§1.5、向量函数的积分

r S
(
)
总
1、体积分 体积分的定义 体积分公式：
结
∫
V
r r r r r r r r f ( x )dV = ( ∫ f x ( x )dV )i + ( ∫ f y ( x )dV ) j + ( ∫ f z ( x )dV )k
V
= ∫∫∫
V
r r r r r r f x ( x )dVi + ∫∫∫ f y ( x )dV j + ∫∫∫ f z ( x )dVk
所以：
∫
r l
r r r r r r f ( x ) ⋅ dl = ∫ f ( x ) ⋅ nl dl r r r = ∫ f x ( x ) cos α + f y ( x ) cos β + f z ( x ) cos γ dl r r r = ∫ f x ( x ) cos α dl + f y ( x ) cos β dl + f z ( x ) cos γ dl
1 ∫∫ ydydz = ∫0 ydy ∫0 dz = ∫0 y(1 − y)dy = 6 S4 1 1− y 1 ∫∫ zdydz = ∫0 dy ∫0 zdz = 6 S4
∫∫ dydz = ∫ dy ∫
0 S4
1
1− y
0
1 dz = 2
所以：
1 1 1 1 ∫ xdydz = 2 − 6 − 6 = 6 S4
r Stokes公式：设空间曲面 S是光滑的有界曲面，其边界l是一条 公式： 公式
r S V
分段光滑的闭曲线，设函数
r r 在 S 和l上连续，在 S 上具有一阶偏导数，则：
r r r r T f ( x ) = ( P ( x ), Q( x ), R ( x ))
∫
r l
r r r r r r f ( x ) ⋅ dl = ∫∫ ∇ × f ( x ) ⋅ dS
r r 在R3空间， f ( x ) 可以表示为： r r r r r r r r f ( x ) = f x ( x )i + f y ( x ) j + f z ( x ) k r r 若 S 的法向量的单位向量为： S = (cos α , cos β , cos γ ) n
r r 则：∆S = ∆SnS
§1.5、向量函数的积分 1.5、
1、体积分
r r ( x ) 在V中定义的函数。
设D是R3中的一个体积元V， f
定义（体积分） 定义（体积分）：设 ∆V1 , LL, ∆Vn 是V的一个分割， r ∆V = max {∆V1 , LL, ∆Vn } ，任取点 xi ∈ ∆Vi ，作和式：
∑
i =1
r r r = ∫∫∫ f x ( x )dV , ∫∫∫ f y ( x )dV , ∫∫∫ f z ( x )dV V V V
T
体积分的计算规则： (1) 设 a 为常向量， ( x )为数量函数，则： u
r
r
r r r r ∫ au( x )dV = a ∫ u( x )dV
所以，沿球面外侧的积分为：
r r r r r r r r (x) ∫r r ( x ) ⋅ dS = ∫r r ( x ) ⋅ r dS S S
= ∫ rdS = ∫ rr 2 d Ω
= 4π
r S
r S
3、曲线积分
r r r 我们可以定义 f ( x )在曲线 l 上的积分。 r 定义(曲线积分 曲线积分)：设 l 为空间内由点A到点B的一条有向光滑曲 定义 曲线积分 r 线，任取分段点 A = M 0 , M 1 , LL, M n = B ，把 l 分成n个有向
r S r S r S
r S
r 例2：设 S 是平面 x + y + z = 1 和三个坐标平面 x = 0, y = 0, r r T z = 0 所围的闭曲面，求 r = ( x, y, z ) 沿 S 的外侧的曲面 r S 解： S如图表示， 1 , S 2 , S3 是分别表示三角形 OAB,OBC,OCA所围平面， 4 代表ABC的 S
则：
∫
V
r r r r r r r r f ( x )dV = ( ∫ f x ( x )dV )i + ( ∫ f y ( x )dV ) j + ( ∫ f z ( x )dV )k
V V V
T
r r r = ∫ f x ( x )dV , ∫ f y ( x )dV , ∫ f z ( x )dV V V V
S2 S3
对于S 4 ，则：
S4
r r r ∫∫ r ( x ) ⋅ dS = ∫∫ [ xdydz + ydxdz + zdxdy ]
S4
而：
S4
∫∫ xdydz = ∫∫ (1 − y − z )dydz
S4
= ∫∫ dydz − ∫∫ ydydz − ∫∫ zdydz
S4
1
S4
1− y
1
S4
T
∫ xdV = ∫∫∫ xdxdydz
V V
= ∫ xdx ∫
0
1
1− x
0 1− x
dy ∫
1− x − y
0
dz
= ∫ xdx ∫
0
1
0
(1 − x − y )dy
y 1 1 = ∫ xdx (1 − x ) y − = ∫ x(1 − x) 2 dx 0 2 0 2 0 1 = 24
积分。
r r r ∫∫ r ( x ) ⋅ dS = ∫∫ [ xdydz + ydxdz + zdxdy ]
r S r S
所围三角形，则：
对于 S1 ，z=0，dz=0，则：
r r r ∫∫ r ( x ) ⋅ dS = 0
S1
同理：
r r r r r r ∫∫ r ( x ) ⋅ dS = ∫∫ r ( x ) ⋅ dS = 0
1 2
1− x
同理：
1 ∫ ydV = ∫∫∫ ydxdydz = 24 V V 1 ∫ zdV = ∫∫∫ zdxdydz = 24 V V
最后得：
r r 1 1 1 1 T ∫ r ( x )dV = 24 , 24 , 24 = 24 (1,1,1) V
T
2、曲面积分
最后得：
∫
r l
r r r f ( x ) ⋅ dl = 3
4、Gauss公式和Stokes公式 r Gauss公式 公式： Gauss公式：设空间曲面 S 是分片光滑的双侧闭曲面，其内部 区域记为V ，设函数 r r r r T f ( x ) = ( P( x ), Q( x ), R( x )) r 在 S 和 V 上连续，在 V 内具有一阶偏导数，则： r r r r r ∫∫ f ( x ) ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ f ( x )dV
r r r f (2) 设 a 为常向量， ( x )为向量函数，则： r r r r r r ∫ a ⋅ f ( x )dV = a ⋅ ∫ f ( x )dV
V V V V
r r r f (3) 设 a 为常向量， ( x )为向量函数，则： r r r r r r ∫ a × f ( x )dV = a × ∫ f ( x )dV
n
r r f ( xi )∆Vi
当 ∆V → 0, n → ∞ 时，若和式的极限存在，且与V的划分与
r r r xi 的选取无关，则称这个极限为 f ( x )在V上的积分，记做 r r ∫ f ( x )dV
V
r r 在R3空间， f ( x ) 可以表示为：
r r r r r r r r f ( x ) = f x ( x )i + f y ( x ) j + f z ( x ) k
r r r 我们可以定义 f ( x )沿 S 一侧的积分。 r r r r r 定义(曲面积分 曲面积分)：设 f ( x ) 在空间曲面 S上有定义， S1 , LL, ∆Sn 定义 曲面积分 ∆ r 为 S 的任意一个分割，记 ∆S = max {∆S1 ,L, ∆Sn }，任取点
r r xi ∈ ∆Si，作和式：
V V
V
V
2、面积分 r r r r r r ∫ f ( x ) ⋅ dS = ∫ f ( x ) ⋅ nS dS
S r S
r r r f x ( x )dydz + f y ( x )dxdz + f z ( x )dxdy = ∫ r
S
3、线积分
∫
r l
r r r r r r f ( x ) ⋅ dl = ∫ f ( x ) ⋅ nl dl
沿曲线正向的积分。 r r r r uuu uuu uuu 解：l 由 AB, BC , CA 围成，
∫
r l
r r r f ( x ) ⋅ dl = ∫ ( z − y ) dx +
r l
( x − z ) dy + ( y − x ) dz
uuu r 对于 AB ，z=0，dz=0，则： r r r ∫r f ( x ) ⋅ dl = uuur ( z − y ) dx + ( x − z ) dy + ( y − x ) dz ∫ uuu
线段，定义 ∆li = M i −1M i ，记 ∆l = max {∆l1 , L, ∆ln }，任取点 设l是R3中的一条简单、分段光滑的空间有向曲线
r l ，
r r xi ∈ ∆li，作和
∑
i =1
n
r r r f ( xi ) ⋅∆li
r 当 ∆l → 0, n → ∞ ，和式的极限存在且和曲线的划分与 xi 的 r r r 选取无关，则称这个极限为 f ( x ) 沿曲线 l 的曲线积分，记作 r r r ∫ f ( x ) ⋅ dl
所以：
∫
S
r r r r r r f ( x ) ⋅ dS = ∫ f ( x ) ⋅ nS dS
r r r = ∫ f x ( x ) cos α + f y ( x ) cos β + f z ( x ) cos γ dS r r r = ∫ f x ( x ) cos α dS + f y ( x ) cos β dS + f z ( x ) cos γ dS r r r = ∫ f x ( x )dydz + f y ( x )dxdz + f z ( x )dxdy
AB
=
∫ [ − ydx + xdy ] = − ∫ (1 − x)dx + ∫ (1 − y )dy
uuu r AB 0
1 1 0
AB
= − ∫ (1 − x)dx + ∫ (1 − y )dy = 1
1 0
0
1
同理：
uuur BC
∫
r r r f ( x ) ⋅ dl =
uuu r CA
∫
r r r f ( x ) ⋅ dl = 1
同理：
1 ∫ ydzdx = S∫ zdxdy = 6 S4 4
最后得：
r 1 r r ∫r r ( x ) ⋅ dS = 2 S
r r 2 2 2 例3：设 S 是球面 x + y + z = 1 ，求 r = ( x, y, z )T
沿球面外侧的积分。
r r 解：对于球面来说，其任意点 x 的法向分量为 r 0
V V
例1：设V是平面 x + y + z = 1 和三个坐标平面x=0,y=0
r z=0所围的区域，求 r = ( x, y, z )T 在V上的体积分。
解： V如图表示，则：
r r ∫ r ( x )dV = V xdV , V ydV , V zdV ∫ ∫ ∫ V
分别计算三个分量的积分，首先：
设D是R3中的一块简单、分块光滑的空间有向曲面
r S，
∑
i =1
n
r r r f ( xi ) ⋅∆Si
r 当 ∆S → 0, n → ∞ 时，若和式的极限存在，且与 S 的划分与 r r r r xi的选取无关，则称这个极限为 f ( x )在 S上的积分，记做
∫
r S
r r r f ( x ) ⋅ dS
r l
r r 在R3空间， f ( x )可以表示为： r r r r r r r r f ( x ) = f x ( x )i + f y ( x ) j + f z ( x ) k r r 若 l 的法向量的单位向量为： l = (cos α , cos β , cos γ ) n
r r 则： ∆l = ∆lnl
r r r = ∫ f x ( x )Leabharlann Baidux + f y ( x )dy + f z ( x )dz
r l
r l
r l
r l
r 例4：设 l 为平面 x + y + z = 1 与三个坐标平面的交线所围的
闭曲线，曲线方向如图所示，求函数
r f ( x ) = ( z − y, x − z , y − x)T