三.平稳随机过程
平稳随机过程的概念
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)
a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
平稳随机过程
所以，X(t), Y(t)为联合平稳的。 同样的方法可算得
RYX ( ) AB cos( ) 2
随机分析
引言
一、均方收敛及均方连续 二．随机过程的均方导数 三．随机过程的均方积分
一、均方收敛及均方连续
1.均方收敛的定义：设有二阶矩随机序列
｛Xn,n=1,2,…｝和随机变量X,E(X2)<+,若有
例2: 设X(t)=Asin(t+Θ)，Y(t)=Bsin(t+Θ-),A,B,
, 为常数，Θ在(0,2)上服从均匀分布，求RXY()。
解: X(t),Y(t)均为平稳过程.
RXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
E[ A sin( t )B sin( t )]
0
1
1 1 1 [cos2 m x cos2 ( 2n m ) x ]d x 2 2 0 0
m0 m0
只与m有关，所以 {Xn}为平稳序列。
例4：考虑随机电报信号，信号X t 由只取 I 或 I的电流给出。 P X t I 1 , 2 而正负号在区间 t , t 内变化的次数N t , t 是随机的， 且假设N t , t 服从泊松分布，即： e P N t, t k k 0,1, 2, k! 其中 0是单位时间内变号次数的数学期望，
上述结果与t 无关,故若τ<0时,只需令t=t+τ，则有
E[ X ( t ) X ( t )] E[ X ( t ' ) X ( t ' )] E[ X ( t ' ) X ( t ' | |)] I 2e 2| | 故这一过程的自相关函数为
平稳随机过程
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
平稳随机过程的概念
平稳过程旳参数集T, 一般为: (,), [0,), {0,1,2,} 或 {0,1,2,}.
当T为离散情况 , 称平稳过程X n 为平稳随
第一节 平稳随机过程旳概念
一、平稳随机过程旳概念 二、应用举例 三、小结
一、平稳随机过程旳概念
在实际中, 有相当多旳随机过程, 不但它现 在旳状态, 而且它过去旳状态, 都对将来状态旳 发生有着很强旳影响.
假如过程旳统计特征不随时间旳推移而变 化, 则称之为平稳随机过程.
1. 定义
如果对于任意的 n( 1,2,),t1, t2 ,, tn T和 任意实数h,当t1 h, t2 h,, tn h T时, n维随机 变量 ( X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )) 和 ( X (t1 h), X (t2 h),, X (tn h))
T s(t )s(t ) 1 d
0
具有周T 期性
1
T
iT i
s( )s( )d RX ( )
所以随机相位周期过程是平稳旳. 尤其, 随机相位 正弦波是平稳旳.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t)由只 取 I或 I t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2
可见Y (t) X (t) X (0)不是平稳过程 .
三、小结
平稳随机过程、宽(广义)平稳随机过程旳概念 平稳过程数字特征旳特点
(1) 平稳过程的所有样本曲 线都在水平直线
x(t ) X 上下波动,平均偏离度为 X . (2) 平稳过程的自相关函数 仅是t2 t1 的单
第3章 平稳随机过程
一、 互相关函数的性质
（1） RXY (0 ) RYX ( 0 ) （2） RXY ( ) RYX ( ) 2 （3） RXY ( ) RX (0 )RY ( 0 )
1 RXY ( ) [ RX ( 0 ) RY ( 0 )] 2 1 1 2 （4） C XY ( ) [C X (0 ) CY ( 0 )] [ X Y2 ] 2 2
§3.2 平稳过程相关函数的性质
3.2.1 相关函数的性质 设X ( t )为实平稳随机过程，则 EX ( t ) X ( t ) R ( ) （1） R ( ) R ( ) 自相关函数为偶函数。
X
X
X
（2） R ( ) R ( 0 ) ∵ E X ( t ) X ( t ) 0 随机过程在同一时刻点的随机变量的相关性最大。
第十二章-平稳随机过程
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)
- -
f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2：一般情况下，互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳，则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0，则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足： 互协方差函数满足： XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
（3）互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量，定义Z＝X＋jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数： mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z＝E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]
平稳随机过程的概念
严平稳的.
例2 设s(t)是一周期为T的函数,是在(0,t)上服 从均匀分布的随机变量,称X (t) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性.
解 的概率密度为
f
(
)
1/T , 0
0, 其他.
T,
X(t) 的均值函数为
E[X (t)] E[s(t )]
T
s( t
) 1 d
定义1 给定二阶矩过程{ X (t), t T },如果对任意
t,t T : E[ X (t)] X (常数)
E[ X (t)X (t )] RX ( )
则称{ X (t), t T }为宽平稳过程,或广义平稳过程. 说明
(1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立.ຫໍສະໝຸດ 2aea2 2 2
da
2
2
0
故 E[Acos(t )] EA E[cos(t )]
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t )由只 取 I或 I
t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2 而正负号在区间(t,t )内变化的次数N (t,t ) 是随机的, 假设N (t,t )服从泊松分布.
结果与t 无关
k0
I 2e
( )k
k0
I 2e2
.
k0 k!
而 0时,令t t , 则自相关函数: E[ X (t )X (t )] I 2e2 只与有关
所以随机电报信号 X (t) 是一平稳过程.
其图形为:
RX ( )
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
平稳随机过程
平稳随机过程⏹严格平稳随机过程⏹广义平稳随机过程⏹平稳随机过程自相关函数性质⏹各态历经过程1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。
1111(,,,,,)(,,,,,)X N N X N N p x x t t t t p x x t t +∆+∆=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。
(,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+∆t)具有相同的统计特性。
二维概率密度只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。
12121212121221212(,,,)(,,,)(,,,0)(,,)X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+∆+∆=-∆=-=ττ=-如果X (t )是严格平稳随机过程, 则121212121212(,)(,,,)()X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞-∞==ττ=-⎰()()X X Xm t xp x dx m ∞-∞==⎰222()()()XX X Xt x m p x dx ∞-∞σ=-=σ⎰100200300400500-4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise0100200300400500-4-3-2-101234Non-stationay Gaussian Noise可以证明：独立同分布(IID)的随机序列是严格平稳的。
IID: Independent and Identical Distribution即对于任意的n ，X [n ]具有相同的一维概率密度，且对任意n 1和n 2(n 1≠n 2 ), X [n 1]和X [n 2]相互独立。
121111(,,...,,,...,)(,)(,)()NX N N X i i i NX i i i NX i i p x x x n n n n p x n n p x n p x ===+∆+∆=+∆==∏∏∏利用同分布利用独立性与n 无关例1：随机幅度信号0()cos X t Y t=ω0ω是常数~(0,1)Y N 判断X (t )是否严平稳。
第三章 平稳随机过程
RX
(t1, t2 )
a2 2
E{cos [0 (t1
t2 )
2]
cos[0 (t1
t2 )]}
a2 2
E{cos [0 (t1
t2 )
2]}
a2 2
E{cos [0 (t1
t2 )]}
cos[0(t1 t2 )]cos2 sin[0(t1 t2 )]sin 2 此项为零
Exercise 3.3
判断图示的四个随机过程是否平稳
幅度、相位和频率都是随机的
X (t) A cos(t )
E[ X (t)] E[ Acos(t )] E[ A] E[cos(t )] =E[cos(t) cos sin(t) sin ] =0
X (t)平稳
cos( ) cos cos sin sin
随机变量在[0, 2 ]上均匀分布.
E[cos ] E[sin ] 0
3.1 平稳随机过程
Exercise 3.3
判断图示的四个随机过程是否平稳
幅度、相位和频率都是随机的
RX (t,t ) E[ X (t) X (t )]
X (t) A cos(t )
X (t)不是平稳过程
3.1 平稳随机过程
Exercise 3.3
判断图示的四个随机过程是否平稳
随机频率的正弦信号
E[ X (t)] E[a cos(t )]
X (t) a cos(t ) X (t)不是平稳过程
3.1 平稳随机过程
sin[2 (2t )] sin(2 )
平稳随机过程
平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。
即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。
（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。
3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。
所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。
当均值为0时，有R(0)＝σ2。
4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。
概率论第三章 平稳随机过程
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
随机信号分析 第三章平稳随机过程(3)
2.9随机过程X(t)=Acos(wt)+Bsin(wt),其中w为常数,A,B是两个互相独 立的高斯变量,并且E[A]=E[B]=0,E[A2]=E[B2]= σ2 求X(t)的数学期望和自相关函数.
解:根据数学期望和自相关函数的定义可得:
Байду номын сангаас
E[X(t)]=E[Acos(wt)+Bsin(wt)] =E[A]cos(wt)+E[B]sin(wt)=0
1.4：随机变量X在[ , a]上均匀分布，证明 的方差a 2 / 3, x 1 特征函数为C( ju ) sin ua. au
解：因为X服从均匀分布，所以可 以些出它的概率密度函 数： 1 p ( x ) 2a , x a 0, 其他 1 x2 a 所以E[ x] xp( x)dx * 0, 2a 2 a a
R X (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[( A cos wt B sin wt )( A cos w(t ) B sin w(t ))] E[ A 2 ] cos wt cos(wt w ) E[ AB] cos wt sin(wt w ) E[ AB] sin wt cos(wt w ) E[ B 2 ] sin wt sin(wt w ) E[ A 2 ] cos wt cos(wt w ) E[ B 2 ] sin wt sin(wt w ) 2 cos w R X ( )
例4：随机变量X和Y之间成线性关系：Y=X+5,已 知X服从标准的高斯分布，求所机变量Y的概率密度。
解：随机变量X和Y之间存在唯一的反函数，其表达式为X=Y-5
则f(y)=y-5,|f’(y)|=1,
第3章平稳随机过程总
在通信中，常常把稳定状态下的随机过 程，当作平稳随机过程来处理，这样，对 这个随机过程任何时候来测量，都会得到 同样的结果，从而大大简化了数学模型。 对一些非平稳的随机过程，在较短的时间 内，常常把它作为平稳随机过程来处理。
第3章 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义
严格 平稳 随机 过程
如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变 化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度 不变，则称是严格平稳的随机过程或称为狭 义平稳随机过程。
2cos t1 cos t2 2sin t1 sin t2
2cos(t1 t2 )
2cos
t1 t2
Z(t)是广义平稳的
E[Z 3 (t)] E{[ X cos t Y sin t]3} E[ X 3 cos3 t Y 3 sin3 t 3X 2Y cos2 t sin t 3Y 2 X cos t sin t]
所以X(t)是非平稳的。
2 宽平稳随机过程（广义平稳过程，平稳过程） • 由于求n维概率密度比较困难，有时只用到一、二
阶矩，如功率（均方值和方差）和功率谱密度（自 相关函数），因此，平稳性的定义不需要那么严格， 若随机过程 X(t)满足
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
• 严平稳与宽平稳的关系： 宽平稳只涉及与一、二维概率密度有关的数字 特征； 严平稳过程只要均方值有界，则它必定是宽平 稳的，反之不一定成立； 正态随机过程的宽平稳与严平稳是等价的。
E(Y
2)
(1)2
2 3
22
1 3
2 3
4 3
2
E( X 3) E(Y 3) (1)3 2 23 1 2
0203_平稳随机过程通过线性系统
1、平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程的均值等于输入随机过程的均值与系统直流传递函数的乘积：
[]0()()()o i E t E h t d ετεττ∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
⎰ []0
()()()(0)i i i h E t d a h d a H τεττ
ττ∞
∞=-==⎰⎰
2、平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程也是平稳的：
[]
[]0000
00
(,)()()()()()()()()()()()()()()
o o o i i i i i o R t t E t t E h t d h t d h h E t t d d h h R d d R τεεταεααβετββαβεαετβαβ
αβταβαβτ∞∞∞∞∞∞+=+⎡⎤=-+-⎢⎥
⎣⎦
=-+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
3、平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程的功率谱密度等于输入随机过程的功率谱密度与系统传递函数模平方的乘积：
4、平稳高斯过程经过线性系统后，输出随机过程也是高斯过程，但数字特征可能已经发生改变。
例：若信道中高斯白噪声的均值为零，其双边功率谱密度为0
2n ，接收端理想带通滤波器中心频率为
c f ，带宽为B ，求：
（1）接收端理想带通滤波器输出噪声的自相关函数；
（2）接收端理想带通滤波器输出噪声的平均功率；
（3）接收端理想带通滤波器输出噪声的一维概率密度函数。
平稳随机过程
平稳随机过程平稳随机过程的是一种特殊而又广泛应用的随机过程。
一、平稳随机过程定义1.狭义平稳定义随机过程的维分布函数或维概率密度函数与时间起点无关，即对于任何和，随机过程的维概率密度函数满足则称是在严格意义下的平稳随机过程。
简称严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。
它的一维概率密度函数与时间无关，即而二维概率密度函数仅依赖于时间间隔有关，即 2.广义平稳定义：若随机过程的数学期望及方差与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔有关，即则称为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。
通信系统中所遇到的信号及噪声大多数可视为广义平稳随机过程。
以后讨论平稳随机过程除特殊说明外均指广义平稳随机过程。
二、各态历经性各态历经性是平稳随机过程在满足一定条件下的一个非常重要的特性。
设是平稳随机过程中任取的一个样本函数，若的数字特征（统计平均）可由的时间平均值替代，即则称随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义：从随机过程中得到的任何一个样本函数，都经历了随机过程的所有可能状态。
因此，可用一个样本函数得统计特性来了解整个过程的统计特性，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。
注意：只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，但在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性条件。
三、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1.平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的定义式性质：（1）（的平均功率）（2）（是偶函数）（3）（时有最大值，为上界值）（4）（的直流功率）（5）（方差，为的交流功率）由上述性质可知，用自相关函数可表述的几乎所有的数字特征，因而具有实用意义。
例3.3.1 设随机过程，其中是在内均匀分布的随机变量。
试证明：（1）是广义平稳的；（2）试说明它的自相关函数的性质。
证明：(1)按题意，随机相位的概率密度函数为则的数学期望为的自相关函数为令，得。
三.平稳随机过程ppt课件
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： (1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。
解： mZ (t) EZt EX sin t Y cost
RZ (t1,t2 ) EZt1Zt2 EX sin t1 Y cost1X sin t2 Y cost2
E X 2 sin t1 sin t2 E Y 2 cost1 cost2 EXY sin t1 cost2 EYX cost1 sin t2
EX EY 0 EX 2 EY 2 2 EXY EYX 0
RZ (t1,t2 ) 2sin t1 sin t2 2 cost1 cost2 2 cost2 t1 2 cos
❖ 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；
❖ 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论 研究中；
❖ 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理 条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号 是平稳的。
❖ 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一 个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号 来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms 的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cost1 cost2
10 cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。
13
5.1.3 循环平稳性
14
5.1.3 循环平稳性
15
5.1.3 循环平稳性
16
5.1.3 循环平稳性
t2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
三.平稳随机过程
被近似看作平稳过程，或分段看作短时平稳过程。 * 非平稳随机过程的理论分析相对复杂、相对不成熟。
5.1 平稳随机过程
5.1.1 严平稳 (1) 定义
t1
t2
tn
如果对于任意的n和 ，随机过程 X(t)的 tn t1 t2 n 维概率密度满足：
f X (x1 , x 2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n ) f X (x1 , x 2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n )
mX (t ) EX t E t 2 A sin t B cost t 2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
Y t X t mX (t ) A sin t B cost mY (t ) EY t EA sin t B cost 0 RY (t1 , t2 ) EY t1 Y t2 E A sin t1 B cost1 A sin t2 B cost2
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
除Guass SSS 二阶矩过程 WSS
二阶矩过程 SSCS WSCS
5.1.4 平稳随机过程相关函数的性质 1) 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即
(2)用钜形（高为 rX (0) 1 ,底为 0 的矩形）面积等于阴
0 rX ( )d
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2 X RX 0 3
1 1
rX 1 ( )
1 0 0
1
2 RX 1 ( ) m X 1 2 X
1
e
2
rX ( )d e d
2 0
因此，Z(t)是宽平稳的。
E Z 3 t E X sin t Y cost
3
3EXY sin t cos t EX EY 2 EXY EX Y 0
2 2
3 3 2 2
E X 3 sin 3 t E Y 3 cos3 t 3E X 2Y sin 2 t cost
宽平稳随机过程
二维概率密度仅 与时间间隔有关 相关函数仅与时 间间隔有关 均值与时间无关，相关函 数仅与时间间隔有关
5.1.5 平稳过程的相关系数和相关时间
相关系数
2 CX ( ) RX ( ) mX rX ( ) 2 CX (0) X
此值在[－1，1]之间。
rX ( ) 1
f X ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f X ( x1 , x2 ; t1 , t2 )
f X (x ， ， ， 1 x2 ; t1 , t 2 ) f X ( x 1 x2 ;0, t 2 t1 ) f X ( x 1 x2 ; )
mX mX1 mX 2 10 E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2 2 X RX (0) mX 300 100 200
严平稳随机过程
严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
一维概率密度 与时间无关 均值、均方值、 方差及 E[ X k (t )] 与时间无关
k (1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X (t )] 与时 间t无关。
(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相 同的统计特性。
5.1.2 宽平稳随机过程 若随机过程 X(t)满足
mX (t ) mX
RX (t1, t2 ) E( X t1 , X t2 ) RX ( )
例4：已知平稳随机过程 X1(t)的自相关函数为 R X ( ) 3e
1 2
2
2 e 1 平稳随机过程 X2(t)的自相关函数为 RX ( ) X
求它们的相关系数和相关时间 X d 0 解：
由 R X 1 ( ) 3e 知 mX 0 1
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
除Guass SSS 二阶矩过程 WSS
二阶矩过程 SSCS WSCS
5.1.4 平稳随机过程相关函数的性质 1) 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cost1 cost2 10cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。
5.1.3 循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
2 (t ) E[ X 2 (t )]
X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则
此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平 稳与宽平稳等价。
平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移 动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻 的影响； 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号； 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论 研究中； 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理 条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号 是平稳的。 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一 个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号 来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms 的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题
方差
协方差
RX (0) RX ()
2 X
CX ( ) RX ( ) RX ()
例3：已知平稳随机过程 X(t)的自相关函数为 RX(τ)=100e-10| τ |+100cos10 τ +100 求X(t)的均值、均方值和方差。 解：RX(τ)=（100cos10 τ ）+（100e-10| τ |+100） = RX1(τ)+ RX2(τ) 式中，RX1(τ)=100cos10 τ是X(t)中周期分量的自相关 函数，此分量的均值mx1=0; RX2(τ)=100e-10| τ |+100是 X(t)的非周期分量的自相关， 由性质4，可得 mX 2 RX 2() 10 所以有
E[ X (t )] x1 f X ( x1 )dx1 mX
2 E[ X (t )] x12 f X ( x1 )dx1 X 2
t1
t
2 D[ X (t )] ( x1 mX )2 f X ( x1 )dx1 X
严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关
RX ( ) RX ( ) ，同理可得 CX ( ) CX ( ) 。
证明：
RX ( ) E[ X (t ) X (t )] E[ X (t ) X (t )] RX ( )
2) 平稳过程的均方值就是自相关函数在
0 时的值
RX (0) E[ X (t )]
rX ( ) 0
表示不相关
表示完全相关
表示正相关，即两个不同时刻起伏值符号相同可能性大。
相关时间
当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个 不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。 (1) 相关系数从最大值 1 下降至 0.05 时所经历的时间间 隔 ，记做相关时间, 即:
rX ( 0 ) 0.05
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： (1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。 解：
mZ (t ) EZ t EX sin t Y cost
2 lim RX ( ) RX () mX
7) 自相关函数必须满足 并对所有的ω成立。即自相关函数在整个频
RX ( )e
j
d 0
率轴上是非负值的。限制了自相关函数图形
不能有平顶、垂直边或幅度上的不连续
数学期望
均方值
mX RX ()
E[ X 2 (t )] RX (0)
E Z 3 t 2 sin 3 t cos3 t
因此，Z(t)不是严平稳的。
例2. 设随机过程X(t)=t2+Asint+Bcost，其中A和B都是一元随机变 量，且E[A]=E[B]=0，D[A]=D[B]=10，E[AB]=0，试分别讨论 X(t)和Y(t)=X(t)-mX(t)的平稳性。 解：
2
3) 平稳过程自相关函数的最大值在 0 处，
RX (0) RX ( ) ，同理可得 CX (0) CX ( )
证明：
E[ X (t ) X (t ) ] 0
2
E[ X 2 (t ) 2 X (t ) X (t ) X 2 (t )] 0 2 RX (0) 2 RX ( ) 0 RX (0) RX ( )
影面积( rX ( ) 积分的一半）来定义相关时间，即 物理意义
(2)用钜形（高为 rX (0) 1 ,底为 0 的矩形）面积等于阴
0 rX ( )d
0
相关时间 0 越小，就意味着相关系数rX ( )随 增加而降 0 落的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之， 越大，则表示随机过程随时间变化越慢。
平稳随机过程与各态历经过程
2015/10/22
1
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的主要特征：过程的统计特性不随时间改变。 实际问题多为非平稳过程，为何单独要研究平稳过程？ * 平稳随机过程分析方法简单，对于平稳随机过程已建立起 了一套完整、有效、成熟的理论分析和实验研究方法。
* 实际应用中的许多非平稳随机过程大都可以在一定条件下
t
则称X(t) 为严平稳（或狭义）随机过程 。 严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
(2) 一、二维概率密度及数学特征
严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关
f X ( x1; t1 ) f X ( x1; t1 )
t1
t1
f X ( x1; t1 ) f X ( x1; t1 ) f X ( x1;0) f X ( x1 )
RZ (t1 , t2 ) EZ t1 Z t2 E X sin t1 Y cost1 X sin t2 Y cost2
E X 2 sin t1 sin t2 E Y 2 cost1 cost2 EXY sin t1 cost2 EYX cost1 sin t2
4) 周期为T的平稳过程 函数也是周期为T的函数
X (t ) X (t T ) ，其自相关
RX ( ) RX ( T )