最新高二上学期数学期中考试卷含答案

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，总分值为150分。

考试用时120分钟。

本卷须知：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题(共40分) 【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，在每题给同的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，那么
A. A ⊂≠B
B. B ⊂≠A
C.A=B
D.A ∩B=∅ 2．在一组样本数据〔x 1，y 1〕，〔x 2，y 2〕，…，〔x n ，y n 〕〔n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等〕的散点图中，假设所有样本点〔x i ，y i 〕(i =1,2,…,n )都在直线y =1
2
x +1上，那么这组样本数据的样本相关系数为
A.－1
B. 0
C.1
2
D.1
3．正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，假设点〔x ，y 〕在△ABC 内部，那么z=－x+y 的取值范围是 A. (1－3，2) B. (0，2) C. (3－1，2) D. (0，1+
3)
4．设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋
y 2
b
2
＝1(a >b >0)的
左、右焦点，P 为直线x =3a
2
上一点，
△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，那么E 的离心率为〔 〕 A.12 B. 23 C.34 D.45 5.〝
〞的含义是〔 〕
A. a ，b 不全为0
B. a ，b 全不为0
C. a ，b 至少一个为0
D. a 不为0且b 为0，或b 不
为0且a 为0
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，那么此几何体的体积为〔 〕 A.6 B.9 C.12 D.18
7．ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π
4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像
的两条相邻的对称轴，那么φ=( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.3π
4
8．数列{}n a 满足11a =，
21
114n n a a ++=，记数列{}2n a 前n 项的和为S n ，假设2130
n n t
S S +-≤对任意的*n N ∈ 恒成立，那么正整数t 的最小值为 〔 〕 A 、10
B 、9
C 、8
D 、7
第二部分 非选择题(共110分)
【二】填空题：本大题共6个小题，每题5分，共计30分。

9. 不等式2x 2-x-1>0的解集是 10. 把89化为二进制的结果是 11. 如右图所示的程序框图输出的结果是_______
12. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，那么AB AD ⋅=
13. 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，那么该组数据的方差___2=s
14. 曲线C 是平面内与两个定点F 1〔-1，0〕和F 2〔1，0〕的距离的积等于常数 a 2 (a >1)的点的轨迹.给出以下三个结论：
① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；
③假设点P 在曲线C 上，那么△F 1PF 2的面积不大于2
1
a 2。

其中，所有正确结论的序号是
【三】解答题：本大题共6个小题，总分值80分。

解答应写出文字
说明、证明过程或推演步骤。

15. 〔本小题总分值12分〕 函数()tan 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
．
〔1〕求9f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
〔2〕设3,
2απ⎛⎫
∈π ⎪⎝⎭，假设234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值．
16．〔本小题总分值12分〕16．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～１８岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下：
求：〔1〕根据直方图可得这100名学生中体重在(56，64)的学生人数.
〔2〕请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.5-18岁的男生体
重.
〔3〕假设在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？
17. 〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥P ABCD -ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点。

〔1〕假设PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
〔2〕点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，
使//PA 平面MQB .
18．〔本小题总分值14分〕等差数列{}n a 中，13a =，前项和为n S ，等
比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比2
2
S q b = 〔1〕求n a 与n b ； 〔2〕求
12111
n
S S S +++… 频率 组距
0.08
0.07
0.06 0.05 0.04
0.03 0.02
0.01
54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 体重〔kg 〕
_________学号：_______________
•••••••••••••••••••••• 封 •••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••O
19．〔本小题总分值14分〕双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x E 的两条渐近
线分别为x y l x y l 2:,2:21-==. 〔1〕求双曲线E 的离心率；
〔2〕如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点〔B A ,分别在第【一】四象限〕，且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？假设存在，求出双曲线
E 的方程；假设不存在，说明理由。

20. 〔本小题总分值14分〕设函数f (x )=a
x
-x 〔1〕假设13
log [8()]y f x =-在[1,+∞]上是单调递减函
数，求实数a 的取值范围.
〔2〕设1,a x y k =+=，假设不等式22()()()2k f x f y k
⋅≥-对一切(,)(0,)x y k ∈恒成立，求实数k 的取值范围.
题号 得分
本卷须知：
O •••••••••••••••••••••• 密•••••••••••••••••••••• O •••••••••••••••••••••• 封 ••••••••••••••••••••••
O •••••••••••••••••••••• 线••••••••••••••••••••••O
班级：_______________姓名：_______________学号：_______________ •••••••••••••• 密•••••••••••••••••••••• O •••••••••••••••••••••• 封 •••••••••••••••••••••• O •••••••••••••••••••••• 线••••••••••••••••••••••O
字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域内的相应位置上答题，超出指定区域的答案无效。

2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；
不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

答 案
〔2〕解：因为3tan 3444f ααπππ
⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
…………5分 ()tan α=+π………6分tan 2α==．………7分
所以
sin 2cos α
α
=，即sin 2cos αα=． ① 二．填空题 (本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答卷的相应位置)
9. 10. 11.
12. 13. 14. 【三】解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15. 16. 17．
18.
20.
19.
因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21
cos 5
α=．…………………9分 因为3,
2απ⎛⎫
∈π ⎪
⎝
⎭
，所以5cos α=，25sin α=10分 所以cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
cos cos sin sin 44
ααππ
=+……………11分
52252310
525210⎛=-+-⨯=- ⎝⎭
．……12分 16.〔1〕
)(401004.0100207.0205.003.0人）（=⨯=⨯⨯+⨯+……4分 〔2〕可利用平均数来衡量该地区17.5-18岁的男生体重：
）
（（kg 2.652)02.07504.07304.07105.06906
.06708.06507.06305.06105.05903.05701.055=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
……8分
〔3〕P=14.02205.003.001.0=⨯⨯++）（ ……12分 17.解：〔1〕连BD ，四边形ABCD 菱形， ∵AD ⊥AB ， ∠BAD=60°
△ABD 为正三角形， Q 为AD 中点， ∴AD ⊥BQ …………1分
∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，AD ⊥PQ ……2分 又BQ ∩PQ=Q …………3分 ∴AD ⊥平面PQB ，……4分 AD 平面PAD …………5分 ∴平面PQB ⊥平面PAD …………6分
〔2〕当13
t =时，//PA 平面MQB ......7分 连AC 交BQ 于N (9)
分
由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽，1
2
AQ AN BC NC ∴
==……10分 //PA 平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面MQB MN =，
//PA MN ∴
……12分
13PM AN PC AC == 即：13
PM PC = 1
3t ∴=……14分
18．解：〔I 〕由可得22312
3q a a q q ++=⎧⎪+⎨
=⎪⎩
……2分 解直得，3q =或4q =-〔舍去〕，……4分
26a =……5分
3(1)33n a n n ∴=+-= 13n n b -=……7分
〔2〕证明：(33)12211
()2(33)31
n n n n S S n n n n +=
∴==-++……9分 121112*********
(1)(1)322334131
n S S S n n n ∴
+++=-+-+-+
+-=-++
…………14分 19．解法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-.
所以2,2,b c a a
==∴=,……3分 从而双曲线E 的离心率e =……4分
(2)由(1)知,双曲线E 的方程为22
2214x y a a
-=.
设直线l 与x 轴相交于点C.
当l x ⊥轴时,假设直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点, 那么,4OC a AB a ==, ……9分
又因为OAB ∆的面积为8,
所以118,48,22
2
OC AB a a a =∴⋅=∴=.
此时双曲线E 的方程为22
1416
x y -=.
假设存在满足条件的双曲线E,那么E 的方程只能为22
1416x y -=.……8分
以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：22
1416
x y -=也满足条件.
设直线l 的方程为y kx m =+,依题意,得k>2或k<-2.
那么(,0)m
C k
-，记1122(,),(,)A x y B x y .
由2y x y kx m =⎧⎨=+⎩
,得122m y k =-,同理得222m y k =+.由
121
2
OAB S OC y y ∆=
-得, 1228222m m m k k k -⋅
-=-+即222444(4)m k k =-=-.
由22
1416
y kx m x y =+⎧⎪⎨-
=⎪⎩得, 222(4)2160k x kmx m ----=.因为240k -<, 所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---,
又因为224(4)m k =-.所以0∆=,即l 与双曲线E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E,且E 的方程为
22
1416
x y -=.……14分 20. 〔1〕令，要使
在[1,+∞〕上是单调递减等价于
由
得1-a+8>0
a<9
由u(x)在上是增函数，即对,恒成立，解得，所以-1≤a≤9……6分
〔2〕由条件f(x)f(y)=(+2，令xy=t，由x+y=k，那么t
令g(t)=f(x)f(y)=,t∈(0,
当1-g(t)单调递增，那么，条件不成立.
当1-时，，当且仅当t=取到等号.
时，即0<k.
且
②时,那么
所以0<k……14分。