圆锥曲线离心率的取值范围的解题方法

圆锥曲线离心率的取值范围的解题方法

一、利用曲线的范围，建立不等关系

例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。

解：设因为，所以

将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

二、利用曲线的几何性质数形结合，构造不等关系

例2．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。

解：如图1，若，则L与双曲线只有一个交点；若，则L与双曲线的两交点均

在右支上，

例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。

解：如图2，因为△ABF2是等腰三角形，所以只要∠AF2B是锐角即可，即∠AF2F1<45°。则

三、利用定义及圆锥曲线共同的性质，寻求不等关系

例4．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，且，求此双曲线的离心率e的取值范围。

解：因为P在右支上，所以

又得

所以又

所以

例5．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。

解：由题意得因为，所以，从而

，。又因为P在右支上，所以。

。

。

四、利用判断式确定不等关系

例6．例1的解法一：

解：由椭圆定义知

例7．设双曲线与直线相交于不同的点A、B。求双曲线的离心率e的取值范围。

解：