信号分析与处理 第二版 (赵光宙 著)_khdaw

T →∞
∫
T
−T
2 x3 (t )dt
w .c
=1
da
（4） x4 (t ) = e sin 2t
−t
w = lim ∫ e− t sin 2 2tdt
t →∞ −T T T →∞ −T T
T
kh
hd
课 后
T ⎛ e −2T e 2T ⎞ = lim ⎜ + − lim ∫ e −2t cos 4tdt ⎟ T →∞ 4 ⎠ T →∞ −T ⎝ −4
.k
⎛ e −2T e2T ⎞ 1⎡ 1 ⎤ lim ⎢ − e −2t cos 4t + e −2t sin 4t ⎥ ∴ w = lim ⎜ + ⎟−T →∞ T →∞ 4 ⎠ 5⎣ 2 ⎦ −T ⎝ −4
⎞ 1 1 ⎡ 1 ⎤ lim ⎢ − e −2T cos 4T + e −2T sin 4T + e 2T cos 4T + e 2T sin 4T ⎥ ⎟− T →∞ 2 ⎣ 2 ⎦ ⎠ 5
aw
T
网
= lHale Waihona Puke Baidum ∫
T →∞
T e−2t dt − lim ∫ e−2t cos 4tdt −T 2 t →∞ −T
.c
= lim ∫ e− t
1 − 2 cos 4t dt 2
om
∴ x3 (t )为功率信号
om
sin 4T sin(2 + 2π )T sin(2 − 2π )T sin 4π T ⎤ + − − 8T (2 + 2π )2T (2 − 2π )2T 8T ⎥ ⎦
= lim ∫ (sin 2 2t + 2sin 2t sin 2π t + sin 2 2π t )dt
T →∞ −T
T
w
.k w
= lim [ 2T −
T →∞
T ⎡1 − cos 4t α = 2t cos(α + β ) − cos(α − β ) 1 − cos 4π t ⎤ dt = lim ∫ ⎢ + + ⎥ T →∞ −T β = 2π t 2 2 2 ⎣ ⎦ T ⎡ cos 4t cos(α + β ) − cos(α − β ) cos 4π t ⎤ dt = lim ∫ ⎢1 − + − T →∞ −T 2 2 2 ⎥ ⎣ ⎦
om
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=
⎡ 1 ⎤ A2 1 lim ⎢ sin(2ω 0T + 2θ ) − sin(−2ω 0T + 2θ ) + 2T ⎥ 2 T →∞ ⎣ 2ω 0 2ω 0 ⎦
=∞
P = lim 1 T →∞ 2T
2
∫
T
−T
2 x2 (t )dt
kh
=
=
（3） x3 (t ) = sin 2t + sin 2π t
2
kh
（6）
3． 连续时间信号 x1 (t ) 和 x 2 (t ) 如图示，试画出下列信号的波形。 （1） 2 x1 (t )
w
.k
（2） 0.5 x1 (t )
hd
（3） x1 (t − 2) （6） x1 ( −t − 1) （9） x1 (t ) ⋅ x 2 (t ) （4） x1 ( 2t ) （7） x 2 (2 − t / 3) 题3图
.c
om
⎡ sin 4t sin(2 + 2π )t sin(2 − 2π )t sin 4π t ⎤ = lim ⎢t − + − − T →∞ 8 (2 + 2π )2 (2 − 2π )2 8π ⎥ ⎣ ⎦ −T
网
A2 2
.c
sin(2ω 0T + 2θ ) − sin(−2ω 0T + 2θ ) A2 + lim 2 T →∞ 4ω 0T
w
为了使 e
jΩn
分析： （1） 离散时间复指数信号的周期性：
.k
m =0
∑ [δ (n − 3m) − δ (n − 1 − 3m)]
∞
w
ΩN 必须为 2π 的整数倍，即必须有一个整数 m,满足 ΩN = 2πm
w
所以
（2） 连续时间信号的周期性： （略）
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4. 对下列每一个信号求能量 E 和功率 P：
om
(1) x1 (t ) = e
−2 t
u (t )
n
(2) x 2 (t ) = e (5) x 2 [n] = e
j ( 2 t +π / 4 )
(3) x3 (t ) = cos t (6) x3 [n] = cos(
kh
=∞
da
= lim [ 2T −
sin 4T sin(2 + 2π )T sin(2 − 2π )T sin 4π T ⎤ + − − 4 2 + 2π 2 − 2π 4 ⎥ ⎦
w
sin(2 − 2π )T sin(2 − 2π )T sin 4π T sin 4π T ⎤ − − − 4 − 4π 4 − 4π 8 8 ⎥ ⎦
w
w=∞
（2） x2 (t ) = A cos(ω 0t + θ )
.k
P= A2 2
T T →∞ −T
P = lim
1 T →∞ 2T
∫
T
0
A2 e −2t dt = −
hd
T
课 后
w = lim ∫
T
⎡1 ⎤ A e dt = lim A ⎢ e −2t ⎥ T →∞ ⎣ −2 ⎦0
2 −2 t
(6) P∞ = 1 / 2, E ∞ = ∞
w
.k w
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hd
kh da w .c om
w
课 后
aw
答
案
网
.c
om
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习
题
1． 应用冲激信号的抽样特性，求下列各表达式的函数值。
（4）
∫
∞
hd
w = lim ∫ (sin 2t + sin 2π t ) 2 dt
T →∞ −T
课 后
T
答
案
∴ x2 (t )为功率信号
aw
T
sin 4T sin(−4T ) sin(2 + 2π )T sin(2 + 2π )T + + + 8 8 4 + 4π 4 + 4π
w
−
T →∞
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−t
t≥0
（2） x 2 (t ) = A cos(ω 0 t + θ )
解： （1） x1 (t ) = Ae
−t
t≥0
2
T →∞ 0
2 A2 A2 ⎛ 1 ⎞ A −2T lim ( e − 1) = − lim ⎜ = − 1⎟ = 2 T →∞ ⎝ e 2T −2 T →∞ ⎠ 2
∴ x1 (t )为能量信号
1
（5） x1 ( 2t + 1) 和 x1 ( 2t − 1) （8） − x 2 ( −2t + 1 / 2)
课 后
答
（4） f 4 (t ) = sin ω (t − t 0 ) u (t )
案
（3） f 3 (t ) = sin ω (t − t 0 ) u (t − t 0 )
aw
kh da w .c om
A2 1 ⎞ ⎛ 1 lim ⎜ − ⎟=0 2T T →∞ 2 2T ⎠ ⎝ 2Te
aw
T
答
案
网
（3） x3 (t ) = sin 2t + sin 2πt
（4） x 4 (t ) = e sin 2t
w
w
T →∞
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kh
da
⎡ 1 ⎤ A2 = lim ⎢ sin(2ω 0t + 2θ ) + t ⎥ 2 T →∞ ⎣ 2ω 0 ⎦ −T
（2） f 2 (t ) = sin ωt u (t − t 0 )
w
w
′ ( t ) 和 x2 ′ (t ) 的波形并写出相应的表达式。 （10）分别画出 x1
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答
T ⎡ e −2t ⎤ e−2t cos 4tdt = lim ⎢ − lim ⎥ T →∞ −4 T →∞ ∫−T ⎣ ⎦ −T
案
T
∵∫ e
−T
T
−2 t
1⎡ 1 ⎤ cos 4tdt = ⎢ − e −2t cos 4t + e −2t sin 4t ⎥ 5⎣ 2 ⎦ −T
T
w
⎛ e −2T e 2T = lim ⎜ + T →∞ 4 ⎝ −4
2． 判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。 (2) x( n) = cos(8πn / 7 + 2) (1) x(t ) = 2 cos(3t + π / 4) (3) x(t ) = e (5) x( n) =
j (πt −1)
hd
课 后
(7) x( n) = cos(n / 4) × cos(nπ / 4) (8) x( n) = 2 cos(nπ / 4) + sin( nπ / 8) − 2 sin( nπ / 2 + π / 6)
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习题一 (P7)
w .c
om
1． 指出题图 1－1 所示各信号是连续时间信号？还是离散时间信号。
kh
题图 1－1
解： x1 (t ), x3 (t ), x4 (t ), x5 (t ) 是连续时间信号
x2 (t ), x6 (t ) 是离散时间信号。
om
da
1 ⎡ 1 ⎤ sin(2ω 0T + 2θ ) − sin(−2ω 0T + 2θ ) ⎥ ⎢ ω ω 2 2 A 0 = + 1⎥ lim ⎢ 0 T →∞ 2 2T ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
w .c
om
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1 P = lim T →∞ 2T = lim [1 −
(4) x1 [n] = ( ) u[n] 解：
1 2
j (π / 2 n +π / 8 )
π
4
n)
w .c
(1) P∞ = 0, E ∞ = 1 / 4
(2) P∞ = 1, E ∞ = ∞ (5) P∞ = 1, E ∞ = ∞
(3) P∞ = 1 / 2, E ∞ = ∞
kh
da
(4) P∞ = 0, E ∞ = 4 / 3
w
= 0+∞
.c
⎡ 1 cos 4T sin 4T ⎤ ⎡ 1 cos 4T sin 4T ⎤ = lim e−2T ⎢ − + − + lim e2T ⎢ − − ⎥ T →∞ T →∞ 10 5 ⎦ 10 5 ⎥ ⎣ 4 ⎣4 ⎦
om
⎛ e −2T e 2T 1 −2T ⎞ 1 1 1 = lim ⎜ + + e cos 4T − e −2T sin 4T − e 2T cos 4T − e 2T sin 4T ⎟ T →∞ 4 10 5 10 5 ⎝ −4 ⎠
答
案
网
(6) x(t ) = cos 2πt × u (t )
jΩ ( n + N )
.c
= e jΩn ，因此有 e jΩn = 1 。
om
da
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答案： （1） 是周期信号， T =
（8） 是周期信号， T = 16
kh
3．试判断下列信号是能量信号还是功率信号。 （1） x1 (t ) = Ae
w
w
∴ x4 (t )既非功率信号，也非能量信号。
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kh
= 0+∞
da
P = lim
e −2T T →∞ 2T
e 2T ⎡ 1 cos 4T sin 4T ⎤ lim − + − + ⎢ 10 5 ⎥ ⎣ 4 ⎦ T →∞ 2T
⎡ 1 cos 4T sin 4T ⎤ − − ⎢ 10 5 ⎥ ⎣4 ⎦
w
= A2 lim ∫
cos(2ω 0t + 2θ ) + 1 dt −T 2
T
.c
w = lim ∫ A2 cos(ω 0 + θ )dt
om
.c
−t
om
da
（4） （5） （6） （7）
w .c
不是周期信号 不是周期信号 不是周期信号 不是周期信号
2π 3 7m （2） 是周期信号， T = =7 4 （3） 是周期信号， T = 2
kh
Ω m = 2π N Ω jΩn 因此，若 为一有理数， e 为周期性的，否则，不为周期性的。 2π 2π Ω 2π jΩn 所以，周期信号 e 基波频率为： = ，基波周期为： N = m 。 N m Ω
da
w
.c
om
为周期性的，周期 N > 0 ，就必须有 e
aw
(4) x(n) = e
j ( n / 8 −π )