重庆中考二次函数专项训练(含答案)

1、（12分）如图, 已知抛物线c bx x y ++=22
1与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；
（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.
解：（1）∵二次函数c bx x y ++=22
1的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴⎩
⎨⎧-==++1022c c b 解得： b =－
2
1 c =－1-------------------2分 ∴二次函数的解析式为121212--=x x y --------3分 （2）设点D 的坐标为（m ，0） （0＜m ＜2）
∴ OD =m ∴AD =2-m
由△AD E ∽△AOC 得，
OC DE AO AD = --------------4分 ∴1
22DE m =- ∴DE =2
2m ------------------------------------5分 ∴△CDE 的面积=21×2
2m -×m =242m m +-=4
1)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大
∴点D 的坐标为（1，0）--------------------------8分
（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212--=
x x y 设y=0则12
12102--=x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）
备用图
题图26
设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b
∴ ⎩
⎨⎧-==+-10b b k 解得：k =-1 b =-1 ∴直线BC 的解析式为: y =－x －1
在Rt △AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1
由勾股定理得：AC=5
∵点B(－1,0) 点C （0，－1）
∴OB=OC ∠BCO=450
①当以点C 为顶点且PC=AC=5时，
设P(k , －k －1)
过点P 作PH ⊥y 轴于H
∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中
k 2+k 2=()2
5 解得k 1=210， k 2=－2
10 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，12
10-）---10分 ②以A 为顶点，即AC=AP=5
设P(k , －k －1)
过点P 作PG ⊥x 轴于G
AG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣
在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2
（2－k )2+(－k －1)2=5
解得：k 1=1,k 2=0(舍)
∴P 3(1, －2) ----------------------------------11分
③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1)
过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q
PL ⊥x 轴于点L
∴L(k ,0)
∴△QPC 为等腰直角三角形
PQ=CQ=k
由勾股定理知
CP=PA=2k
∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜
在Rt △PLA 中 (2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2
解得：k =
25∴P 4(25,－2
7) ------------------------12分
2、（本题满分12分）已知抛物线2y x bx c =++交x 轴于A (1,0)、B (3,0)两点，交y 轴于点C ，其顶点为D ．
（1）求b 、c 的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接BC ，过点O 作直线OE ⊥BC 交抛物线的对称轴于点E ．
求证：四边形ODBE 是等腰梯形；
（3）抛物线上是否存在点Q ，使得△OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的31？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2、（1）求出：4-=b ，3=c ，抛物线的对称轴为：x=2
(2) 抛物线的解析式为342+-=x x y ，易得C 点坐标为（0，3），D 点坐标为（2，-1）
设抛物线的对称轴DE 交x 轴于点F ，易得F 点坐标为（2，0），连接OD ，DB ，BE
∵∆OBC 是等腰直角三角形，∆DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（2，2），
∴∠BOE= ∠OBD= 45 ∴OE ∥BD
∴四边形ODBE 是梯形 ………………5分
在ODF Rt ∆和EBF Rt ∆中，
OD=5122222=+=+DF OF ，BE=5122222=+=+FB EF
∴OD= BE
∴四边形ODBE 是等腰梯形 ………………7分
(3) 存在， ………………8分
由题意得：29332121=⨯⨯=⋅=
DE OB S ODBE 四边形 ………………9分 设点Q 坐标为（x ，y ），
由题意得：y y OB S OBQ 2321=⋅=
三角形=23293131=⨯=ODBE S 四边形 ∴1±=y
当y=1时，即1342=+-x x ，∴ 221+=x ， 222-=x ，
∴Q 点坐标为（2+2，1）或(2-2，1) ………………11分
当y=-1时，即1342
-=+-x x ， ∴x=2，
∴Q 点坐标为（2，-1）
综上所述，抛物线上存在三点Q 1（2+2，1），Q 2 (2-2，1) ，Q 3（2，-1）
使得OBQ S 三角形=
ODBE S 四边形31． ………………12分
3、（11分）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分
别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点
停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，
当t 为何值
时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．
解：（1）抛物线2(1)33(0)y a x a =-+≠经过点(20)A -，， 309333
a a ∴=+∴=- ························· 1分 ∴二次函数的解析式为：232383333y x x =-
++ ·············· 3分 （2）D 为抛物线的顶点(133)D ∴，
过D 作DN OB ⊥于N ，则33DN =， 2233(33)660AN AD DAO =∴=+=∴∠=，° ·············· 4分
OM AD ∥
E
F Q 1 Q 3
Q 2 M C D P
①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形
66(s)OP t ∴=∴= ············· 5分
②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形
过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =
（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =）
55(s)OP DH t ∴=== ·························· 6分 ③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形
26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=
综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分
（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形
则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，
过P 作PE OQ ⊥于E
，则2
PE = ···················· 8分
116(62)222
BCPQ S t ∴=⨯⨯⨯-⨯
=2322t ⎫-+⎪⎝⎭··························· 9分 当32t =时，BCPQ S
·················· 10分 ∴
此时33393324
444OQ OP OE QE PE ==∴=-==，=，
PQ ∴=== ·············· 11分
4．（本小题满分13分）
如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，
，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．
解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为2
2y ax bx =+-． 将(40)A ，，(10)B ，代入，
得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252
a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴此抛物线的解析式为215222
y x x =-+-． ··············· （3分） （2）存在． ······························ （4分） 如图，设P 点的横坐标为m ，
则P 点的纵坐标为215222m m -+-， 当14m <<时， 4AM m =-，215222
PM m m =-+-． 又90COA PMA ∠=∠=°，
∴①当
21AM AO PM OC ==时， APM ACO △∽△， 即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭
． 解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ················ （6分） ②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222
m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）
∴当14m <<时，(21)P ，． ······················ （7分）
类似地可求出当4m >时，(52)P -，． ·················· （8分）
当1m <时，(314)P --，．
综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． ········ （9分）
（3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为2
15
22
2
t t -+-． 过D 作y 轴的平行线交AC 于E ． 由题意可求得直线AC 的解析式为1
22
y x =
-． ············· （10分） E ∴点的坐标为122t t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，．
2215112222222DE t t t t t ⎛⎫
∴=-+---=-+ ⎪⎝⎭． ············ （11分）
22211244(2)422DAC S t t t t t ⎛⎫
∴=⨯-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△．
∴当2t =时，DAC △面积最大．
(21)D ∴，．
5.如图，二次函数的图象经过点D(0，39
7)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2
+k
∵顶点C 的横坐标为4，且过点(0，39
7)
∴y=a(x-4)2
+k k a +=1639
7 ………………①
又∵对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………………② 由①②解得a=9
3，k=3－
∴二次函数的解析式为：y=9
3(x-4)2
－3
⑵∵点A 、B 关于直线x=4对称 ∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD ≥DB
∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x 轴交于点M
∵PM ∥OD ，∴∠BPM=∠BDO ，又∠PBM=∠DBO ∴△BPM ∽△BDO
∴BO BM DO PM = ∴3
373
397
=⨯=PM ∴点P 的坐标为(4，33)
⑶由⑴知点C(4，3-)，
又∵AM=3，∴在Rt △AMC 中，cot ∠ACM=33，
∴∠ACM=60o
，∵AC=BC ，∴∠ACB=120o
①当点Q 在x 轴上方时，过Q 作QN ⊥x 轴于N 如果AB=BQ ，由△ABC ∽△ABQ 有 BQ=6，∠ABQ=120o
，则∠QBN=60o
∴QN=33，BN=3，ON=10， 此时点Q(10，33)，
如果AB=AQ ，由对称性知Q(-2，33) ②当点Q 在x 轴下方时，△QAB 就是△ACB ， 此时点Q 的坐标是(4，3-)，
经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q ，使△QAB ∽△ABC
点Q 的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，3-)．
6、(12分) 如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点
为D ．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；
（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的
点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2
，
由抛物线与y 轴交于点C （0，－3）,可知3-=c .
即抛物线的解析式为32
-+=bx ax y ． ………………………1分
把A （－1，0）、B （3，0）代入, 得30,
9330.
a b a b --=⎧⎨+-=⎩
解得2,1-==b a .
∴ 抛物线的解析式为y = x 2
－2x －3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对2,1-==b a ，不写“抛物线的解析式为y = x 2－2x －3”不扣分. （2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下：
过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F.
在Rt △BOC 中，OB=3，OC=3，∴ 182
=BC . …………………………6分 在Rt △CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ 22
=CD . …………………………7分
在Rt △BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ 202
=BD . …………………………8分 ∴ 2
2
2
BD CD BC =+， 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分 （3）连接AC ，可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）． ………10分
过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ，
求得符合条件的点为)3
1
,0(1P ． …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为P 2（9，0）． …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个：O （0，0），)3
1,0(1P ，P 2（9，0）.
7、如图，抛物线2
1y ax bx =++与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；
(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；
(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）解：（1）把A (1,0)- B (1,0)代入2
1y ax bx =++得：
1010
a b a b -+=⎧⎨
++=⎩ 解得：1
0a b =-⎧⎨=⎩ 21y x ∴=-+………………………………………………………………………3分
（2）令0x =，得1y = ∴()0,1C ……………………………………………4分
∵OA=OB=OC=1 ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠ABC =45 ∵BD ∥CA ， ∴∠AB D=∠BA C 45=︒
过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则∆BDE 为等腰直角三角形 令OE k = ()0k >，则1DE k =+ ∴(),1D k k --- ∵点D 在抛物线2
1y x ∴=-+上 ∴ ()2
11k k --=--+
解得12k =，21k =-（不合题意，舍去） ()2,3D -- ∴DE=3
(说明：先求出直线BD 的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D 的坐标也可)
∴四边形ACBD 的面积S =
12AB •OC +1
2AB •DE 11
2123422
=⨯⨯+⨯⨯=………………………………7分 （说明：也可直接求直角梯形ACBD 的面积为4）
(3)存在这样的点M ……………………………………………………………………8分
∵∠ABC=∠ABD=45 ∴∠DBC=90 ∵MN ⊥x 轴于点N ， ∴∠ANM=∠DBC =90 在Rt △BOC 中，OB=OC=1 有2 在Rt △DBE 中，BE=DE=3 有BD=32
设M 点的横坐标为m ，则M ()
2,1m m -+ ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MN ∽∆CDB 时，有
AN MN
BC BD
=
∵2
1,1AN m MN m =--=-
即 2232=
解得：1m =-（舍去） 22m =- 则()2,3M --
(ⅱ) 当∆AMN ∽∆DCB 时，有
AN MN
BD BC
=
2322
=
解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）…………10分
② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆AMN ∽∆DCB 时，有
AN MN
BD BC
= ∵2
1,1AN m MN m =+=-
∴ 2322
=
解得11m =-（舍去） 243
m =
∴47,39M ⎛⎫-
⎪⎝
⎭ (ⅱ) 当∆A MN ∽∆CDB 时，有
AN MN
BC BD
=
即 211232
m m +-=
解得：11m =-（舍去） 24m = ∴()4,15M -
∴M 点的坐标为()()472,3,,,4,1539⎛⎫
---- ⎪⎝⎭
…………………………12分
8、在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。

平移二 次函数2
tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x
轴相交于B ，C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B 。

（1）是否存在这样的抛物线F ，
OC OB OA ⋅=2
请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO=2
3
，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ⋅=2
来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论
t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

（1）∵ 平移2
tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q , ∴ 抛物线F 对应的解析式为:b t x t y +--=2
)(. ∵ 抛物线与x 轴有两个交点，∴0>b t .
令0=y , 得-
=t OB t b
，+=t OC t
b , ∴ -
=⋅t OC OB (|||||t
b
)( +t t b )|-=2
|t 22|OA t t
b == , 即22t t t
b
±=-
, 所以当32t b =时, 存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=.-- 2分
(2) ∵BC AQ //, ∴ b t =, 得F : t t x t y +--=2
)(,
解得1,121+=-=t x t x . 在∆Rt AOB 中,
1) 当0>t 时,由 ||||OC OB <, 得)0,1(-t B , 当01>-t 时, 由=
∠ABO tan 23=|||
|OB OA =1
-t t , 解得3=t , 此时, 二次函数解析式为241832
-+-=x x y ; 当01<-t 时, 由=
∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t , 解得=t 5
3
, 此时，二次函数解析式为-
=y 532x +
2518x +125
48
. 2) 当0<t 时, 由 ||||OC OB <, 将t -代t , 可得=t 5
3
-, 3-=t , （也可由x -代x ，y -代y 得到） 所以二次函数解析式为 =y 532x +
2518
x –125
48或241832++=x x y .
9、如图,抛物线2
4y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.
（1）求点A 的坐标;
（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点
P 的坐标; （3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围.
【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种
情况。

（1）∵4)2(42
2
-+=+=x x x y ∴A(-2,-4)
（2）四边形ABP 1O 为菱形时，P 1(-2,4)
四边形ABOP 2为等腰梯形时，P 1(
5452-，) 四边形ABP 3O 为直角梯形时，P 1(58
54，-)
四边形ABOP 4为直角梯形时，P 1(5
12
56-，)
（3）
由已知条件可求得AB 所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l 的函数关系式是y=-2x ①当点P 在第二象限时，x<0,
△POB 的面积x x S POB 4)2(421
-=-⨯⨯=
∆ ∵△AOB 的面积8442
1
=⨯⨯=∆AOB S ，
∴)0(84<+-=+=∆∆x x S S S POB AOB ∵286264+≤≤+S ，
∴⎪⎩⎪⎨⎧+≤+≥2
86264S S 即⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-+≥+-2
868426484x x ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-≤-≥224122
32S x
∴x 的取值范围是
2
2322241-≤≤-x ②当点P 在第四象限是，x>0,
过点A 、P 分别作x 轴的垂线，垂足为A ′、P ′ 则四边形POA ′A 的面积
44)2(2
1
)2(224+=⋅⋅-+⋅+=
-='∆'''x x x x x S S S O P P A A P 梯形P A A PO ∵△AA ′B 的面积4242
1
=⨯⨯=
'∆B A A S ∴)0(84>+=+='∆'x x S S S B A A A A PO ∵286264+≤≤+S ，
∴⎪⎩⎪⎨⎧+≤+≥286264S S 即⎪⎩⎪⎨⎧+≤++≥+2
868426484x x ∴⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧-≤-≥2
12422
23S x ∴x 的取值范围是2
1
242223-≤≤-x
10、如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2
x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动． （1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ,
①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短；
（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（2）构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q 落在直线OA 的下方时、当点Q 落在直线OA 的上方时讨论。

（1）设OA 所在直线的函数解析式为kx y =，
∵A （2，4），
∴42=k , 2=∴
k , ∴OA 所在直线的函数解析式为2y x =
（2）①∵顶点M 的横坐标为m ，且在线段OA 上移动， ∴2y m =（0≤m ≤2）.
∴顶点M 的坐标为(m ,2m ).
∴抛物线函数解析式为2
()2y x m m =-+. ∴当2=x 时，
2(2)2y m m =-+2
24
m m =-+（0≤m ≤2）. ∴点P 的坐标是（2，2
24m m -+）.
② ∵PB =2
24m m -+=2
(1)3
m -+， 又∵0≤m ≤2， ∴当1m =时，PB 最短
（3）当线段PB 最短时，此时抛物线的解析式为()212
+-=x y .
假设在抛物线上存在点Q ，使Q M A P M A
S S =. 设点Q 的坐标为（x ，2
23x x -+）.
①当点Q 落在直线OA 的下方时，过P 作直线P C //AO ，交y 轴于点C ，
∵3P B =，4A B =，
∴1
A P =，∴1O C =，∴C 点的坐标是（0，1-）. ∵点P 的坐标是（2，3），∴直线P C 的函数解析式为12-=x y .
∵Q M A P M A
S S =，∴点Q 落在直线12-=x y 上. ∴2
23x x -+=21x -.
解得122,2x x ==
，即点Q （2，3）. ∴点Q 与点P 重合.
∴此时抛物线上不存在点Q ，使△QMA 与△A P M 的面积相等.
②当点Q 落在直线OA 的上方时，
作点P 关于点A 的对称称点D ，过D 作直线DE //AO ，交y 轴于点E ，
∵1A P =，∴1E OD A ==，∴E 、D 的坐标分别是（0，1），（2，5）， ∴直线DE 函数解析式为12+=x y .
∵Q M A P M A
S S =，∴点Q 落在直线12+=x y 上. ∴2
23x x -+=21x +.
解得：12x =
22x =
代入12+=x y
，得15y =+
25y =-
∴此时抛物线上存在点(12Q ，()
225,222--Q 使△QMA 与△P M A 的面积相等.
综上所述，抛物线上存在点(12
Q ，()
225,222--Q 使△QMA 与△P M A 的面积相等.
11、如图1，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2
>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝
3
1
． （1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，
使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图2，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上
一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.。