人教版九年级数学上册 第22章二次函数复习导学案

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二次函数复习

一、二次函数的概念：

1、形如)0(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，、、的函数，叫做二次函数。其中____是自变量，_____，_____，______，分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。（二次函数须同时满足两个条件：①自变量最高次数为2；②二次项系数不为0）。 例题1、当m 为何值时，12)4(4

2

2-+-=--x x

m y m m 是关于x 的二次函数？

二、抛物线k h x a y +-=2)(与2

ax y =的关系（图像的平移）

1、二者的形状（开口大小）______，位置_______，k h x a y +-=2

)(是由2

ax y =通过平移得来的，平移后的顶点坐标为________。 2、抛物线

)0(2≠=a ax y 个单位

平移时向当个单位

平移时向当h h h h ____0____0<>2)(h x a y -=的图像

个单位

平移时向当个单位

平移时向当k k k k ____0____0<>k h x a y +-=2)(的图像。

例题1、抛物线3)2(5.02

-+=x y 可以由抛物线__________先向_____平移2个单位，再向下平移______个单位得到。

例题2、抛物线2

x y -=向左平移1个单位，然后再向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为_________________。

例题3、将二次函数223

12+-=x x y 化为

k h x a y +-=2)(的形式，并指出其开口方向、对称轴与顶点坐标。

三、抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 与a 、b 、c 、△的关系

例题1、在同一直角坐标系中，函数b ax y +=2

与)0(≠+=ab b ax y 的图象大致如图 （ ）

例题2、已知二次函数y ＝ax 2

+bx+c 的图象如下图。则下列5个代数式：ac ，abc ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b ，a-b+c ，ac b 42

-，4a+b 中，其值大于0的个数为（ ）

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

例题3、如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．

的是（ ） A ．h m = B ．k n = C ．k n > D ．00h k >>，

四、抛物线的增减性

要判断二次函数图像的增减性，须弄清两个问题：①a 的正负；②在对称轴的左侧还是右侧。

1、当a>0时,在对称轴直线a b x 2-

=左侧（或说a

b

x 2-<），y 随x 的增大而减小；在对称轴 右侧（a

b x 2-

>），y 随x 的增大而增大。 2、当a<0时,在对称轴直线a b x 2-=左侧（或说a

b

x 2-<），y 随x 的增大而增大；在对称轴

右侧（a

b

x 2->），y 随x 的增大而减小。

例题1、已知a ＜－1，点（a －1，1y ）、（a ，2y ）（a ＋1，3y ）都在函数2

x y =的图象上， 则（ ） A 、1y ＜2y ＜3y B 、1y ＜3y ＜2y C 、3y ＜2y ＜1y D 、2y ＜1y ＜3y

五、求二次函数的解析式

1、二次函数的表达式：①一般式_________________；②顶点式_______________；

③交点式：设抛物线与x 轴交于点A ），（01x 、B )0(2，

x 则抛物线的解析式为___________。 2、抛物线解析式的求法：①已知抛物线上的三点，可用一般式____________求解；

②若已知顶点或对称轴、最大（小）值，可设顶点式_______________求解； ③若已知抛物线与x 轴的两个交点，可设交点式___________________求解。

求二次函数解析式应根据所给的条件，灵活选择函数关系式，应用___________求出未知系数。

y

y

y

y

x

x

x

x

O O

O

O

A

B

C

D

例题2图

例题3图

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例题1、二次函数y=ax 2

+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析

式。（顶点式）

例题2、如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点。 （1）二次函数的解析式为 。

（2）当自变量x ________时，两函数的函数值都随x 增大而增大； （3）当自变量x ___________时，一次函数值大于二次函数值； （4）当自变量x ____________时，两函数的函数值的积小于0。

例题3、已知二次函数的图象经过原点及点（12-，1

4

-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，

则该二次函数的解析式为 。

例题4、如图，抛物线的对称轴是直线1x =,它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点。点A 、C 的坐标分别是（-1,0），（0,1.5）。（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若点P 是抛物线上位于x 轴上方的一个动点，求 △ABP 面积的最大值。

六、二次函数与一元二次方程的关系

二次函数

)0(2

≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、

没有交点。

如果抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴有交点，则交点的横坐标就是方程_____________的根。 应用：当图像与x 轴有交点时，令y=0，解方程______________就可求出抛物线与x 轴交点 的坐标______________。

ac b 42-=∆ 方程02=++c bx ax 的根的情况 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴

的交点情况

0>∆ 两个不相等的实数根 两个交点 0=∆

0<∆

例题1、已知函数2

y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程2

20ax bx c +++=

的根的情况是（ ）

A ．无实数根

B ．有两个相等实数根

C ．有两个异号实数根

D ．有两个同号不等实数根

例题2：抛物线2

23y x x =+-与x 轴交点的个数是

例题3：抛物线2

28y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的取值范围是

七、抛物线c bx ax y ++=2与不等式02>++c bx ax （02<++c bx ax ）的 解集的关系

例题1、二次函数）（02

≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 根据图像解答下列问题：

（1）写出方程02

=++c bx ax 的两个根； （2）写出不等式02>++c bx ax 的解集；

（3）写出不等式02<++c bx ax 的解集；

（4）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围。

1 －1 －3 3 x

y

O A

B

C

y

x

O 3

x =1

图6