长宁区2021届高三一模数学卷官方【定稿】含答案

B. 必要非充分条件 ；
C. 充要条件；
D. 既非充分又非必要条件.
14. 对任意向量 、 ，下列关系式中不恒成立的是（ ）.
A．
；
B．
C．
；
D．
； .
15. 设 、 为两条直线， 、 为两个平面，则下列命题中假命题是（ ）.
A．若
，
，
，则
； B．若
，
，
，则
；
C．若
，
，
，则
； D．若
，
，
，则
.
16. 设
………………8 分
18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）
解：设
，
，
高三数学试卷 共 4 页 第 5页
（1）
，得
直线 的方程 所以
代入 ，
…………2 分 得，
…………4 分
所以 （2）抛物线
的准线方程为
设
，由 的方程为
…………7 分 …………1 分
，
得
…………4 分
高三数学试卷 共 4 页 第 4页
2020 学年长宁第一学期高三数学质量检测试卷
参考答案与评分标准
一．填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1—6 题每题 4 分，第 7---12 题每题 5 分）考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．
2．Βιβλιοθήκη Baidu
3．
4．
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．
（2）设 为坐标原点，直线 与 的准线交于点 ，求证：直线 平行于 轴．
19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域
沿边界围成一个
封闭的留观区. 经测量，边界 与 的长度都是 20 米，
，
.
（1）若
，求 的长（结果精确到米）；
，在 中都存在一项 ，使得
，
则称数列 为“X 数列”；若对于数列 中的任意一项
，在 中都存在两项
、
，使得
，则称数列 为“Y 数列”．
（1）若数列 说明理由；
（2）若数列
为首项为 1 公差也为 1 的等差数列，判断数列
的前 项和
，求证：数列
是否为“X 数列”，并 为“Y 数列”；
（3）若数列 为各项均为正数的递增数列，且既为“X 数列”，又为“Y 数列”， 求证： 成等比数列.
（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）.
高三数学试卷 共 4 页 第 3页
20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
设
，其中常数
.
（1）判断函数 （2）若不等式
的奇偶性，并说明理由；
在区间
上有解，求实数 的取值范围；
.
8. 设集合
，
，若
，则实数 的取值范围为
.
9. 设 为双曲线
的右焦点， 为坐标原点， 、 是以 为直径的
圆与双曲线 渐近线的两个交点．若
，则
.
10. 在
中，
，
，点 在边 上. 若
，
，
则
的值为
.
11. 设 为坐标原点，从集合
两点的坐标
、
，则
中任取两个不同的元素 ，组成 、
的概率为
.
12. 设公差不为 的等差数列 的前 项和为 . 若数列 满足：存在三个不同的正整
解：（1）
底面
由题意高
，底面半径
，
所以母线
………………2 分
圆锥的侧面积
………………6 分
（2）取 的中点为 ，因为 为 的中点
所以
，
就是直线 与直线 所成的角 ………………2 分
因为
，
，
所以
平面
，
平面
，
………………4 分
在 Rt△PNM 中，
，
…………6 分
所以
的正切值为
即直线 与直线 所成的角正切值为
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）设 、 为该圆锥的底面半径，且
，
为线段 的中点，求直线 与直线 所成的角的正切值．
高三数学试卷 共 4 页 第 2页
18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）
设抛物线
的焦点为 ，直线
经过 且与 交于 、 两点．
（1）若
，求 的值；
，其中常数
，
.若函数
的图像如图所示，则数组
的一组值可以是（ ）.
A.
；
B.
；
C.
；
D.
.
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤．
17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
如图，已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，高为 ，底面半径为 ．
12．
二．选择题(本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分)每题有且只有一个正确选项．考生应在 答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. B 14. D 15. C 16 . A
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 须的步骤． 17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
（3）已知：若对函数
定义域内的任意 ，都有
，则函
数
的图像有对称中心
.利用以上结论探究：对于任意的实数 ，函数
是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用 表示)；若不是，证明你的结论.
21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）
若对于数列 中的任意两项 、
2020 学年长宁第一学期高三数学教学质量检测试卷
考生注意： 1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上 的答案一律不予评分． 3．本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 不等式
的解集为
.
2. 函数
的最小正周期为
.
3. 计算：
__________．
4. 数组 2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6 的中位数为
.
5. 在
的二项展开式中， 项的系数为__________．
6. 若函数 值为
的反函数 .
图像经过点
，则
的
7. 若直线
的法向量与直线
的方向向量垂直，则实数
数
，使得
成等比数列，
也成等比数列，则
为
.
高三数学试卷 共 4 页 第 1页
的最小值
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应
在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 设复数
（其中
， 为虚数单位），则“
”是“ 为纯虚数”的（ ）.
A. 充分非必要条件；