第十八章 隐函数定理及其应用

第十八章 隐函数定值及其应用

§1 隐函数

教学目的 掌握隐函数概念，理解隐函数定理，学会隐函数求导法． 教学要求

(1)掌握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明要点；学会隐函数求导法． (2)掌握隐函数定理的证明． 教学建议

(1) 本节的重点是隐函数定理，学会隐函数求导法．要求学生必须熟记隐函数定理的条件与结论，了解隐函数定理的证明要点．

(2) 本节的难点是隐函数定理的严格证明，对较好学生在这方面提出要求． 教学程序

一、 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. （一）、隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍.

（二）、隐函数的两个问题: 1 隐函数的存在性； 2 隐函数的解析性质. 二、 隐函数存在条件的直观意义: 三、 隐函数定理:

定理: ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件:

1 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2R ⊂上连续 ;

2 ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 )

3 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ;

4 ),(00y x F y 0=/.

则在点0P 的某邻域Y (0P )⊂D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间

) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得

1 )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x Y (0P )且

()0)( , ≡x f x F .

2 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 .

例1 设vw x =2，uw y =2，uv z =2 及 ),,(),,(w v u F z y x f =，证明

w v u z y x wF vF uF zf yf xf ++=++

证 方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧===uv

z uw y vw x 222 确定了函数组 ⎪⎩⎪

⎨⎧===),,(),,(),,(w v u z z w v u y y w v u x x ，先求这个函数组对各变元的偏导数，

为此，对方程组求微分得

⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=udv vdu zdz udw wdu ydy vdw wdv xdx 222， 即 ⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=

dv z

u du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 222222 故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂w z v z u z w y v y u y w x v x u x ⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

=0 2 2 2 0 2 2 2 0 z u

z v y u y

w x v x w 将函数组代入方程),,(),,(w v u F z y x f =，得关于变元w v u ,,的方程

),,()),,(),,,(),,,((w v u F w v u z w v u y w v u x f =，

在这方程两边分别对w v u ,,求偏导，得 u z y x

F u z f u y f u x f =∂∂+∂∂+∂∂, v z y x F v z f v y f v x f =∂∂+∂∂+∂∂, w z y x F w

z f w y f w x f =∂∂+∂∂+∂∂, 将上面三式分别乘以w v u ,,后再相加，得 ++z uv f y uw f z y

22z

uv

f x vw f z x 22+y uw f x vw f y x 22++,

w v u wF vF uF ++=.

将vw x =2，uw y =2，uv z =2代入即得

w v u z y x wF vF uF zf yf xf ++=++.

例2 若),(y x f z =有连续二阶偏导数，满足方程2

22222)(y x z y

z x z ∂∂∂=∂∂∂∂，

证明：若把),(y x f z =中y 看成z x ,的函数，则它满足同样形状的方程 2

22

22

2)(z x y z y x y ∂∂∂=∂∂∂∂. 证 由),(y x f z =确定y 是z x ,的函数，则有)),(,(z x y x f z =，方程两边分别对z x ,求偏导，得

x

y

y f x f ∂∂∂∂+∂∂=

0, （1） z

y

y f ∂∂∂∂=

1 , （2） (1)式再分别对z x ,求偏导，得

2

2222222)(20x y

y f x y y f x y y x f x

f ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂= , (3) z x y

y f z y x y y f z y y x f ∂∂∂∂∂+

∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=22220, （4） (2)式再对z 求偏导，得

2

2222)(0z y

y f z y y f ∂∂∂∂+∂∂∂∂= , （5） 由（3）（5）式

22222)(z y y f x f ∂∂∂∂∂∂])(2[2

2222222x y

y f x y y f x y y x f z y y f ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂= ])(2[)(2

2222

222222x y y f x y y x f z y y f y f z y x y ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂= ])(2[)()(2

22222222222x y y f x y y x f z y y f y f z y x y ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂= (由（5）式)

]2[)(2222222222z y

x y y f z y y x f z y x y y f y f z y x y ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂=, 由（4）式

222222)()(z

x y y f z y x y y f z y y x f ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂