-动点与等腰三角形问题

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1．如图11，在正方形ABCD 中，点F 在CD 边上，射线AF 交BD 于点E ，交BC 的延长线于点G . （1）求证：ADE ∆≌CDE ∆；

（2）过点C 作CE CH ⊥，交FG 于点H ，求证：GH FH =；

（3）设1=AD ，=DF x ，试问是否存在x 的值，使ECG ∆为等腰三角形，若存在，请求出x 的值；若不存在，

请说明理由.

图

2．如图，在矩形ABCD 中，AB =6米，BC =8米，动点P 以2米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动.设P 、Q 两点移动t 秒后，四边形ABQP 的面积为S 米.

(1)求面积S 关于时间t 的函数关系，并求出t 的取值范围；

(2)在P 、Q 两点移动过程中，求当⊿PQC 为等腰三角形时t 的值.

龙文教育个性化辅导授课案

3. 已知：如图，抛物线)0(22≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），

与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。 （1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，

交BC 于点E ，连接CQ 。当△CQE 的面积最大时，求点Q

（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，

与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）。

问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？ 若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

4.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90º，AB ＝6，AC ＝8，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运

动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ ＝x ，QR ＝y ．

（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理

由．

28题图

A B

C

D E R

P H Q

5. 在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(04)，，

直线CM x ∥轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．

（1）求b 的值和点D 的坐标；

（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，

求点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆P 与圆O 外切，

求圆O 的半径．

6. 在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++

与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为

)1m ，（，且3

x

b

x

图7

C

7.如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG . （1）试求ABC ∆的面积；

（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；

（3）设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关 系式，并写出定义域；

（4）当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长.

8.已知：⊙O 的直径AB =8，⊙B 与⊙O 相交于点C 、D ，⊙O 的直径CF 与⊙B 相交于点E ，设⊙B 的半径为x ，OE 的长为y ，

（1） 如图7，当点E 在线段OC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2） 当点E 在直径CF 上时，如果OE 的长为3，求公共弦CD 的长；

（3） 设⊙B 与AB 相交于G ，试问△OEG 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出BC 的长度（不必写过程）；

如果不能，请简要说明理由．

图7

课后作业

1. 如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线214

10189

y x x =

--与x 轴的交点为点B ,过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P ,Q 分别从O,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t (单位:秒)

(1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;

(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程;

(3)当0＜t ＜9

2

时,△PQ F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;

(4)当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程．

2 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，

OA=2，OC=3。过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E 。 （1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G 。如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为

5

6

，那么EF=2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。