达为
S Fsmax
* z max
max
Izb
S Fsmax
* z max
max
Izb
S* z max
—— 中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩
b —— 横截面在中性轴处的宽度
Fs max —— 全梁的最大剪力
q
m
C
E
G
H D
m
l 2
l
Fs 图 F
M图
ql 2
ql 2 8
E
τ max
05弯曲应力
例题5-1
q=60kN/m
A
1m
FAy
C
l = 3m
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBy
C 截面的曲率半径ρ y
FS 90kN
M ql 2 / 8 67.5kN m
x 90kN
n
I y
I yi
i 1
n
I z
I zi
i 1
（2）平行移轴公式
以形心为原点，建立与原坐标轴平行 y
x
dyAC
的坐标轴如图
xaxC
yb
yC
y
a
C
xC x
b
I x I xC b2 A SxCAyC 0
I x
y 2dA
A
(
A
yC
b)
2
dA
(
A
yC2
5.832 105
61.7 106 Pa 61.7MPa （压应力）
42
q = 60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
B
x
FBY
x 90kN
180
120
2. C 截面最大正应力
30 C 截面弯矩
K
z
M C 60kN m
y
C 截面惯性矩
IZ 5.832 105 m 4
bh3 12
) /(h0
材料力学第5章弯曲应力
3 R2
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
材料力学05_梁的弯曲正应力28页PPT
材料力学05_梁的弯曲正应力
•
6、黄金时代是在我们的前面、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
•
6、黄金时代是在我们的前面、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
材料力学ppt_闫晓鹏第5章_弯曲应力
例4 图示梁的的荷载及截面尺寸如图所示，材料的许 用拉应力[t]=40MPa、许用压应力[c] =100MPa，许 用切应力[] =20MPa 。试校核该梁的强度。
A B 2m C 3m 1m D 157. 5 200 C 30
q 10kN / m
F 20kN
200
解：求支座反力； z
0 : M D 12kN m
(上面受拉) (拉)
M D 6 M D 6 12 103 a 120 MPa 2 2 W bh 6 10
2 2 b a 120 48MPa (拉) 5 5
c 0
例2求图示T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。 30 50kN 20kN
a b
c d M c d
a b
⑵横向线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角 度，且仍与纵向线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴。
纵向对称面 中性层 中性轴
⒉ 基本假设 ⑴平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形 后的轴线正交； ⑵单向受力假设：纵向纤维之间无正应力，即无挤 压。各纵向纤维仅仅承受轴向的拉应力或者压应力。
max
Fs S z I z b0
*
式中b0为工字型腹板的厚度。
Fs S z* 在腹板上距中性轴为y处的切应力： I z b0
*
1 h0 h h0 h0 1 h h0 h0 S z b b0 y y y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b 2 b0 h02 2 (h h0 ) ( y 2 ) 8 2 4 b 2 FS b 2 b h 2 2 0 0 h h y ( ) ( ) 0 I z b0 8 2 4 h0 2 y FS bh 2 h0 腹板 max b b ( ) 0 I z b0 8 8
材料力学课件第五章弯曲应力的分析
A
① 将(2)代入(3)
y
E dA 0
A
Sz =
ydA 0
A
M y
z dA 0 -(4)
A
SZ称为静矩,当通过截 面形心时为0
中性轴通过截面形心
② 将(2)代入(4)
A
zE
ydA
0
A zydA 0
当截面具有对称轴时,自然满足. z, y轴是主惯性轴
M
(中性轴)
z x
y σdA
z
y (对称轴)
139mm
(3)截面对中性轴的惯性矩
Iz
200 303 12
200 30 462
30 1703 12
30 170 542
• 中性轴: 中性层与横截面的交线, 用Z轴表示。
梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。
如果正号弯矩如图作用在梁的横截面上，该梁下部将伸 长、上部将缩短
中性层曲率半径
d
M
M
•纤维bb变形前的长度：
m’ n’
y bb o 'o ' d dx
a’
a’
o’ b’
m’
o’ b’
n’
•纤维bb变形后的长度：
))
b 'b ' ( y)d
•纤维bb的应变：
( y )d d y - - - - (1)
d
( 与 y 成正比)
2.物理关系：
假设: 各层纤维之间无挤压作用,各条纤维仅受单 向拉压受力, 应此可以使用简单虎克定律。
根据简单虎克定律： E y - - - - (2)
(中轴性尚未确定, y、未知)
z 形后,横截面仍保持平面,
且仍与纵线正交
材料力学课件第五章 弯曲应力
三、作心轴弯矩图： 作心轴弯矩图：
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面： 截面， 截面， 可能的危险截面： I-I截面，II-II截面，III-III截面 截面 截面 截面
※一般实心截面细长梁： 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁：
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况，需特别校核剪应力： 如下情况，需特别校核剪应力： a） 自制薄壁截面（组合截面）梁： ） 自制薄壁截面（组合截面） b）梁跨度较小 ） c）支座附近有较大集中力 ）
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5：图示 简支梁 ： 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa， ， [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解： 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三）梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢，弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa，心轴的结构和受力 ， 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图： 解： 一、画心轴计算简图： 求支反力： 二、求支反力：由整体平衡
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面： 截面， 截面， 可能的危险截面： I-I截面，II-II截面，III-III截面 截面 截面 截面
※一般实心截面细长梁： 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁：
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况，需特别校核剪应力： 如下情况，需特别校核剪应力： a） 自制薄壁截面（组合截面）梁： ） 自制薄壁截面（组合截面） b）梁跨度较小 ） c）支座附近有较大集中力 ）
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5：图示 简支梁 ： 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa， ， [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解： 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三）梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢，弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa，心轴的结构和受力 ， 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图： 解： 一、画心轴计算简图： 求支反力： 二、求支反力：由整体平衡
材料力学课件 第五章弯曲应力
1 M = ρ EI z
EIz—弯曲刚度。表示梁抵抗弯曲变形的能力。 正应力公式
My y σ=E I zρ
公式适用范围： 1、对称弯曲，且纵向纤维无挤压。 2、线弹性范围，且拉压弹性模量相等。 思考题：若不是对称弯曲，以上正应力公式能 否成立？什么条件下成立？
4、最大正应力
最大正应力在横截面的上、下边缘点处
M B = 2.5kNm M C = −4kNm
9kN
A 2.5kN B
8kN/m
C D 88
80 b
20 z 120 20
I z = 763 × 106 mm 4
M B = 2.5kNm
1m
1m
14.5kN
1m
a
M C = −4kNm
3、确定危险点进行强度计算 C截面a点 C截面b点 B截面a点
[q2 ] = 8Wz [σ ] = 8 × 7.22 × 104 × 10 × 10 −6 = 5.78 kN
m
☻提高弯曲截面系数是提高梁的承载能力的主要 措施之一。
例题：一T型铸铁梁受外力如图所示，已知横截面对 中性轴的惯性矩Iz=763×104mm4，铸铁材料的容许 拉应力[σt]=30MPa，容许压应力[σc] =60MPa。试校 核梁的正应力强度。
梁满足强度条件 ☻非对称截面梁可能有两个危险截面、三个危险点
例题：图示20号槽钢受弯曲变形时，测出边缘点A、 B两点间长度的改变量为Δl=27×10-3mm，材料的弹 性模量E=200GPa。试确定两横截面上的弯矩M。
A M 50 B M
问题分析 边缘点
σ max M 单向应力 = Wz
Δl = ε max l AB
σ t max ≤ [σ t ] σ c max ≤ [σ c ]
材料力学ppt_闫晓鹏第5章_弯曲应力
§5-3 梁的强度条件
梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力 强度条件。 对于等截面梁 ⒈ 正应力强度条件：
max
M max W
⒉ 切应力强度条件：
max
* Fs max S z max I zb
简单截面的最大切应力可用简化公式计算，即
max
A yz
E
必有 Iyz=0 ，z 轴为形心主惯性轴。
由：M z
A
y dA M
A
z
A
y dA
E
y dA
2
E
Iz M
y
C
x dA
M EI z 1
于是得：
z y
其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度。
My E Iz
y
My Iz
例4 图示梁的的荷载及截面尺寸如图所示，材料的许 用拉应力[t]=40MPa、许用压应力[c] =100MPa，许 用切应力[] =20MPa 。试校核该梁的强度。
A B 2m C 3m 1m D 157. 5 200 C 30
q 10kN / m
F 20kN
200
解：求支座反力； z
MD 5.5 103 3 6 y2 71 . 8 10 10 68.9 MPa 6 12 Iz 5.73 10 10
MB 4 103 3 6 tB y2 71 . 8 10 10 50.1MPa 6 12 Iz 5.73 10 10
max
Fs S z I z b0
*
式中b0为工字型腹板的厚度。
Fs S z* 在腹板上距中性轴为y处的切应力： I z b0
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梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力 －－横力弯曲
§5-2 纯弯曲时的正应力
纯弯曲的内力 剪力Fs=0
1、变形几何关系 2、物理关系
3、静力学关系
横截面上没有切应力 只有正应力。
弯曲正应力的 分布规律和计算公式
1、变形几何关系 （一）实验观察现象：
施加一对正弯矩，观察变形
观察到纵向线与横向线有何变化？
弯曲正应力计算公式 弯曲正应力分布规律
My
IZ
5、横截面上最大弯曲正应力
max
Mymax Iz
M
I z / ymax
Wz
Iz ymax
——截面的抗弯截面系数；。
反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响
最大弯曲正应力计算公式
max
M WZ
适用条件 截面关于中性轴对称。
6、常见图形的惯性矩及抗弯截面系数：
（6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。
例1 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。
求最大拉应力、最大压应力。
9KN 4KN
A
C
B
1m 1m
1m
Iz 7.64 106 m4
52 zc
88
分析： 非对称截面， 要寻找中性轴位置； 作弯矩图，寻找最大弯矩的截面 计算最大拉应力、最大压应力
截面上哪一点的正应力， 并确定该点到中性轴的距离，以及该点处应力的符号
（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布；
（4）中性轴上正应力为零， 而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
注意
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; 正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来 确定。
观察纵向纤维之间有无相互作用力
2、假设： 纵向纤维之间没有相互挤压， 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
观察纵向纤维的变化
在正弯矩的作用下， 偏上的纤维 缩短，
偏下的纤维 伸长。
凹入一侧纤维 缩短；
凸出一侧纤维伸长。
中性层
ΔL<0
ΔL>0
ΔL=0 既不伸长也不缩短
中性层 －－纤维长度不变
z hb
d z
D dz
Iz
1 bh3, 12
Wz
1 bh2 6
Iz
64
d4,
Wz
d3
32
Iz
(D4
64
d4)
64
D4 (1 4 )
Wz
32
D3 (1 4 )
§5-3
一、横力弯曲
横力弯曲时的正应力
F
Fs
F
x
M x
FL
横截面上内力
剪力+弯矩
横截面上的应力 既有正应力， 又有切应力
横力弯曲时的横截面
中性轴
中性轴上各点 σ=0 各横截面绕 中性轴发生偏转。 中性轴的位置 过截面形心
你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？
（三）理论分析：
y
z
两直线间的距离
y的物理意义
纵向纤维到中性层的距离； 点到中性轴的距离。
公式推导
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。 从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
max
Mymax Iz
推导弯曲正应力计算公式的方法总结
（1）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数） 横力弯曲
（2）“实验—观察—假设” ：梁弯曲假设
（3）外力
内力
应力法
（4）三关系法
变形几何关系 物理关系 静力学关系
（5）数学方法
积分
应力合成内力
注意
（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力， 从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；
2、物理关系
当σ<σP时
虎克定律
弯曲正应力的分布规律
E E y
a、与点到中性轴的距离成正比；
沿截面高度 线性分布；
y
z
b、沿截面宽度 均匀分布；
c、正弯矩作用下， 上压下拉；
d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
弯曲正应力的分布规律
可 别 忘 记 啦 沿高度 沿宽度
3、静力学关系
dA FN 0
A
CB
4KN C截面应力计算 C截面应力分布
FA 1m 1m
F1Bm
2.5KNm
M
应用公式
My
Iz
4KNm
t,max
2.5103 88103 7.64 106
28.8MPa
（3）结论
52 zc
88
c,max 46.1MPa t,max 28.8MPa
例2：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示
横截面 不再保持为平面 且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
二 横力弯曲正应力
纯弯曲正应力公式 My
IZ
弹性力学精确分析表明：
对于跨度 L 与横截面高度 h 之比 L / h > > 5的细长梁，
用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力， 误差<<2%
满足工程中所需要的精度。
横力弯曲最大正应力
变化的是： 1、纵向线的长度 2、两横截面的夹角 3、横截面的宽度
纵向线 横向线
由直线
曲线 各纵向线的长度还相等吗？
由直线
直线 各横向线之间依然平行吗？
相对旋转一个角度后， 仍然与纵向弧线垂直。
（二）提出假设：
1、平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面； 横截面绕某一轴线发生了偏转。
瑞士科学家Jacob.贝努力 于1695年提出梁弯曲的平面假设
回顾与比较
内力
应力公式及分布规律
均匀分布 F
A
线形分布 T
IP
M
?
FA
FS
?
y
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 强度条件 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高梁强度的措施
一、纯弯曲
§5-1 纯弯曲
Fs
F
F
M
Fa
Fa
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力 －－纯弯曲
A
CB
FA
1m
1m
1m
2.5KNm FB
M
（1）求支反力，作弯矩图 FA=2.5KN （2）计算应力： B截面应力分布
4KNm 52 zc
88
应用公式 My
Iz
t,max
4103 52103 7.64 106
27.2MPa
c,max
4103 88103 7.64 106
46.1MPa
9KN
A
E y
Sz 0 中性轴过截面形心
M y z dA 0
A
M z y dA M
A
1 M
EIZ
坐标轴是主轴
中性层的曲率计算公式 EIz 抗弯刚度
4、弯曲正应力计算公式
变形几何关系
y
物理关系 E
静力学关系
1 M
EIZ
E y
正应力公式
My
IZ
1826年纳维在《材料力学》讲义中给出正确计算公式
q=60KN/m
120
A
B
1m C
3m
180
30 K
z
1、C 截面上K点正应力
y
2、C 截面上最大正应力
3、全梁上最大正应力
4、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
180
1、截面几何性质计算
120