椭圆知识点和常见题型原卷版

椭圆知识点和常见题型

1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．

即：。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．

焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形

标准方程

范围且且

顶点

、

、、、

轴长短轴的长长轴的长

焦点、、

焦距

对称性关于轴、轴、原点对称

离心率

e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁通径过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a

焦半径公式∣PF左∣＝a+ex0∣PF右∣＝a-ex0

题型一：求椭圆的解析式

例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)， 并且经过点P 求它的标准方程.

例2 椭圆的一个顶点为 A(2,0) ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

例3．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点 p(-3,0)、 Q(0,-2) ；

（2）长轴长等于20 ,离心率等于

题型二：求轨迹

例1、如图，在圆 上任取一点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足。

当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？

⎪

⎭⎫

⎝⎛-232

5，3

5

4

22=+y x

x

例2设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是-4/9,求点M的轨迹方程

例3已知B、C是两个定点，6

BC=，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.

题型三：求参数的范围

例1知椭圆的离心率求k 的值

22

1.41

.

x ky y

k

+=

练习方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围

1

9

8

2

2

=

+

+

y

k

x

2

1

=

e

直线与圆锥曲线的位置关系

2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到

。

①. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。 ②.若，设

。.

时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.

时，直线和圆锥曲线没有公共点，

相离。

题型四：直线与椭圆的位置关系

例1：直线y=kx+1与椭圆 恒有公共点,求m 的取值范围。

圆,直线45400x y -+=,椭圆上是否存在一点,到直 例2:已知椭

线l 的距离最小?最小距离是多少?

152

2=+m

y x 22

1259x y +=

弦长问题

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线

与圆锥曲线交于点

，

时，则 =

=

==

题型四：弦长公式

例1：已知斜率为1的直线L 过椭圆 的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 之长．

例2

例3 如图，已知椭圆 与直线x+y-1=0交于A 、B 两 点， AB 的中点M 与椭圆中心连线的斜率是

试求a 、b 的

值。 221ax by +=222,

AB =

例1：已知椭圆y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)截直线y ＝k x+m 所得弦的中点坐标为（x 0,y 0），

求直线的斜率

直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．

[点评] 关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：

(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算. (2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)、

B (x 2，y 2)，且弦AB 的中点为M (x 0，y 0)，则

⎝

⎛

x 21

a 2＋y 21

b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②

由①－②得a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0，

∴y 1－y 2x 1－x 2

＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0.

这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．

例2：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所

在直线的方程.

1．与圆锥曲线有关的最值和范围的讨论常用以下方法

(1)结合圆锥曲线的定义，利用图形中几何量之间的大小关系；

(2)不等式(组)求解法，根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)，得出参数的变化范围；

(3)函数值域求解法，把所讨论的参数作为一个函数，选一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；

(4)构造一个二次函数，利用判别式求解；

(5)利用不等式，若能将问题转化为“和为定值”或“积为定值”，则可以用基本不等式求解；

例1．（定点问题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3

，1(3,)2M -是椭圆

C 上的一点.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点(4,0)P -作直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，A 点关于x 轴的对称点为D ，问直线BD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.