2019-2020年高中数学 第三章 直线与方程章末知识整合 新人教A版必修2

2019-2020年高中数学 第三章 直线与方程章末知识整合 新人教A

版必修2

专题一 直线的倾斜角和斜率

直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．

1．倾斜角α与斜率k 的对应关系：当α≠90°时，k ＝tan α；当α＝90°时，k 不存在．

2．单调性：当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k 由0逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0.

3．经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1

x 2－x 1

(x 1≠x 2)，注意当x 1＝x 2时，直线斜率不存在．

已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)． (1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；

(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的取值范围．

解析：(1)k AB ＝1－1

1－（－1）＝0，

∴AB 倾斜角为0°.

k BC ＝

3＋1－1

2－1

＝3，

∴BC 倾斜角为60°.

k AC ＝

3＋1－12＋1＝3

3

，

∴AC 倾斜角为30°.

(2)如题图，当D 在AB 上变化时，斜率k 由k CA 增大到k CB ， ∴k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

33，3. ►跟踪训练

1．若直线ax ＋y ＋2＝0与连接点A (－2，3)，B (3，2)的线段有交点，则a 的取值范围是________．

解析：容易发现，直线ax ＋y ＋2＝0过定点P (0，－2)，因此，要使直线与线段AB 始终有交点，如图所示，当直线绕P 点在PA 、PB 之间旋转时，直线ax ＋y ＋2＝0与连接点A (－2，3)、B (3，2)的线段有交点，而ax ＋y ＋2＝0的斜率k ＝－a ，当直线由PB 开始绕P 点逆时针旋转时(不与y 轴重合)，到PA 为止，直线与线段AB 始终有交点，此时，斜率的变化为：当直线ax ＋y ＋2＝0的倾斜角为锐角时：k ≥k PB ，而k PB ＝43，即－a ≥43，所以a ≤－4

3

；

当直线ax ＋y ＋2＝0的倾斜角为钝角时：

k ≤k PA ，而k PA ＝－52

，

即：－a ≤－52，所以a ≥5

2.

答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫52，＋∞

2．过点A (8，6)引三条直线l 1，l 2，l 3，它们的倾斜角之比为124，若直线l 2的方程是y ＝3

4

x ，求直线l 1，l 3的方程． 解析：设直线l 2的倾斜角为α，

则tan α＝34，于是tan α2＝1－cos α

sin α＝1－4535＝13

，

tan 2α＝2tan α1－tan 2

α＝2×34

1－⎝ ⎛⎭⎪

⎫342＝24

7. 故直线l 1的方程为y －6＝1

3(x －8)，

即x －3y ＋10＝0.

l 3的方程为y －6＝247

(x －8)，

即24x －7y －150＝0. 专题二 两直线的平行与垂直 两直线平行或垂直的判定方法：

如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，那么系数a 等于( ) A ．－6 B ．－3 C ．－32 D.2

3

解析：由题意⎩

⎪⎨⎪⎧a ×（－1）－2×3＝0，

a ×（－2）－3×2≠0，得a ＝－6.

答案：A ►跟踪训练

3．已知直线l 1经过点A (2，a )，B (a －1，3)，直线l 2经过点C (1，2)，D (－2，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值． 解析：直线l 2的斜率为k 2，则

k 2＝

2－（a ＋2）1－（－2）＝－a 3

.

(1)若l 1∥l 2，则l 1的斜率k 1＝－a

3

，

又k 1＝a －3

3－a

＝－1，∴a ＝3.

(2)若l 1⊥l 2，

①当k 2＝0时，此时a ＝0，且k 1＝－1，不合题意． ②当k 2≠0时，l 1的斜率存在，且k 1＝－1， 由k 2·k 2＝－1，可得a ＝－3. 专题三 直线方程的五种表示形式

直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，注意每一种方程形式的适用条件，必要时对特殊情况进行讨论．

过点P (－1，0)，Q (0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．

解析：当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别是x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，适合题意．

当两条直线斜率存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y －2＝

kx .

令y ＝0，得x ＝－1与x ＝－2

k

.

由题意|－1＋2

k

|＝1，即k ＝1.

∴直线的方程为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2， 即x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.

综上可知，适合题意的直线方程为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.

►跟踪训练

4．求过点P(1，2)的直线，且使A(2，3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程．解析：x＝1显然符合条件；当A(2，3)，B(0，－5)在所求直线的同侧时，k AB＝4，∴y －2＝4(x－1)，

即4x－y－2＝0.

综上，符合题意的直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.

5．已知直线Ax＋By＋C＝0，

(1)系数为什么值时方程表示通过原点的直线．

(2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交．

(3)系数满足什么条件时只与x轴相交．

(4)系数满足什么条件时是x轴．

解析：(1)把原点(0，0)代入Ax＋By＋C＝0，得C＝0；

(2)此时斜率存在且不为零即A≠0且B≠0；

(3)此时斜率不存在，且不与y轴重合，即B＝0且C≠0；

(4)A＝C＝0，且B≠0.

专题四距离问题

两点间的距离、点到直线的距离、平行线间的距离是高考考查热点，公式见下表：

直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线的距离为32，求直线l的方程．

解析：当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y＝kx，由点到直线的距离公式可得32