2021新高考版大一轮复习用书数学第二章 强化训练

max＝1－ ＝ ，所以 m≤ ，
4x＋1
4x＋1
4＋1 5
5
3
即实数 m 的最大值为 . 5
x＋1 13．(2020·福州模拟)已知函数 f (x)(x∈R)满足 f (－x)＝2－f (x)，若函数 y＝ 与 y＝f (x)图
x
m
象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 ∑ (xi＋yi)等于( )
由 a＞b＞0，得 f (a)＜f (b)＜0，f (a)＝g(a)，f (b)＝g(b)；
对于 A，f (b)－f (－a)＜g(a)－g(－b)⇔f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)＜0 (因为 f (a)＝g(a)在 a
＞0 上成立)，所以 A 正确；
对于 B，f (b)－f (－a)＞g(a)－g(－b)⇔f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)＞0，这与 f (b)＜0 矛盾，
所以 f (x)＋f (2－x)＝0，f (x)＋f (4－x)＝0，
所以 f (2－x)＝f (4－x)，即 f (x)＝f (x＋2)，
所以 f (x)是以 2 为周期的函数．
所以函数 f (x)的图象关于点(－3,0)，(－2,0)，(－1,0), (0,0)对称．
3
( ) 9．(2019·衡水中学调研)已知定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (x)＝－f x＋ ，且 f (3)＝3，则 f 2
i＝1
A．0 B．m C．2m D．4m
ຫໍສະໝຸດ Baidu
答案 B
x＋1 1
x＋1
解析 因为 f (x)＋f (－x)＝2，y＝ ＝1＋ .所以函数 y＝f (x)与 y＝ 的图象都关于点(0,1)
x
x
x
m
m
m
对称，所以 ∑ xi＝0， ∑ yi＝ ×2＝m，故选 B.
i＝1
i＝1
2
14．已知函数 f (x)＝Error! 则 f (2 019)＝________.
所以 f (x)在(0,3)上是减函数．
3．若函数 f (x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则 g(x)＝2ax3＋bx2＋9x 是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
答案 A
解析 由 f (x)是偶函数可得 b＝0，
∴g(x)＝2ax3＋9x，
∴g(x)是奇函数．
4．(2019·湖北武汉重点中学联考)已知偶函数 f (x)在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若 f (2x
①f (x)＝sin x；②f (x)＝tan x；③f (x)＝Error!④f (x)＝Error!则它们共同具有的性质是( )
A．周期性
B．偶函数
C．奇函数
D．无最大值
答案 C
解析 f (x)＝sin x 为奇函数，周期为 2π 且有最大值；
f (x)＝tan x 为奇函数且周期为 π，但无最大值；
而 f (2)＝0，f (1)＝log2(1＋1)＝1， 故 f (2 021)＋f (－2 022)＝1.
12．已知 g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足 g(x)－h(x)＝2x，若存在 x∈[－1,1]，使得不等
式 m·g(x)＋h(x)≤0 有解，求实数 m 的最大值．
解 因为 g(x)－h(x)＝2x，①
强化训练 函数的性质
1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( )
A．f (x)＝ x C．f (x)＝2x＋2－x
1 B．f (x)＝
x2
D．f (x)＝－cos x
答案 B
1 解析 函数 f (x)＝ 是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．
x2
9
2．函数 f (x)＝x＋ (x≠0)是( ) x
所以 B 错误；
对于 C，f (a)＋f (－b)＜g(b)－g(－a)⇔f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]＜0，这与 f (a)＜
f (b)符合，所以 C 正确；
对于 D，f (a)＋f (－b)＞g(b)－g(－a)⇔f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]＞0，这与 f (a)＜
令 x1＝x2＝－1，有 f (1)＝f (－1)＋f (－1)， 1
所以 f (－1)＝ f (1)＝0. 2
令 x1＝－1，x2＝x，有 f (－x)＝f (－1)＋f (x)， 所以 f (－x)＝f (x)， 又 f (x)的定义域关于原点对称，所以 f (x)为偶函数． (3)依题设有 f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x)是偶函数，所以 f (x－1)<2，等价于 f (|x－ 1|)<f (16)． 又 f (x)在(0，＋∞)上是增函数． 所以 0<|x－1|<16，解得－15<x<17 且 x≠1. 所以 x 的取值范围是{x|－15<x<17 且 x≠1}．
A．奇函数，且在(0,3)上是增函数
B．奇函数，且在(0,3)上是减函数
C．偶函数，且在(0,3)上是增函数
D．偶函数，且在(0,3)上是减函数
答案 B
9
9
9
( ) 解析 因为 f (－x)＝－x＋ ＝－ x＋ ＝－f (x)，所以函数 f (x)＝x＋ 为奇函数．
－x
x
x
9
又 f′(x)＝1－ ，在(0,3)上 f′(x)<0 恒成立， x2
作出 f (x)＝Error!的图象(图略)，由图象可知此函数为奇函数但无周期性和最大值；
作出 f (x)＝Error!的图象(图略)，由图象可知此函数为奇函数但无周期性和最大值．
所以这些函数共同具有的性质是奇函数． 7．(多选)定义在 R 上的奇函数 f (x)为减函数，偶函数 g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与 f (x)的 图象重合，设 a＞b＞0，则下列不等式中成立的是( ) A．f (b)－f (－a)＜g(a)－g(－b) B．f (b)－f (－a)＞g(a)－g(－b) C．f (a)＋f (－b)＜g(b)－g(－a) D．f (a)＋f (－b)＞g(b)－g(－a) 答案 AC 解析 函数 f (x)为 R 上的奇函数，且为单调减函数， 偶函数 g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与 f (x)的图象重合，
0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在 f (x＋1)＝f (－x＋1)中，令 x＝1，可得 f (2)＝f (0)＝0，所以 f (1)
＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.
所以 f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝505[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0.
16．函数 f (x)的定义域为 D＝{x|x≠0}，且满足对于任意 x1，x2∈D，有 f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)． (1)求 f (1)的值； (2)判断 f (x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果 f (4)＝1，f (x－1)<2，且 f (x)在(0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围． 解 (1)因为对于任意 x1，x2∈D， 有 f (x1·x2)＝f (x1)＋f (x2)， 所以令 x1＝x2＝1，得 f (1)＝2f (1)，所以 f (1)＝0. (2)f (x)为偶函数，证明如下：
答案 1 010 解析 当 x>0 时，f (x)＝f (x－2)＋1， 则 f (2 019)＝f (2 017)＋1＝f (2 015)＋2＝… ＝f (1)＋1 009＝f (－1)＋1 010, 而 f (－1)＝0，故 f (2 019)＝1 010.
15．已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x－4)＝－f (x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程 f (x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1＋x2＋x3＋x4＝________. 答案 －8 解析 因为定义在 R 上的奇函数满足 f (x－4)＝－f (x)，所以 f (x－4)＝f (－x)．由 f (x)为奇函 数，所以函数图象关于直线 x＝2 对称，且 f (0)＝0.由 f (x－4)＝－f (x)知 f (x－8)＝f (x)，所以 函数的周期为 8.又因为 f (x)在区间[0,2]上是增函数，所以函数在区间[－2,0]上也是增函数， 作出函数 f (x)的大致图象如图所示，那么方程 f (x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，不妨设 x1<x2<x3<x4，由对称性可知 x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以 x1＋x2＋x3 ＋x4＝－8.
f (b)矛盾，所以 D 错误．
8．(多选)(2020·济南模拟)函数 f (x)的定义域为 R，且 f (x＋1)与 f (x＋2)都为奇函数，则( )
A．f (x)为奇函数
B. f (x)为周期函数
C．f (x＋3)为奇函数
D. f (x＋4)为偶函数
答案 ABC
解析 由 f (x＋1)与 f (x＋2)都为奇函数知函数 f (x)的图象关于点(1,0)，(2,0)对称，
f (2)＝－f (0)＝0，
f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log2(1＋1)＝－1. (2)依题意得，当 x≥0 时，f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
即当 x≥0 时，f (x)是以 4 为周期的函数．
因此，f (2 021)＋f (－2 022)＝f (2 021)＋f (2 022)＝f (1)＋f (2)．
11．已知函数 f (x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于 x≥0，都有 f (x＋2)＝－f (x)，且当
x∈[0,2)时，f (x)＝log2(x＋1)，求：
(1)f (0)，f (2)，f (3)的值；
(2)f (2 021)＋f (－2 022)的值．
解 (1)f (0)＝log21＝0，
所以 g(－x)－h(－x)＝2－x.
又 g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，所以 g(x)＋h(x)＝2－x，②
2x＋2－x
2－x－2x
联立①②，得 g(x)＝
，h(x)＝
.
2
2
2x－2－x 4x－1
2
由 m·g(x)＋h(x)≤0，得 m≤
＝ ＝1－ .
2x＋2－x 4x＋1
4x＋1
2
2
23
3
( ) 因为 y＝1－ 为增函数，所以当 x∈[－1,1]时， 1－
－1)≥－1，则 x 的取值范围为( )
A．(－∞，－1]
B．[1，＋∞)
C．[0,1]
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案 C 解析 由题意，得 f (x)在(－∞，0]上单调递增，且 f (1)＝－1，所以 f (2x－1)≥f (1)，则|2x－ 1|≤1，解得 0≤x≤1.故选 C. 5．若定义在 R 上的奇函数 f (x)满足对任意的 x∈R，都有 f (x＋2)＝－f (x)成立，且 f (1)＝8， 则 f (2 019)，f (2 020)，f (2 021)的大小关系是( ) A．f (2 019)<f (2 020)<f (2 021) B．f (2 019)>f (2 020)>f (2 021) C．f (2 020)>f (2 019)>f (2 021) D．f (2 020)<f (2 021)<f (2 019) 答案 A 解析 因为定义在 R 上的奇函数 f (x)满足对任意的 x∈R，都有 f (x＋2)＝－f (x)成立，所以 f (x＋4)＝f (x)，即函数 f (x)的周期为 4，且 f (0)＝0，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－8，所 以 f (2 019)＝f (4×504＋3)＝f (3)＝－8，f (2 020)＝f (4×505)＝f (0)＝0，f (2 021)＝f (4×505＋ 1)＝f (1)＝8，即 f (2 019)<f (2 020)<f (2 021)． 6．(2019·北京大兴区模拟)给出下列函数：
＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝________.
答案 0
解析 因为 f (x)为奇函数，f (x＋1)为偶函数，所以 f (x＋1)＝f (－x＋1)＝－f (x－1)，所以 f (x
＋2)＝－f (x)，所以 f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以函数 f (x)的周期为 4，所以 f (4)＝f (0)＝
(2 022)＝________.
答案 3
3
( ) 解析 ∵f (x)＝－f x＋ ， 2
33
3
[( ) ] ( ) ∴f (x＋3)＝f x＋ ＋ ＝－f x＋ ＝f (x)．
22
2
∴f (x)是以 3 为周期的周期函数．
则 f (2 022)＝f (673×3＋3)＝f (3)＝3.
10．已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，f (x＋1)是偶函数，当 x∈(2,4)时，f (x)＝|x－3|，则 f (1)