6、自动控制原理-传递函数.
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12/30/2018 9:00:05 PM
5
1. 传递函数的定义与性质
定义:
线性定常系统的传递函数为零初始条件下,系统输
出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。
所谓零初始条件是指
1)输入量在t>0时才作用在系统上,即在
入及各项导数均为零;
t 0
时系统输
2)输入量在加于系统之前,系统为稳态,即在 t 0 时系统
例题2 求图示简单阻容电路的传递函数。 R 解:电路方程为
1 ui (t ) R i (t ) i (t ) dt C ui (t) 1 uo (t ) i (t ) dt C duo (t ) RC uo (t ) ui (t ) dt
i(t) C
耗能元件
X o (s) X i (s)G(s)
Xi(s) Xo(s)
输入信号经系统 ( 或环节 ) 传递 [ 乘以 G(s)],得到输出信号。
G(s)
称G(s)为传递函数
传递函数分母中的最高阶次,等于输出量最高阶导数的阶次。
如果 s 的最高阶次等于n,则称这种系统为 n 阶系统。
例题1
已知系统微分方程,求其传递函数。
传递函数
1
主要内容:
1. 传递函数的定义与性质 2.求法
12/30/2018 9:00:05 PM
2
复习拉氏变换
F ( s) f (t )e st dt
0
F ( s) L[ f (t )]
一个函数可以进行拉普拉斯变换的充分条件是:
1. t<0时,f(t)=0(因果系统);
4
复习拉氏变换
⑹终值定理: lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] F1 (s) F2 (s) ⑺卷积定理: 0
t
③常用函数的拉氏变换: 1 f ( t ) 1 ( t ), F ( s ) 单位阶跃函数: s F ( s) L[ (t )] 1 单位脉冲函数: 1 f ( t ) t , F ( s ) 单位斜坡函数: 1 2 s2 1 单位抛物线函数:f (t ) 2 t , F ( s) s 3 正弦函数: f (t ) sin t , F ( s) 2 s 2 其他函数可以查阅相关表格获得。
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) u r ( t ) 2 dt dt
解: 零初始条件下取拉氏变换:
LCs2U c ( s) RCsU c ( s) U c ( s) U r ( s) ( LCs2 RCs 1)Uc ( s) Ur ( s)
uo(t)
储能元件
阻容电路
经拉氏变换后
RCsUo (s) U o (s) Ui (s)
系统传递函数为
电路的 时间常数
百度文库
U o ( s) 1 1 G( s) U i ( s) RCs 1 Ts 1
T RC
例3
如图RLC电路, 试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s). i(t) R ur(t) L C uc(t)
m 1
得到系统(或环节)传递函数的一般形式
X o ( s) bm s bm1s b1s b0 G( s) X i ( s) an s n an 1s n 1 a1s a0
m
由此可知,只要知道系统微分方程,就可求出其传递函数。
即
Lxo (t ) X o (s) G ( s) Lxi (t ) X i (s)
传递函数:
U c ( s) 1 G( s ) U r ( s ) LCs 2 RCs 1
式中,n≥m。
当初始条件全为零,即:xi(t)和xo(t)及其各阶导数在 t=0
的值均为零时,对上式进行拉氏变换
a s a s b s b s
n n n 1
n1
a1s a0 X o (s)
m
m
m1
m1
b1s b0 X i (s)
2. t>=0时,f(t)分段连续; 3.
0
f (t )est dt
3
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复习拉氏变换
②性质:
L[f1 (t ) f 2 (t )] F1 (s) F2 (s) ⑴线性性质:
(t )] sF (s) f (0) ⑵微分定理: L[ f (0) L[ f(t )] s 2 F (s) sf (0) f (0) ... f ( n1) (0) L[ f ( n) (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f
输出及其所有导数项为零。
设线性定常系统(或环节)由下述n阶线性常微分方程描述
d n xo (t ) d n 1 xo (t ) dxo (t ) an an 1 a1 a0 xo (t ) n n 1 dt dt dt
d m xi (t ) d m1 xi (t ) dxi (t ) bm bm 1 b1 b0 xi (t ) m m 1 dt dt dt
解:在零初始条件下,对上式两边取拉普拉斯变换,得
ms2 X o (s) DsX o (s) kX o (s) Fi (s)
整理得到描述系统的传递函数
d 2 x0 (t ) dx0 (t ) m D kx0 (t ) f i (t ) 2 dt dt
X o ( s) 1 G( s) 2 Fi ( s) m s Ds k
⑶积分定理:(设初值为零) F (s) L[ f (t )dt ] s ⑷时滞定理:L[ f (t T )] 0 est f (t T )dt esT f (s)
f (t ) lim sF ( s ) ⑸初值定理:lim t 0 s
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1. 传递函数的定义与性质
定义:
线性定常系统的传递函数为零初始条件下,系统输
出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。
所谓零初始条件是指
1)输入量在t>0时才作用在系统上,即在
入及各项导数均为零;
t 0
时系统输
2)输入量在加于系统之前,系统为稳态,即在 t 0 时系统
例题2 求图示简单阻容电路的传递函数。 R 解:电路方程为
1 ui (t ) R i (t ) i (t ) dt C ui (t) 1 uo (t ) i (t ) dt C duo (t ) RC uo (t ) ui (t ) dt
i(t) C
耗能元件
X o (s) X i (s)G(s)
Xi(s) Xo(s)
输入信号经系统 ( 或环节 ) 传递 [ 乘以 G(s)],得到输出信号。
G(s)
称G(s)为传递函数
传递函数分母中的最高阶次,等于输出量最高阶导数的阶次。
如果 s 的最高阶次等于n,则称这种系统为 n 阶系统。
例题1
已知系统微分方程,求其传递函数。
传递函数
1
主要内容:
1. 传递函数的定义与性质 2.求法
12/30/2018 9:00:05 PM
2
复习拉氏变换
F ( s) f (t )e st dt
0
F ( s) L[ f (t )]
一个函数可以进行拉普拉斯变换的充分条件是:
1. t<0时,f(t)=0(因果系统);
4
复习拉氏变换
⑹终值定理: lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] F1 (s) F2 (s) ⑺卷积定理: 0
t
③常用函数的拉氏变换: 1 f ( t ) 1 ( t ), F ( s ) 单位阶跃函数: s F ( s) L[ (t )] 1 单位脉冲函数: 1 f ( t ) t , F ( s ) 单位斜坡函数: 1 2 s2 1 单位抛物线函数:f (t ) 2 t , F ( s) s 3 正弦函数: f (t ) sin t , F ( s) 2 s 2 其他函数可以查阅相关表格获得。
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) u r ( t ) 2 dt dt
解: 零初始条件下取拉氏变换:
LCs2U c ( s) RCsU c ( s) U c ( s) U r ( s) ( LCs2 RCs 1)Uc ( s) Ur ( s)
uo(t)
储能元件
阻容电路
经拉氏变换后
RCsUo (s) U o (s) Ui (s)
系统传递函数为
电路的 时间常数
百度文库
U o ( s) 1 1 G( s) U i ( s) RCs 1 Ts 1
T RC
例3
如图RLC电路, 试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s). i(t) R ur(t) L C uc(t)
m 1
得到系统(或环节)传递函数的一般形式
X o ( s) bm s bm1s b1s b0 G( s) X i ( s) an s n an 1s n 1 a1s a0
m
由此可知,只要知道系统微分方程,就可求出其传递函数。
即
Lxo (t ) X o (s) G ( s) Lxi (t ) X i (s)
传递函数:
U c ( s) 1 G( s ) U r ( s ) LCs 2 RCs 1
式中,n≥m。
当初始条件全为零,即:xi(t)和xo(t)及其各阶导数在 t=0
的值均为零时,对上式进行拉氏变换
a s a s b s b s
n n n 1
n1
a1s a0 X o (s)
m
m
m1
m1
b1s b0 X i (s)
2. t>=0时,f(t)分段连续; 3.
0
f (t )est dt
3
12/30/2018 9:00:05 PM
复习拉氏变换
②性质:
L[f1 (t ) f 2 (t )] F1 (s) F2 (s) ⑴线性性质:
(t )] sF (s) f (0) ⑵微分定理: L[ f (0) L[ f(t )] s 2 F (s) sf (0) f (0) ... f ( n1) (0) L[ f ( n) (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f
输出及其所有导数项为零。
设线性定常系统(或环节)由下述n阶线性常微分方程描述
d n xo (t ) d n 1 xo (t ) dxo (t ) an an 1 a1 a0 xo (t ) n n 1 dt dt dt
d m xi (t ) d m1 xi (t ) dxi (t ) bm bm 1 b1 b0 xi (t ) m m 1 dt dt dt
解:在零初始条件下,对上式两边取拉普拉斯变换,得
ms2 X o (s) DsX o (s) kX o (s) Fi (s)
整理得到描述系统的传递函数
d 2 x0 (t ) dx0 (t ) m D kx0 (t ) f i (t ) 2 dt dt
X o ( s) 1 G( s) 2 Fi ( s) m s Ds k
⑶积分定理:(设初值为零) F (s) L[ f (t )dt ] s ⑷时滞定理:L[ f (t T )] 0 est f (t T )dt esT f (s)
f (t ) lim sF ( s ) ⑸初值定理:lim t 0 s
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