级数审敛法小结

级数审敛法小结

不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容,希望大家能抽空看一下,谢谢.

首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数(其中,包含特殊的交错级数).对于不同的级数,他们有不同的审敛法.

第一节:正项级数

(当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同,只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了)

(注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦，若Un的极限不为0，级数发散。)

A.定义法(注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出.):

首先,了解一个充要条件:∑∞

Un收敛⇔部分和数列{Sn}有界，针对

n

=1

这个东西，用的地方不多后面会有介绍。

B.比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针对

正项级数而言，不能滥用）。对于比较审敛法，也许不要按书上的用起来会更方便一点。简单一句话：我们的目的就是要

找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可。（当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性） 例1：设k ，m 为正整数，.0,000

>>b a

（这里主要是保证以下的

多项式恒为正）是推导出级数

∑

∞

=--++++++1

1

10110......n k

k k

m m m b n

b n b a n a n a 收敛的充要条件。

解：设k

k k

m m m

n

b n

b n b a n

a n a u (1)

101

10+++++=

--。取m

k n

n

v -=

1，因为0

0lim

b a v u n

n n =

∞

→，所以

∑∑∞

=∞

=1

1

,n n

n n

v u 具有相同的敛散性，由Vn 收敛的充要条件是k-m>1，

所以所求级数的收敛的充要条件是k-m>1.

（这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un 是有理分式的，我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数

∑

∞

=---+1

3

2

3

5

5

23)

()12()1(n n n n n n 是收敛的，这因为分子的最高次幂是13，分母

的是15,15-13=2>1

,故收敛。（至于解题时，我们可以模仿本

题构造Vn 去做）2，这个例题的解法具有一般性。设0→n

u ，我

们只需要找到Un 的一个同阶无穷小或是等价无穷小Vn ，如果Vn 的敛散性我们已经掌握，问题解决。

大家可以试着用等价无穷小的方法接一下以下几题：

（1）);1tan(

)3(,,)cos 1(),2(,,sin )1(13

2

2

2112-+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫

⎝⎛∑∑∑∞

=∞=∞

=n N n n

a n n a n a n

（通过上面的一点，大家感悟一下，有没有什么收获，这只是如何一眼看出敛散性的其中一个，接下来会继续介绍，但希望大家先消化一下刚刚说的内容。）

C. 比值审敛法：比值审敛法的内容与书中所说并无差异。关键是我们要能够灵活运用，这需要我们能多做一些习题。 先看一下几个例子：判断下列级数的敛散性

∑

∑

∑

∞

=∞

=∞

=1

1

1

!)3(!

)2()1(n n

n n n n

k n

n n a

a

n

解答是利用比值审敛法即可，（由于这个公式好多有点难打就不打了啊，请原谅）大家应该都懂得就是n

n n u u 1lim

+∞

→判断其和1的关系。以上结

果为全部收敛。（小结：1，在级数一般项Un 中，若含有!.,,n a n n n n k 的因子时，适用于比值审敛法,2，我们可以得到如下常用函数的级别大小（a>1，k>1,）n

n

k

n

n a

n

n n <<<<<<<<<<

!ln ，记住这个顺序，有

助于我们对某些级数敛散性的初步判别，也就是在我们计算之前，就可以估计出敛散性。）(结合上面讲过的那个，我们基本上就能初步判定一些级数的敛散性了)

D. 根值审敛法。这里由于和书上无太多差别，就不多做介绍了。 根值判别法，主要适用于一般项中含有n 次方的时候。他与比值判别法属于同一类型的审敛法，当用根植判别法不行时，不要再去用比值判别法做了，效果一样。

对于根值判别法有一点需注意：当遇到一般项含n 次方时里应用

根植判别法，而n

n

n u ∞

→lim

不存在时，可以改用如下的方法：若n 从