椭圆知识点和常见题型原卷版

椭圆知识点和常见题型1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．即：。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、、、、轴长短轴的长长轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁通径过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a焦半径公式∣PF左∣＝a+ex0∣PF右∣＝a-ex0题型一：求椭圆的解析式例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)， 并且经过点P 求它的标准方程.例2 椭圆的一个顶点为 A(2,0) ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．例3．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点 p(-3,0)、 Q(0,-2) ；（2）长轴长等于20 ,离心率等于题型二：求轨迹例1、如图，在圆 上任取一点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足。

当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？⎪⎭⎫⎝⎛-2325，35422=+y xx例2设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是-4/9,求点M的轨迹方程例3已知B、C是两个定点，6BC=，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.题型三：求参数的范围例1知椭圆的离心率求k 的值221.41.x ky yk+=练习方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围19822=++ykx21=e直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到。

①. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若，设。

.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

题型四：直线与椭圆的位置关系例1：直线y=kx+1与椭圆 恒有公共点,求m 的取值范围。

圆,直线45400x y -+=,椭圆上是否存在一点,到直 例2:已知椭线l 的距离最小?最小距离是多少?1522=+my x 221259x y +=弦长问题直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。

即当直线与圆锥曲线交于点，时，则 ====题型四：弦长公式例1：已知斜率为1的直线L 过椭圆 的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 之长．例2例3 如图，已知椭圆 与直线x+y-1=0交于A 、B 两 点， AB 的中点M 与椭圆中心连线的斜率是试求a 、b 的值。

221ax by +=222,AB =例1：已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)截直线y ＝k x+m 所得弦的中点坐标为（x 0,y 0），求直线的斜率直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．[点评] 关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算. (2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且弦AB 的中点为M (x 0，y 0)，则⎝⎛x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②由①－②得a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．例2：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.1．与圆锥曲线有关的最值和范围的讨论常用以下方法(1)结合圆锥曲线的定义，利用图形中几何量之间的大小关系；(2)不等式(组)求解法，根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)，得出参数的变化范围；(3)函数值域求解法，把所讨论的参数作为一个函数，选一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；(4)构造一个二次函数，利用判别式求解；(5)利用不等式，若能将问题转化为“和为定值”或“积为定值”，则可以用基本不等式求解；例1．（定点问题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，1(3,)2M -是椭圆C 上的一点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)P -作直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，A 点关于x 轴的对称点为D ，问直线BD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.例2（定值问题）已知直线220x y 经过椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左顶点A 和上顶点D ，设椭圆C 的右顶点为B . （1）求椭圆C 的标准方程和离心率e 的值；（2）设点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点，求证：直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值．例3．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为2，且过点.（1）求椭圆M 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆M 的上，下顶点，过点B 且斜率为()0k k >的直线l 交椭圆M 于另一点N （异于椭圆的右顶点），交x 轴于点P ，直线AN 与直线x a =相交于点Q .求证：直线PQ 的斜率为定值.题型一：求椭圆的解析式题型二：求轨迹题型三：求参数的范围题型四：直线与椭圆的位置关系题型四：弦长公式题型五：中点弦问题题型六：定值问题例1【详解】（1）∵3c a =222a b c =+，∴224a b =，∴222214x y b b +=， 将1(3,)2M -代入椭圆C ，∴21b =，∴22:14x C y +=. （2）显然AB 斜率存在，设AB 方程 为：(4)y k x =+，2222221(14)3264404(4)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩， 2161920k ∆=->，∴2112k <. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，∴21223214k x x k +=-+，212264414k x x k -=+， ∵()211121:y y BD y y x x x x ++=--，∴0y =时211112*********()()8x y x y kx x k x x x x y y k x x k -++=+=+++ 2233222332644322()4()1288128141413232832()814k k k k k k k k k k k k k k k k -+---++===--++-++， ∴直线BD 过定点(1,0)-.例2【详解】（1）由已知得，椭圆C 的左顶点为()20A -，，上顶点为()01D ，，2a ∴=，1b =，223c a b -= 故椭圆C 的方程为2214x y += ，离心率e 3 （2）设()00S x y ，，且()20B ，， 220014x y ∴+=，故220014x y =-，故200020001·2244SA SB y y y k k x x x ===-+--为定值． ∴直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值．例3【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，则c a =①， 22421a b+=②，又222a b c =+③， 由①②③解得28a =，24b =，24c =，所以椭圆M 的标准方程为22184x y +=. （2）证明：易得(0,2)A ，(0,2)B -，直线l 的方程为2y kx =-，因为直线l不过点0)，所以2k ≠， 由22228y kx x y =-⎧⎨+=⎩，得()222180k x kx +-=， 所以2821N k x k =+，从而222842,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，2,0P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线AN 的斜率为2224221218221k k k kk --+=-+，故直线AN 的方程为122y x k =-+.令x =2Q k ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，直线PQ的斜率222PQ k k k-+====. 所以直线PQ的斜率为定值2.。