201x届高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9-5 椭圆(一) 文

(2)由椭圆的定义，有 2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋ 2)＋(2－ 2)＝ 4，故 a＝2.
设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1⊥PF2，得 2c＝|F1F2|＝ |PF1|2＋|PF2|2＝ 2＋ 22＋2－ 22＝2 3，即 c＝ 3，从而 b ＝ a2－c2＝1.
故所求椭圆的标准方程为x42＋y2＝1. [答案] (1)C (2)x42＋y2＝1
[答案] D
2．(2015·广东卷)已知椭圆2x52 ＋my22＝1(m>0)的左焦点为 F1(－ 4,0)，则 m＝( )
A．2 B．3 C．4 D．9 [解析] 由 4＝ 25－m2(m>0)⇒m＝3，故选 B.
[答案] B
3．(2017·浙江卷)椭圆x92＋y42＝1 的离心率是(
)
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[解析] 由已知可得△F1AB 的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋ |BF2|＝4a＝8.
[答案] 8
5．(2017·常州调研)若方程5－x2 k＋k－y23＝1 表示椭圆，则 k 的 取值范围是__________．
[解析] 由已知得5k－－3k>>00，， 5－k≠k－3，
解得 3<k<5 且 k≠4.
[小题速练]
1．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于
12，则 C 的方程是( A.x32＋y42＝1 C.x42＋y22＝1
)
B.x42＋ y23＝1 D.x42＋y32＝1
[解析] 右焦点为 F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在 x 轴 上；c＝1.又离心率为ac＝12，故 a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭 圆的方程为x42＋y32＝1.
[答案] (3,4)∪(4,5)
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考点一 椭圆的标准方程——热考点 (1)过点( 3，－ 5)，且与椭圆2y52 ＋x92＝1 有相同焦点
的椭圆的标准方程为( )
A.2x02 ＋y42＝1
B.2x25＋y42＝1
C.2y02 ＋x42＝1
D.x42＋2y25＝1
A. 3 B. 3 C.3 D.9
[解析] 根据题意知，a＝3，b＝2，则 c＝ a2－b2＝ 5， ∴椭圆的离心率 e＝ac＝ 35，故选 B. [答案] B
4．已知 F1，F2 是椭圆x42＋y32＝1 的两个焦点，过点 F2 作 x 轴的垂线交椭圆于 A，B 两点，则△F1AB 的周长为__________．
求椭圆标准方程的 2 种常用方法 根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦 定义法 点位置可写出椭圆方程 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程， 结合已知条件求出 a，b；若焦点位置不明确， 待定系 则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上的两种情况 数法 讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝ 1(A>0，B>0，A≠B)
由 c2＝a2－b2 可得 b2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
解法二：设所求椭圆方程为25y－2 k＋9－x2 k＝1(k<9)，将点( 3， － 5)的坐标代入可得－25－5k2＋9－3k2＝1，解得 k＝5(k＝21 舍去)， 所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
(2)(2015·重庆改编)如图，椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦 点分别为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQ⊥PF1. 若 |PF1| ＝ 2 ＋ 2 ， |PF2| ＝ 2 － 2 ， 则 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ________________．
[跟踪演练]
1．若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则
该椭圆的标准方程为( )
A.x52＋y2＝1
B.x42＋y52＝1
C.x52＋y2＝1 或x42＋y52＝1
第
九
平面解析几何
章
第五节
椭圆(一)
高考概览 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.了解 圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1．椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做 椭圆． 这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦 点间的距离叫做椭圆的 焦距．集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}， |F1F2|＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c 为常数： (1)若 a>c ，则集合 P 为椭圆； (2)若 a＝c ，则集合 P 为线段； (3)若 a<c ，则集合 P 为空集．
[温馨提示] 一个易错点：忽略椭圆定义中定常数要大于两 定点间的距离致误．
动点 P 到两定点 A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为 4，则点 P 的 轨迹是 线段 AB .
提示：P 到两定点的距离之和等于两定点之间的距离，所以 P 点轨迹是线段 AB.
2．椭圆的标准方程和几何性质
[温馨提示] (1)一个易错点：在椭圆的标准方程中，x2、y2 前面
的系数决定了焦点的位置．一般地，哪个分母大，焦点就在对应的
轴上，即“焦点位置看大小，焦点随着大的跑．”如2x52 ＋4y92 ＝1，焦
x12＋y12
点在 y 轴上.3x2＋2y2＝1 中先化成标准式为
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＝1，焦点在 y 轴上．
(2)两条结论： ①椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定 了椭圆的形状．椭圆的 e 越大(即越接近 1)，椭圆越扁，e 越小(即 越接近 0)，椭圆越圆．(可通过 0 对应圆去记忆) ②椭圆上任一点 M 到焦点 F 的最大距离为 a＋c，最小距离 为 a－c.
[思路引导]
(1)
求出已知 椭圆焦点
→
利用定义 求出2a
→
根据a、c 求出b
→ 写出标准方程
利用椭圆的 利用勾股定
写出椭圆
(2) 定义求得a值 → 理求得c值 → 求出b值 → 标准方程
[解析] (1)解法一：椭圆2y52 ＋x92＝1 的焦点为(0，－4)，(0,4)， 即 c＝4.
由 椭 圆 的 定 义 知 ， 2a ＝ 3－02＋－ 5＋42 ＋ 3－02＋－ 5－42，解得 a＝2 5.