选修2-3第一章计数原理导学案
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探究任务一 ：分类计数原理 问题 1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字 给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号 码？ 分析：给座位编号的方法可分____类方法? 第一类方法用 ，有___ 种方法; 第二类方法用 ，有___ 种方法; ∴ 能编出不同的号码有__________ 种方法. 新知 ：分类计数原理－加法原理： 如果完成一件工作有两类不同的方案，由第 1 类 方案中有 m 种方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的 方法，那么，完成这件工作共有 m n 种不同的方 法. 试试 ：一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会 用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完 成，从中选出 1 人来完成这项工作，不同选法的种 数是 . 反思 ：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法 原理可以推广到两类以上的方法吗？ 探究任务二 ：分步计数原理 问题 2： 用前六个大写的英文字母和 1～9 九个阿拉
※ 动手试试
练 1. 某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一 个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多 少种不同的进出商场的方式？
课后作业
1. 设 x, y N ， x y 4 ，则在直角坐标系中满 足条件的点 M x, y 共有 个；
2.在在平面直角坐标系内，斜率在集合 B=｛ 1，3， 5，7｝ , y 轴上的截距在集合 C=｛ 2， 4，6， 8｝ 内取值的不同直线共有 条. 练 2. 由数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个三位 数？（各位上的数允许重复） 3. 有 3 个班的同学分别从 5 个风景点中选择一处游 览，不同选法种数是 . 4. 在 1～ 20 共 20 个整数中取两个数相加,使其和为 偶数的不同取法共有 种. 5. 用 1，2，3 三个数字，可组成 数字的自然数. 个无重复
学习过程
一、课前准备 （预习教材 P2~ P5，找出疑惑之处） 复习 1 从高二（1）班的 50 名学生中挑选 1 名同学 担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结 果？
复习 2：一次会议共 3 人参加，结束时，大家两两 握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共 有多少？
二、新课导学 ※ 学习探究
学习过程
一、课前准备 （预习教材 P5Leabharlann Baidu P10，找出疑惑之处） 复习 1：什么是分类计数原理？什么是分步计数原 理？它们在使用时的主要区别是什么？
复习 2：现有高二年级某班三个组学生 24 人，其中 第一、二、三组各 7 人、 8 人、 9 人，他们自愿组 成数学兴趣小组. ⑴ 选其中 1 人为负责人， 有多少种不同的选法？ ⑵ 每组选 1 名组长，有多少种不同的选法？
变式 ：电子元件很容易实现电路的通与断，电位的 高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状 态.因此计算机内部就采用了每一位只有 0 或 1 两种 数字的计数法， 即二进制 .为了使计算机能够识别字 符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或 两个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的 最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成 .问： ⑴ 一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字 符？ ⑵ 计算机汉字国标码包含了 6763 个汉字，一个汉 字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字 至少要用多少个字节表示？
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 正确选择是分类还是分步的方法 2. 分类要做到“不重不漏” ，分步要做到“步骤完 整”.
6. 一个班级有 8 名教师，30 位男同学， 20 名女同 学，从中任选教师代表和学生代表各一名，共有不 同的选择种数为 .
※ 知识拓展
乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法 计数原理和分类加法计数原理也有类似关系.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
） .
※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：
1. 一个商店销售某种型号的电视机， 其中本地产品 有 4 种，外地产品有 7 种，要买 1 台这种型号的 电视机，有 种不同的选法. 2. 某班有男生 30 人， 女生 20 人， 现要从中选出男， 女各 1 人代表班级参加比赛，共有 种不同选法. 3. 乘 积 a1 a2 an b1 b2 bn 展 开 后，共有 项.
小结 ：加法原理针对的是分类问题，其中的各种方 法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件 事.
例 2 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的 体育书， （1 ） 从书架上任取 1 本书， 有多少种不同的取法？ （2）从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少 种不同的取法？
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一 ：两个原理的应用 问题 ：给程序模块命名，需要用 3 个字符，其中首 字符要求用字母 A～G 或 U～Z, 后两个要求用数字 1～9.问最多可以给多少个程序命名？
小结 ：使用分步计数原理时，要注意各步中所有的 可能情况，做到不重不漏.
新知 ：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的 是在开始计算之前进行仔细分析，正确选择是分类 还是分步.分类要做到“不重不漏” ，分类后再分别 对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要 做到“步骤完整” ，完成所有步骤，恰好完成任务. 试试 ： 积 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 展开后共有多少项？
4. 要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上日班 和晚班，有 种不同的选法. 变式 ：要从甲，乙，丙 3 副不同的画中选出 2 副， 分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少 种不同的选法？ 5. 一种号码拨号锁有 4 个拨号盘， 每个拨号盘上有 从 0 到 9 共 10 个数字， 这 4 个拨号盘可以组成 个 四位数号码.
1
※ 典型例题
例 1 在填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到， A,B 两大学都有一些自己感兴趣的专业，具体 如下： A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 那么，这名同学可能的专业选择共有多少种 ?
变式 ： 在上题中， 如果数学也是 A 大学的强项专业， 则 A 大学共有 6 个专业可以选择，B 大学共有 4 个 专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同 学可能的专业选择共有 6 4 10 种 . 这种算法对 吗？
课后作业
小结 ：在解决实际问题中，要分清题意，正确选择 加法原理和乘法原理，乘法原理针对的是分步问 题，其中的各步骤相互依存，只有各个步骤都完成 才算完成这件事. 1. 如图，从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丁地 有 3 条路；从甲地到丙地有 4 条路，从丙地到丁地 有 2 条路 .从甲地到丁地共有多少条 不同的路线？
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 什么是分类加法原理？加法原理使用的条件是 什么？ 2. 什么是分步乘法原理？乘法原理使用的条件是 什么？
※ 知识拓展 集合 A 中有 n 个元素， 则集合 A 的子集的个数有 n 2 个.
学习评价
2
§ 1.1. 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理（2）
学习目标
1. 能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原 理、分步计数原理； 2. 能综合运用两个 原理解 决一些 简单的 实际问 题； 3. 会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理 的作用.
学习过程
一、课前准备 （预习教材 P14~ P18，找出疑惑之处） 复习 1：交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办 法，每一个汽车牌照都必须有 2 个不重复的英文字 母和 4 个不重复的阿拉伯数字，并且 2 个字母必须 合成一组出现，4 个数字也必须合成一组出现.那么 这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
学习评价
4
§ 1.2.1. 排列（1）
学习目标
1. 理解排列、排列数的概念； 2. 了解排列数公式的推导.
反思 ：排列问题有何特点？什么条件下是排列问 题？ 探究任务二 ：排列数及其排列数公式 新知 2 排列数的定义 从 个 元素中取出 （ m n ）个元素 的 的个数，叫做从 n 个不同元素取出 m 元素的排列数，用符合 表示 . 试试 ： 从 4 个不同元素 a，b, c，d 中任取 2 个， 然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的 排列方法？
2. 某电话局管辖范围内的电话号码由 8 位数字组 成，其中前 4 位的数字是不变的，后 4 位数字都 是 0 到 9 之间的一个数字，那么这个电话局最多 有 个. 3. 用 1，5， 9， 13 中的任意一个数作分子， 4， 8， 12，16 中任意一个数作分母，可以构成 个不 同的分数，可以构成 个不同的真分数. 4. 在平面直角坐标系内， 横坐标与纵坐标均在集合 ｛0，1，2，3，4，5｝内取值的不同点共有 个. 5. 有 4 名同学分别报名参加学校的足球队，篮球 队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同 的报名种数是 .
※ 动手试试
练 1. 现有高一年级的学生 3 名， 高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名. ⑴ 从中任选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种 不同的选法？ ⑵ 从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的 活动，有多少种不同的选法 ?
2. 如图，一条电路从 A 处到 B 处接通时，可有多 少条不同的线路？
3
例 2 计算机编 程人员在编好 程序以后需要 对程序进行测 试.程序员 需要 知道到底有多 少条执行路径， 以便知道需要 提供多少个测 试数据.一般地， 一个程序模块 由许多子模块组成 .如图， 它是一个具有许多执行路
径的程序模块 .问：这个程序模块有多少条执行路 径？
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
） .
※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：
1. 从 5 名同学中选出正， 副组长各一名， 共有 不同的选法. 种
变式 ：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车 拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容 .交通管 理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车 牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复 的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现， 3 个数字也必须合成一组出现. 那么这种办法共能 给多少辆汽车上牌照？
反思 ：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个 原理，有时还可能多次使用同一原理.
※ 典型例题
例 1 核糖核酸 （RNA） 分子是生物细胞中发现的化 学成分.一个 RNA 分子是一个有着数百个甚至数千 个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为 碱基的化学成分所占据.总共有 4 中不同的碱基， 分 别是 A,C,G,U 表示.在一个 RNA 分子中，各种碱基 能够以任意次序出现，所以在任意位置上的碱基与 其他位置的碱基无关 .假设有一类 RNA 分子有 100 个碱基组成，那么能有多少种不同的 RNA 分子？
§ 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理（1）
学习目标
1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理； 2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步； 3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.
伯数字，以 A1 , A2 , , B1 , B2 , „的方式给教室的座 位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 分析：每一个编号都是由 个部分组成，第一部 分是 ，有____种编法，第二部分是 ， 有 种编法；要完成一个编号，必须完成上面两 部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码 一共有 个. 新知 ：分步计数原理－乘法原理： 完成一件工作需要两个步骤， 完成第 1 步有 m 种 不同的方法， 完成第 2 步有 n 种不同的方法， 那么， 完成这件工作共有 m n 种不同方法。 试试：从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条， 从 A 村经 B 村去 C 村， 不同的路 线有 条. 反思 ：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理 可以推广到两部以上的问题吗？
※ 动手试试
练 1. 某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一 个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多 少种不同的进出商场的方式？
课后作业
1. 设 x, y N ， x y 4 ，则在直角坐标系中满 足条件的点 M x, y 共有 个；
2.在在平面直角坐标系内，斜率在集合 B=｛ 1，3， 5，7｝ , y 轴上的截距在集合 C=｛ 2， 4，6， 8｝ 内取值的不同直线共有 条. 练 2. 由数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个三位 数？（各位上的数允许重复） 3. 有 3 个班的同学分别从 5 个风景点中选择一处游 览，不同选法种数是 . 4. 在 1～ 20 共 20 个整数中取两个数相加,使其和为 偶数的不同取法共有 种. 5. 用 1，2，3 三个数字，可组成 数字的自然数. 个无重复
学习过程
一、课前准备 （预习教材 P2~ P5，找出疑惑之处） 复习 1 从高二（1）班的 50 名学生中挑选 1 名同学 担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结 果？
复习 2：一次会议共 3 人参加，结束时，大家两两 握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共 有多少？
二、新课导学 ※ 学习探究
学习过程
一、课前准备 （预习教材 P5Leabharlann Baidu P10，找出疑惑之处） 复习 1：什么是分类计数原理？什么是分步计数原 理？它们在使用时的主要区别是什么？
复习 2：现有高二年级某班三个组学生 24 人，其中 第一、二、三组各 7 人、 8 人、 9 人，他们自愿组 成数学兴趣小组. ⑴ 选其中 1 人为负责人， 有多少种不同的选法？ ⑵ 每组选 1 名组长，有多少种不同的选法？
变式 ：电子元件很容易实现电路的通与断，电位的 高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状 态.因此计算机内部就采用了每一位只有 0 或 1 两种 数字的计数法， 即二进制 .为了使计算机能够识别字 符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或 两个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的 最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成 .问： ⑴ 一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字 符？ ⑵ 计算机汉字国标码包含了 6763 个汉字，一个汉 字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字 至少要用多少个字节表示？
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 正确选择是分类还是分步的方法 2. 分类要做到“不重不漏” ，分步要做到“步骤完 整”.
6. 一个班级有 8 名教师，30 位男同学， 20 名女同 学，从中任选教师代表和学生代表各一名，共有不 同的选择种数为 .
※ 知识拓展
乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法 计数原理和分类加法计数原理也有类似关系.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
） .
※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：
1. 一个商店销售某种型号的电视机， 其中本地产品 有 4 种，外地产品有 7 种，要买 1 台这种型号的 电视机，有 种不同的选法. 2. 某班有男生 30 人， 女生 20 人， 现要从中选出男， 女各 1 人代表班级参加比赛，共有 种不同选法. 3. 乘 积 a1 a2 an b1 b2 bn 展 开 后，共有 项.
小结 ：加法原理针对的是分类问题，其中的各种方 法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件 事.
例 2 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的 体育书， （1 ） 从书架上任取 1 本书， 有多少种不同的取法？ （2）从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少 种不同的取法？
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一 ：两个原理的应用 问题 ：给程序模块命名，需要用 3 个字符，其中首 字符要求用字母 A～G 或 U～Z, 后两个要求用数字 1～9.问最多可以给多少个程序命名？
小结 ：使用分步计数原理时，要注意各步中所有的 可能情况，做到不重不漏.
新知 ：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的 是在开始计算之前进行仔细分析，正确选择是分类 还是分步.分类要做到“不重不漏” ，分类后再分别 对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要 做到“步骤完整” ，完成所有步骤，恰好完成任务. 试试 ： 积 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 展开后共有多少项？
4. 要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上日班 和晚班，有 种不同的选法. 变式 ：要从甲，乙，丙 3 副不同的画中选出 2 副， 分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少 种不同的选法？ 5. 一种号码拨号锁有 4 个拨号盘， 每个拨号盘上有 从 0 到 9 共 10 个数字， 这 4 个拨号盘可以组成 个 四位数号码.
1
※ 典型例题
例 1 在填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到， A,B 两大学都有一些自己感兴趣的专业，具体 如下： A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 那么，这名同学可能的专业选择共有多少种 ?
变式 ： 在上题中， 如果数学也是 A 大学的强项专业， 则 A 大学共有 6 个专业可以选择，B 大学共有 4 个 专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同 学可能的专业选择共有 6 4 10 种 . 这种算法对 吗？
课后作业
小结 ：在解决实际问题中，要分清题意，正确选择 加法原理和乘法原理，乘法原理针对的是分步问 题，其中的各步骤相互依存，只有各个步骤都完成 才算完成这件事. 1. 如图，从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丁地 有 3 条路；从甲地到丙地有 4 条路，从丙地到丁地 有 2 条路 .从甲地到丁地共有多少条 不同的路线？
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 什么是分类加法原理？加法原理使用的条件是 什么？ 2. 什么是分步乘法原理？乘法原理使用的条件是 什么？
※ 知识拓展 集合 A 中有 n 个元素， 则集合 A 的子集的个数有 n 2 个.
学习评价
2
§ 1.1. 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理（2）
学习目标
1. 能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原 理、分步计数原理； 2. 能综合运用两个 原理解 决一些 简单的 实际问 题； 3. 会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理 的作用.
学习过程
一、课前准备 （预习教材 P14~ P18，找出疑惑之处） 复习 1：交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办 法，每一个汽车牌照都必须有 2 个不重复的英文字 母和 4 个不重复的阿拉伯数字，并且 2 个字母必须 合成一组出现，4 个数字也必须合成一组出现.那么 这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
学习评价
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§ 1.2.1. 排列（1）
学习目标
1. 理解排列、排列数的概念； 2. 了解排列数公式的推导.
反思 ：排列问题有何特点？什么条件下是排列问 题？ 探究任务二 ：排列数及其排列数公式 新知 2 排列数的定义 从 个 元素中取出 （ m n ）个元素 的 的个数，叫做从 n 个不同元素取出 m 元素的排列数，用符合 表示 . 试试 ： 从 4 个不同元素 a，b, c，d 中任取 2 个， 然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的 排列方法？
2. 某电话局管辖范围内的电话号码由 8 位数字组 成，其中前 4 位的数字是不变的，后 4 位数字都 是 0 到 9 之间的一个数字，那么这个电话局最多 有 个. 3. 用 1，5， 9， 13 中的任意一个数作分子， 4， 8， 12，16 中任意一个数作分母，可以构成 个不 同的分数，可以构成 个不同的真分数. 4. 在平面直角坐标系内， 横坐标与纵坐标均在集合 ｛0，1，2，3，4，5｝内取值的不同点共有 个. 5. 有 4 名同学分别报名参加学校的足球队，篮球 队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同 的报名种数是 .
※ 动手试试
练 1. 现有高一年级的学生 3 名， 高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名. ⑴ 从中任选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种 不同的选法？ ⑵ 从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的 活动，有多少种不同的选法 ?
2. 如图，一条电路从 A 处到 B 处接通时，可有多 少条不同的线路？
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例 2 计算机编 程人员在编好 程序以后需要 对程序进行测 试.程序员 需要 知道到底有多 少条执行路径， 以便知道需要 提供多少个测 试数据.一般地， 一个程序模块 由许多子模块组成 .如图， 它是一个具有许多执行路
径的程序模块 .问：这个程序模块有多少条执行路 径？
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
） .
※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：
1. 从 5 名同学中选出正， 副组长各一名， 共有 不同的选法. 种
变式 ：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车 拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容 .交通管 理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车 牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复 的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现， 3 个数字也必须合成一组出现. 那么这种办法共能 给多少辆汽车上牌照？
反思 ：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个 原理，有时还可能多次使用同一原理.
※ 典型例题
例 1 核糖核酸 （RNA） 分子是生物细胞中发现的化 学成分.一个 RNA 分子是一个有着数百个甚至数千 个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为 碱基的化学成分所占据.总共有 4 中不同的碱基， 分 别是 A,C,G,U 表示.在一个 RNA 分子中，各种碱基 能够以任意次序出现，所以在任意位置上的碱基与 其他位置的碱基无关 .假设有一类 RNA 分子有 100 个碱基组成，那么能有多少种不同的 RNA 分子？
§ 1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理（1）
学习目标
1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理； 2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步； 3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.
伯数字，以 A1 , A2 , , B1 , B2 , „的方式给教室的座 位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 分析：每一个编号都是由 个部分组成，第一部 分是 ，有____种编法，第二部分是 ， 有 种编法；要完成一个编号，必须完成上面两 部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码 一共有 个. 新知 ：分步计数原理－乘法原理： 完成一件工作需要两个步骤， 完成第 1 步有 m 种 不同的方法， 完成第 2 步有 n 种不同的方法， 那么， 完成这件工作共有 m n 种不同方法。 试试：从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条， 从 A 村经 B 村去 C 村， 不同的路 线有 条. 反思 ：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理 可以推广到两部以上的问题吗？