修改稿：圆中的比例线段

例1 (交弦定理)圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

如图，⊙O中两弦AB，CD相交于P点．求证：PA·PB=PC·PD．

推论弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两线段的比例中项．

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P．求证：PC2=PA·PB．

例2(切割线定理)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是点到割线与圆的两个交点的两条线段的比例中项．

如图，PC切⊙O于C，割线交⊙O于A，B．求证：PC2=PA·PB．

推论从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

如图，PAB，PCD是⊙O的两条割线．求证：PA·PB=PC·PD．

例3 如图，⊙O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EF=FG．

例4 在图中，已知CA，CB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OC交直线AB于D，OF垂直直线CF于F，交直线AB于E．求证：OD·OC=OE·OF=OA2．

例5 如图，△ABC内接于圆O，∠BAC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于F，连结BD，CD．求证：(1)BD平分∠CBE； (2)AB·BF=AF·DC．

练习1． AD是⊙O的切线，D是切点，ABC是割线，DE⊥AO于E．(1)求证：AD2=AE·AO；(2)求证：∠AEB=∠C．

2．在⊙O中，弦AB⊥QO于D，AQ交圆O于C，连结BC交QO于P，求证：OA2=OP·OQ．

3．如图．四边形ABNM内接于圆O，BA和NM的延长线相交于P点，求证：AM·BM·PN=AN·BN·PM．

4．如图．AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆直径，求证：AB·AC=AE·AD．

5．如图．设AB为半圆直径，弦AC和BD交于E，求证：AB2=AE·AC+BE·BD．(提示：作EF⊥AB于F．)