平面上两点间距离、点到直线距离公式

例5、已知P0(-1,2)到直线 L：3x=2的距离。
解1 : d
| 3 ( 1) 0 2 |
2 2
3 0 2 5 解2 : d | 1 | 3 3
5 3
例6、A(1,3)、B(3,1)、C(-1.0) 求△ABC的面积。
y0 x 1 解 : BC所在直线方程 : 即x 4 y 1 0 1 0 31 | BC | (1 0) ( 3 1) 17
2 7 8 解 : , l1 // l 2 , 6 21 1 1 l 2可化为 : 2 x 7 y 0 3 1 | 8 | 3 23 53 d 2 2 159 2 ( 7 )
例8、已知直线l过点 A(0, 10) ，且原点 O到直线l的距离为 5，求直线l的方程.
2 2
x 2x 5
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
| PB | ( x 2) 2 (0 7 ) 2 | PA || PB | 2 2 x 2 x 5 x 4 x 11 解得 : x 1, P (1,0) | PA | (1 1) (0 2) 2 2
2 2
5 3 5 3
二、坐标平面上距离公式:
1、设P1(x1，y1)、 P2(x2，y2)，则：
两点间距离: | P1 P2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
2
2、点P(x0，y0)、直线l：Ax+By+C=0，则: 点到直线的距离: d
| Ax0 By0 C | A B
aA1 bB1 C1 0 A1 x B1 y C1 0 x a A x B y C 0 y b 2 2 2
直线上的点
y l
2x y 3 0
P(x,y) x
(1)点（ ， 1 5）在直线上吗？ (2)点（2，）在直线上吗？ 7
x x y 0 解 : (1)l1 l 2 , 解方程组 3 x 3 y 10 0 y 所以 l1与l 2交点为 ( 5 , 5 ) 3 3 3 1 4 ( 2) , 6 2 1 3 4 5 ( 3) , 6 8 10 l1 // l 2 l1与l 2重合
解 : 设所求直线为 : y kx 10 , 则 d | 0 0 10 | k ( 1)
2 2 2 2

5
k ( 1) 2 k 1 所求直线为 : y x 10
2 2
10 h 2 2 17 1 4 1 1 10 S ABC | BC | h 17 5 2 2 17
| 1 4 3 1 |
例7、已知直线 l1 : 2x 7 y 8 0 和 与 l2 : 6x 21y 1 0,l1与l2是否平行？若平 行,求l1与l2的距离.
1 1 由2 x 3 y 1 0令 x 0得y ; y 0得x 3 2 1 1 直线与 x轴交于 A( ,0), 与y轴交于 B(0, ). 2 3 1 L过A关于 y轴对称点 ( ,0)和B点, L方程为 2 x y 1即: 2 x 3 y 1 0 1 1 2 3
2
D(b,c) C(a+b,c)
| AC | (a b ) c
2 2
| BD |2 (b a ) 2 c 2
2 2
A(0,0) B(a,0)
2
| AC | | BD | 2(a b c ) | AB |2 | BC |2 | CD |2 | AD |2 2(a 2 b 2 c 2 ) 结论成立 .
例2、判断下列各对直线的位置关 系，如相交则求交点坐标：
(1)l1 : x y 0; l 2 : 3 x 3 y 10 0 ( 2)l1 : 3 x y 4 0; l 2 : 6 x 2 y 1 0 ( 3)l1 : 3 x 4 y 5 0; l 2 : 6 x 8 y 10 0
x 2 4 x 11
例4、证明平行四边形四条边的 平方和等于两条对角线的平方和。
解 : 设A(0,0), B(0, a ), D(b, c ), 则C (a b, c ) | AB | a ,
2 2 2 2 2 2 2
| CD | a
2 2 2
2 2
| AD | b c , | BC | b c
(3)点（3， 8）在直线上吗？
直线的方程就是直线上每一 点坐标满足的一个关系式.
例1、求下列直线的交点坐标：
l1 : 3 x 4 y 2 0 l2 : 2 x y 2 0
3 x 4 y 2 0 x 2 解 : 解方程组 2 x y 2 0 y 2 所以 l1与l 2交点为 ( 2,2)
2、已知L的方程：2x+3y+1=；则 （1）将L向上平移2个单位得：_________ （2）将L向左平移2个单位得：_________ （3）将L绕（1,－1）转90°得_________
2 1 (1)由2 x 3 y 1 0得y x 3 3 2 1 所求直线 : y x 2, 即2 x 3 y 5 0 3 3 3 1 ( 2)由2 x 3 y 1 0得x y 2 2 3 1 3 5 所求直线 : x y 2, 即x y 即2 x 3 y 5 0 2 2 2 2 2 3 ( 3)k L , 所求直线斜率 k 3 2 3 所求直线方程 : y 1 ( x 1)即: 3 x 2 y 5 0 2
复习：3.2 直线的方程
1、点斜式： y y0 k ( x x0 ) 2、斜截式： y kx b
3、两点式：
4、斜距式：
y y1 x x1 y2 y1 x 2 x1
x y 1 a b
5、一般式： Ax By C 0
复习练习： 1、L与2x+3y+1=0关于y轴对称，求L的直 线方程。
2 2
3、直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0，则:
两平行线间距离:
d
| C1 C 2 | A B
2 2
例3、已知A（-1,2）,B(2， 7 ), 在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，求 |PA|的值。
解 : 设P ( x ,0), 则 | PA | ( x 1) (0 2)
一、两直线的交点(坐标):
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0, 则l1与l2的交点P坐标(x,y)就是方程组的解:
A1 x B1 y C1 0 A x B y C 0 2 2 2
点A 直线L 点A在L上 直线L1∩L2=A A坐标(a,b) L方程：Ax+By+C=0