一阶逻辑等值演算与推理资料重点

(2) x(F(x)yG(y))
xF(x)yG(y)
量词辖域收缩
(F(a)F(b)F(c))(G(a)G(b)G(c))
(3) xyF(x,y)
x(F(x,a)F(x,b)F(x,c))
(F(a,a)F(a,b)F(a,c))(F(b,a)F(b,b)F(b,c))
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(F(c,a)F(c,b)F(c,c))
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第5章 一阶逻辑等值演算与推理
5.1 一阶逻辑等值式 5.2 一阶逻辑前束范式 5.3 一阶逻辑的推理理论
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5.1 一阶逻辑等值式
定义5.1
▪ 设A,B是一阶逻辑中的 任意两公式，若A B为永真
式，称A和B等值，记为AB，称AB 是等值式。
置换规则、换名规则、代替规则 1.置换规则
▪ 若AB, 则(A) (B).
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5.1 一阶逻辑等值式
2.换名规则
▪ 约束变元的换名依据
▪ 一个公式的约束变元可使用多个名称，具体符号 无关紧要，故可对约束变元进行换名。
▪ 例如：xP(x) yP(y)
▪ 换名规则
换名规则
uF(u,y,z) wG(x,w,z) 或者 xF(x,u,z) yG(x,y,z)
换名规则 代替规则
xF(x,u,z) yG(v,y,z) (2) x(F(x,y) yG(x,y,z))
代替规则
x(F(x,y) tG(x,t,z))
换名规则
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或者 x(F(x,t) yG(x,y,z))
▪ 将公式A中某量词的指导变元及其在辖域内的所有 约束出现改成该量词辖域内未曾出现的某个个体 变项, 其余部分不变, 记所得公式为A, 则AA。
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5.1 一阶逻辑等值式
例如：
▪ xP(x) →Q(x) yP(y) →Q(x)
▪ x (P(x,y) →Q(x,y) ) ∨P(x,z) t (P(t,y) →Q(t,y) ) ∨P(x,z)
5.3 一阶逻辑的推理理论
1.推理的形式结构
一 阶
▪ 形式1： A1A2…AkB
逻 辑
group2 1.消去量词等值式 • 对有限个体域D＝{a1,a2, …,an}中
▪ xA(x) A(a1)∧A(a2)∧……∧A(an) ▪ xA(x) A(a1)∨A(a2)∨……∨A(an) 2.量词的否定等值式
（全称量词和存在量词之间的关系, A(x)是含x自由出现的公式）
▪ ┐xA(x) x┐A(x) ▪ ┐ xA(x) x┐A(x)
5.量词的交换
▪ xyA(x,y) yxA(x,y) ▪ xyA(x,y) y xA(x,y)
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5.1 一阶逻辑等值式
例5.3：设个体域D={a,b,c}, 消去下面公式中的量词:
(1) x(F(x)G(x))
(F(a)G(a))(F(b)G(b))(F(c)G(c))
x(A(x)B)xA(x)B
x(BA(x))BxA(x) x(BA(x))BxA(x)
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5.1 一阶逻辑等值式
4.量词分配等值式
设A(x) 和B(x)都是包含自由变元x的谓词公式，则：
▪ x(A(x) ∧B(x)) xA(x) ∧ xB(x) ▪ x(A(x)∨ B(x)) xA(x)∨ xB(x)
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5.1 一阶逻辑等值式
例5.5： 证明下列各等值式: （1） x(M(x)F(x)) x(M(x)F(x))
证 左边 x (M(x)F(x)) 量词否定等值式 x(M(x)F(x)) x(M(x)F(x))
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5.1 一阶逻辑等值式
▪ x (P(x,y) →Q(x,y) ) ∨P(x,z)
x (P(x,y) →Q(x,y) )∨P(t,z)
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5.1 一阶逻辑等值式
例5.1 消去公式中既约束出现、又自由出现的个体变项
(1) xF(x,y,z) yG(x,y,z)
uF(u,y,z) yG( x,y, z)
代替规则
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5.2一阶逻辑前束范式
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定义5.2 ：
▪ 设A为一个谓词公式，若A具有如下形式：
▪ Q1x1Q2x2……QkxkB ▪ （其中：Qi (1≤i≤n)为 或，B为不含量词的公式）
▪ 则称A为前束范式。
例如:
▪ xy(F(x)(G(y)H(x,y))) ▪ x(F(x)G(x)) ▪ x(F(x)y(G(y)H(x,y))) ▪ x(F(x)G(x))
基本等值式
▪ Group 1.命题逻辑中基本等值式的代换实例
▪ P →Q ┐P ∨Q
▪
xP(x) → yE(y) ┐ xP(x) ∨ yE(y)
▪
x(P(x) → Q(x)) x (┐P (x) ∨ Q(x))
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5.1 一阶逻辑等值式
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5.1 一阶逻辑等值式
3.自由变元的代替规则
一
▪ 将公式A中某个自由出现的个体变项的所有出现用A
阶 逻
中未曾使用过的个体变项符号代替，A中其余部分不
辑 公
变，所得公式A’， 则AA。
式 及
▪ 例如：
解 释
▪ xP(x) →Q(x) xP(x) →Q(y)
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5.2一阶逻辑前束范式
例5.6 (P71) ：求如下公式的前束范式：
▪ xF(x) ∧ ┐xG(x) ▪ xF(x) ∨ ┐ xG(x)
定理5.1：(前束范式存在定理)
▪ 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式。
例5.7 (P73)
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5.1 一阶逻辑等值式
3.量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ含x的出现
关于全称量词的：
关于存在量词的:
x(A(x)B) xA(x)B
x(A(x)B) xA(x)B
x(A(x)B) xA(x)B
x(A(x)B) xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B