人教版高中数学函数的单调性教案

基础巩固强化

一、选择题

1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝2－3x 2 B ．y ＝ln x C ．y ＝1

x －2

D ．y ＝sin x

[答案] C

[解析] A 中，y ′＝－6x ，当－10，当0

(x －2)2

<0对x ∈(－1,1)恒成立，∴函数y ＝1

x －2在区间(－1,1)上是减函数；D 中，y ′＝cos x >0对x ∈(－

1,1)恒成立，∴函数y ＝sin x 在(－1,1)上是增函数．

2．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数

C ．在(0，1e )上是减函数，在(1

e ，6)上是增函数 D ．在(0，1e )上是增函数，在(1

e ，6)上是减函数 [答案] A

[解析] ∵f ′(x )＝1＋1

x >0， ∴函数在(0,6)上单调递增．

3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0，

有f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时，有( )

A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0

B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0

C ．f ′(x )<0′，g ′(x )>0

D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 [答案] B

[解析] 由已知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∵x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，

∴f (x )，g (x )在(0，＋∞)上递增． ∴x <0时，f (x )递增，g (x )递减． ∴x <0时f ′(x )>0，g ′(x )<0.

4．(2012·辽宁文，8)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)

[答案] B

[解析] 本题考查利用导数求函数的单调区间．

∵y ＝12x 2－ln x ，∴y ′＝x －1x ＝x 2

－1

x (x >0)，

令⎩⎪⎨⎪⎧

x 2－1x ≤0x >0

，得0

∴函数的单调递减区间为(0,1]．

需要熟记基本初等函数的求导公式，同时注意区间的端点．

5．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.⎝ ⎛

⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，π2 C.⎝ ⎛

⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π [答案] A

[解析] y ′＝x cos x ，当－π

2时， cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，

当－π

20，∴y ′＝x cos x <0. 当0

2时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0. 当π

2

6．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )

[答案] B

[解析] 因为二次函数在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减，所以其导函数在(－∞，0)上大于0，在(0，＋∞)上小于0，故选B.

二、填空题

7．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为________． [答案] (－∞，－1

3)，(1，＋∞)

[解析] ∵y ′＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)， ∴由y ′>0得，x >1或x <－1

3.

8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1,3)，则b ＝________，c ＝________.

[答案] －3 －9

[解析] f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，

由条件知⎩⎨

⎧

f ′(－1)＝0

f ′(3)＝9

，即⎩⎨

⎧

3－2b ＋c ＝027＋6b ＋c ＝0

，

解得b ＝－3，c ＝－9.

9．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．

[答案] [3，＋∞)

[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax ≤0在区间(0,2)内恒成立，

即a ≥3

2x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3. 三、解答题

10．讨论函数f (x )＝bx

x 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．

[解析] ∵f (x )＝bx

x 2－1(－1

∴f ′(x )＝(bx )′(x 2－1)－bx (x 2－1)′

(x 2－1)2

＝bx 2－b －2bx 2(x 2－1)2＝－b (1＋x 2)(x 2－1)2

∵－10，(x 2－1)2>0，

①当b >0时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递减． ②当b <0时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递增.

能力拓展提升

一、选择题

11．若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )