轴向拉伸(压缩)变形
《建筑力学》第五章-轴向拉伸和压缩
总结词
随着科技的发展，新型材料不断涌现，对新 型材料的轴向拉伸和压缩性能进行研究，有 助于发现更具有优良力学性能的材料，为工 程应用提供更多选择。
详细描述
近年来，碳纤维复合材料、钛合金等新型材 料在轴向拉伸和压缩方面的性能表现引起了 广泛关注。通过深入研究这些材料的力学特 性，可以进一步挖掘其潜在应用价值，为建 筑、航空航天、汽车等领域提供更轻质、高
2. 弹性模量计算
根据应力-应变曲线的初始直线段，计算材料的弹性模量，用于评估材料的刚度和抵抗弹性变形的能力 。
实验步骤与实验结果分析
3. 泊松比分析
通过测量试样在拉伸和压缩过程中的 横向变形，计算材料的泊松比，了解 材料在受力时横向变形的性质。
4. 强度分析
根据应力-应变曲线中的最大应力值， 评估材料的抗拉和抗压强度，为工程 实践中选择合适的材料提供依据。
供理论支持，确保结构的安全性和稳定性。
智能化技术在轴向拉伸和压缩领域的应用研究
要点一
总结词
要点二
详细描述
随着智能化技术的不断发展，其在轴向拉伸和压缩领域的 应用研究逐渐成为热点，有助于提高测试精度和效率，为 实验研究和工程应用提供有力支持。
例如，利用智能传感器和机器学习技术对轴向拉伸和压缩 实验进行数据采集和分析，可以提高实验的精度和效率。 同时，智能化技术的应用还可以为实验数据的处理、分析 和预测提供新的方法和手段，为实验研究和工程应用提供 更加全面和准确的数据支持。
特性
轴向拉伸和压缩时，物体在垂直 于轴线方向上的尺寸保持不变， 而在轴线方向上的尺寸发生改变 。
轴向拉伸和压缩的分类
按变形程度
可分为弹性变形和塑性变形。弹性变形是指在外力撤销后，物体能够恢复原状的 变形；塑性变形是指外力撤销后，物体不能恢复原状的变形。
工程力学16 轴向拉伸与压缩杆的变形
伸长量；(2)C截面相对B截面的位移
(相对位移）和C截面的绝对位移。 解：（2） 位移：指物体上的一些点、
B
B
B′
l2＝200
线、面在空间位置上的改变。 显然，两个截面的相对位移，
C
C
C′
在数值上等于两个截面之间的
F＝40 kN
那段杆件的伸长（或缩短）。 因A截面固定，所以C截面
因此，C截面与B 截面的
掌握：胡克定律表达式的应用 ； 轴向变形— —伸长量的计算 ——难点+重点
谢 谢!
解：（1） 变形：物体受力以后 发生尺寸和形状的改变。
B
B
B′
l2＝200
l1
FN l1 EA1
40 103 N 210 109 Pa
300 103 m 400 106 m2
0.143103m=0.143mm（伸长）
C
C
C′
F＝40 kN
l2
FN l2 EA2
40 103 N 210 109 Pa
实验表明,在材料正应力没有超过比例极限时，横向线应变与纵 向线应变之比为常数，用绝对值表示为
v
或写成
v
v称为横向变形因数或泊松比
无量纲，由实验测定
例1 已知： AB段:A1 ＝400mm2
A
BC段:A2 =250mm2 ,E=210GPa
l1＝300
求：(1)AB、BC段的伸长量及杆 的总伸长量；(2)C截面相对B截面 的位移和C截面的绝对位移。
200 103 m 250 102 0.143mm+0.152mm
0.152103m=0.152mm（伸长） 0.295mm（伸长）
例1 已知： AB段:A1 ＝400mm2
轴向拉伸与压缩
第七章轴向拉伸和压缩一、内容提要轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，是建筑工程中常见的一种变形。
(一)、基本概念1. 内力 由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。
这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。
2. 轴力 轴向拉（压）时，杆件横截面上的内力。
它通过截面形心，与横截面相垂直。
拉力为正，压力为负。
3. 应力 截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。
与截面相垂直的分量σ称为正应力，与截面相切的分量τ称为切应力。
轴拉（压）杆横截面上只有正应力。
4. 应变 单位尺寸上构件的变形量。
5. 轴向拉（压） 杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短的变形，称为轴向拉（压）。
6. 极限应力 材料固有的能承受应力的上限，用σ0表示。
7. 许用应力与安全系数 材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。
极限应力与许用应力的比值称为安全系数。
8. 应力集中 由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
(二)、基本计算1. 轴向拉（压）杆的轴力计算求轴力的基本方法是截面法。
用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。
求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图。
画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。
2. 轴向拉（压）杆横截面上应力的计算任一截面的应力计算公式 AF N =σ 等直杆的最大应力计算公式 AF max N max =σ 3. 轴向拉（压）杆的变形计算虎克定律 A E l F l N =∆εσE =或 虎克定律的适用范围为弹性范围。
泊松比 εε=μ'4. 轴向拉（压）杆的强度计算强度条件塑性材料： σma x ≤[σ] 脆性材料： σt ma x ≤[σt ] σ c ma x ≤[σc ] 强度条件在工程中的三类应用（1）对杆进行强度校核在已知材料、荷载、截面的情况下，判断σma x是否不超过许用值[σ]，杆是否能安全工作。
轴向拉伸与压缩的变形概念
轴向拉伸与压缩的变形概念轴向拉伸与压缩是材料在受到外力作用下发生的一种变形形式。
这两种变形形式本质上都是由于材料内部的原子或分子受到外力的影响而改变了其平衡位置从而引起的。
轴向拉伸与压缩的变形概念可以通过弹簧的拉伸与压缩来加以理解。
首先我们来看轴向拉伸的变形。
当作用在弹簧两端的力朝相反方向拉伸时，弹簧会发生轴向拉伸的变形。
这是因为受到拉力的作用，弹簧内部原子或分子之间的间距增大，原本处于平衡位置的原子或分子会发生位移，使得整个弹簧长度增加。
这种拉力作用下的变形被称为轴向拉伸变形。
接下来我们来看轴向压缩的变形。
当作用在弹簧两端的力朝相同方向压缩时，弹簧会发生轴向压缩的变形。
这是因为受到压力的作用，弹簧内部原子或分子之间的间距减小，原本处于平衡位置的原子或分子会发生位移，使得整个弹簧长度减小。
这种压力作用下的变形被称为轴向压缩变形。
轴向拉伸与压缩的变形概念实际上可以通过杨氏模量来更加详细地描述。
杨氏模量是一个材料的机械特性参数，它描述了材料在轴向拉伸和压缩变形时的抵抗能力。
杨氏模量越大，材料的抵抗能力越强，抗拉强度也就越大。
相反地，杨氏模量越小，材料的抗拉强度越低。
在材料实际应用中，轴向拉伸与压缩的变形是非常常见的。
比如在建筑、桥梁、汽车、飞机等工程领域中，钢材往往被用于受力构件中，它能够在受到拉力或压力时保持较好的稳定性。
而在金属加工、塑料成型等制造领域中，轴向拉伸与压缩的变形则常常是一种设计和生产工艺。
例如在金属加工中，通过轴向拉伸可以制造出细丝，而通过轴向压缩则可以制造出坯料。
总结起来，轴向拉伸与压缩是材料在受到外力作用下发生的一种变形形式。
轴向拉伸是指材料的长度增加，原子或分子之间的间距变大；轴向压缩是指材料的长度减小，原子或分子之间的间距变小。
这两种变形形式与杨氏模量密切相关，它描述了材料在受力时的抵抗能力。
在工程和制造领域中，轴向拉伸与压缩的变形是非常常见的，它们对于材料的选择、设计和生产工艺具有重要意义。
第四节：轴向拉伸和压缩时的变形
杆件在外力作用下会发生变形，当外力取消 时不消失或不完全消失而残留下来的变形。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
二、纵向变形和胡克定律：
1、纵向变形 杆件在轴向力作用下，杆的长度会发生变化，杆件长度的改
变量叫做纵向变形，用△l 表示。若杆件变形前长度为l ，变形后 长度为l
1
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
杆件的纵向变形与杆长l 有关，在其它条件相同时， 杆件愈长则纵向变形愈大。为了消除杆长对变形的影响， 常用单位长度的变形来描述杆件变形的程度。单位长度的 变形叫做线应变，用ε表示。
NI
E I EA N 或
I
I EA E
上式是胡克定律的的另一种形式，它表明在弹性受 力范围内，应力与应变成正比。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
例：图示为一两层的木排架，作用在横木上的荷载传给
立 柱 ， 其 中 一 根 柱 的 受 力 图 如 图 b 所 示 ， P1=30KN ， P2=50KN。柱子为圆截面，直径d=150mm。木材的弹性模量 E=10Gpa。求木柱的总变形。
解：木柱AB和BC两段轴力不同，应分 别求出两段变形，然后求其总和 （1）求轴力ຫໍສະໝຸດ 第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
三、横向变形 拉压杆产生纵向变形时，横向也产生变形。若杆件
变形前的横向尺寸为α，变形后为，则横向变形为向应变
为 ： 1
横向应变为
杆件受拉时，横向尺寸缩小，ε′为负值；杆件受 压时横向尺寸变大，ε′为正值。可见，轴向拉、压杆的 线应变与横向应变的符号总是相反。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
一、弹性变形与塑性变形 用手拉一根弹簧，当拉力不大时就放松，弹簧
轴向拉伸和压缩时的变形公式_概述及解释说明
轴向拉伸和压缩时的变形公式概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文主要介绍轴向拉伸和压缩下物体的变形公式及其解释说明。
在工程领域中，了解材料在不同应力条件下的变形规律对设计和使用具有重要意义。
轴向拉伸和压缩是常见的应力状态，通过研究这两种情况下的变形公式，可以帮助工程师更好地理解和预测物体的变形行为。
1.2 文章结构本文共分为四个部分进行阐述。
引言部分主要对文章进行总览和概述。
接下来,“2. 轴向拉伸时的变形公式”将详细介绍轴向拉伸过程中物体的变形规律，并包括弹性阶段和塑性阶段的应变公式以及变形模量的定义与计算方法。
“3. 轴向压缩时的变形公式”将探讨轴向压缩情况下物体的应变规律，并包括弹性阶段和塑性阶段的应变公式，以及计算压缩强度和稳定塑性流动区域大小的方法。
“4 结论”将总结轴向拉伸和压缩时的变形规律与公式，并展望其在工程实践中的意义和应用前景。
1.3 目的本文的目的是系统地介绍轴向拉伸和压缩时物体变形的公式及其解释说明。
通过深入探讨材料在不同应力状态下的变形规律，旨在增强读者对工程材料性能的理解，并提供有关设计和应用方面的参考。
此外，文章还将揭示轴向拉伸和压缩时变形公式的工程实践意义，为相关领域的研究者和从业人员提供参考。
2. 轴向拉伸时的变形公式2.1 弹性阶段的应变公式：在轴向拉伸时，当物体处于弹性阶段时，变形可以通过应变来描述。
应变是指物体在受力作用下产生的长度或形状改变与初始长度或形状之比。
弹性阶段的应变公式可以用胡克定律表示，即应力和应变成正比。
应变公式可以表示为：ε= σ/ E其中，ε表示轴向拉伸时的应变，σ表示受试样所受到的轴向拉伸力，E表示材料的弹性模量。
2.2 塑性阶段的应变公式：当材料超过其弹性极限，进入塑性阶段时，其应变特性就会发生改变。
塑性阶段的应变公式可以通过流动理论进行描述。
在塑性阶段中，通常采用等效塑性应变概念。
等效塑性应变是根据材料的真实应力-真实塑性曲线（即压缩-延展曲线）求得，在一定条件下模拟材料的本构关系。
材料力学--轴向拉伸和压缩
2、轴力图的作法：以平行于杆轴线的横坐标（称为基
线）表示横截面的位置；以垂直于杆轴线方向的纵坐
标表示相应横截面上的轴力值，绘制各横截面上的轴 FN
力变化曲线。
x
§2-2 轴力、轴力图
三、轴力图
FN
3、轴力图的作图步骤：
x
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；
②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧；
③标注正负号、各控制截面处 、单位及图形名称。
FN
4、作轴力图的注意事项： ①基线一定平行于杆的轴线，轴力图与原图上下截面对齐； ②正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④整个轴力图比例一致。
50kN 50kN 50kN
第二章 轴向拉伸和压缩
第二章
轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
§2 — 1 概述
§2 — 2 轴力 轴力图
目
§2 — 3 拉（压）杆截面上的应力
§2 — 4 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比
录
§2 — 5 材料在拉伸与压缩时的力学性质
§2 — 6 拉（压）杆的强度计算
§2 — 7 拉（压）杆超静定问题
FN
作轴力图的注意事项： ①多力作用时要分段求解，一律先假定为正方向，优先考虑直接法； ②基线‖轴线，正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，比例一致，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
§2 — 8 连接件的实用计算
§2-1 概述 §2-1 概述
——轴向拉伸或压缩，简称为拉伸或压缩，是最简单也是做基本的变形。
轴向拉伸或压缩的受力 (变形) 特点。
一．轴向拉伸或压缩的受力(变形) 特点。
1.轴向拉压变形的变形特点是在外力作用下，杆件沿轴线方向伸长或缩短。
2.轴向拉压变形的受力特点是直杆的两端沿杆轴线方向作用一对大小相等，方向相反。
3.杆件的几何特征是杆件的长度远远大于杆件的截面的宽度和厚度，梁、拱、桁架、刚架是杆件结构的典型形式。
4.杆件结构的基本受力形式，按其变形的特点分为五种：拉伸、压缩、弯曲、剪切、扭转，在实际当中往往是几种受力形式的组合。
扩展资料
杆件在土木、建筑、机械、船舶、水利等工程中应用很广。
在杆系结构中，数根杆件的汇交联结处为结点，在每一个结点，各杆端之间不得有相对线位移。
结点分为铰结点和刚结点，在铰结点上，各杆件之间的夹角可以自由改变，铰结点不能传递力矩。
在刚结点上，各杆件之间的夹角保持不变，刚结点能传递力矩。
对杆系结构，主要是研究它们在各种因素（如载荷、支座沉降、温度变化等）影响下的内力分布、变形和稳定性，为寻求既安全又有效又经济合理的结构形式和验算结构的强度、刚度、稳定性提供依据。
作为杆系结构分析基础的三个基本条件是：
（1）杆件材料的应力-应变关系，分为线性关系（服从胡克定律）和非线性关系。
（2）力系平衡条件，整个结构的力系，部分结构的力系，一个结点的力系，都应满足平衡条件。
（3）变形协调条件，即变形前为某一结点约束的各杆件在变形后仍为同一结点约束。
根据上述三个条件，可以推演出各种杆系结构的计算方法，用它们不仅能算出结构的杆件内力、支座反力，还能算出结构的变形。
结构内部的应力过大，会导致
结构失去承载能力；而结构的变形过大，或导致结构失去承载能力，或影响结构的正常使用。
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
轴向拉伸或压缩的受力(变形)特点
轴向拉伸或压缩的受力(变形)特点
在固体力学中，轴向拉伸或压缩（直轴）是指在杆件上加施一些受力，使其长度单向变化的加载方式，其受力(变形)行为典型的表现出特定的受力特征。
在直轴受力(变形)中，特定的受力特征包括非线性的轴向拉伸或压缩力学性能。
一般来说，轴向拉伸或压缩条件下加载固体时，固体的变形会随着载荷的增加而逐渐加大。
这一变形通常以增加的形式表示，而且可能伴随着扭转变形。
轴向拉伸或压缩条件下受力(变形)的另一个典型特征是大载荷时的弹性恢复性能，这是由于在轴向拉伸或压缩作用下，固体会经历一段加强期，而在达到非线性变形以及回弹时，力学性能又会有一段衰减期。
在实际应用中，受力(变形)过程需要充分考虑弹性恢复性能，以保证固体力学性能。
直轴受力(变形)的表现为应力-应变曲线，而应变的月的和特点也反映出固体的塑性行为。
此外，固体在应变过程中可能出现低周疲劳行为，此类现象反应出它的受力(变形)突变。
轴向拉伸或压缩受力(变形)的特点可以从分析中提取出来，这些特点包括受力随载荷的变化规律，受力弹性恢复以及对疲劳等应力及应变测试中的特殊行为。
直轴受力(变形)特点可以从几何变形、受力数据、图像处理和材料记录等方面来断定，以确定该结构的应变特征。
总之，轴向拉伸或压缩受力(变形)的特点是其受力行为表现出特定的力学特征，这些特征可以通过分析、观察等手段来确定，而这些特征对于掌握该结构及其力学性能有重要意义。
轴向拉伸或压缩变形
度变化与外力大小有何 关系？
2.剪切和挤压变形
剪切特点：作用于构件两侧面上外力的合力大小相等，方向 相反，且作用线相距很近；构件的两个力作用线之间的部分 相对错动。
挤压特点：受剪切作用的连接件，在传力的接触面上，由于 局部承受较大的压力，会出现塑性变形。
？ 怎样判断剪切面和挤压面？
⒊扭转变形 定义：由于受到两个力偶作用，引起的变形。 特点：力偶大小相等、转向相反、且均垂直于杆的轴线；各 横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。
？ 扭转时同一横截面哪一点变形最大？
4.弯曲变形 弯曲变形特点：在轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的 外力作用；梁的轴线由直线变成曲线。
三、杆件轴向拉伸和压缩时的强度校核
为了零件有足够的承载能力，零件必须满足下列基本要求： 足够的强度 足够的刚度 足够的稳定性 1. 内力的计算 ⑴内力计算步骤 截开 代替 平衡
例1 求下图所示拉杆的内力。
⑵ 轴力的符号规定 杆件受到轴向拉压作用时，其受力方向沿着轴线，因此将
轴向内力简称为轴力。 拉伸—拉力，其轴力为正值，方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值，方向指向所在截面。
一、杆件变形的基本形式
杆件或杆：零件的长度远大于横截面的尺寸。 基本变形：轴向拉伸（或压缩）、剪切和挤压变形、扭转变 形、弯曲变形四种。
1.轴向拉伸（或压缩变形） 定义：杆件在一对大小相等、方向相反、作用在一条直线上 的平衡力作用下，发生的轴向变形。
特点：外力的作用线 与杆轴线重合；杆件的 轴向长度发生伸长或缩 短。
2. 强度校核
为了保证拉（压）构件使用安全，必须使其最大应力不
超过材料在拉伸（压缩）时的许用应力，即
。
建筑力学第3章轴向拉伸与压缩
A
F
x
0
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 2 45° B
F
x
F
45°
y
0
B F
C
FN 1 sin 45 - F 0
FN 1 28.3kN FN 2 -20kN
A
2、计算各杆件的应力。
45°
C
B
FN 1 28.3 10 90MPa A1 20 2 4
斜截面上全应力：
p 0 cos
k
③pa 分解为：
p
P
P
p cos 0 cos 2
p sin 0 cossin
0
2
k
k
sin2
P
P
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。 当 = 0时， 当 = 90°时， 当 = ±45°时， 当 = 0,90°时，
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 - 150 103 -1.1 MPa Ⅱ 2 A2 370
所以，最大工作应力为
max= = -1.1 MPa (压应力）
三、 轴向拉（压）杆斜截面上的应力
上述讨论的横截面上的正应力是今后强度计算的基础。 但不同的材料实验表明，拉（压）杆的破坏并不总是沿横截 面发生，有时确是沿斜截面发生的，为此，应进一步讨论斜 截面上的应力。为了全面分析拉（压）杆的强度，应研究它 斜截面上的应力情况。
解(1)、(2)曲线交点处：
30
60
B 31;PB 54.4kN
1 1
PB1 ,60 A /cos60/sin604601024/ 355.44kN
建筑力学7轴向拉伸和压缩
三、低碳钢试件的应力--应变曲线(--图)
450 （MPa）
350
250
s
200
e
p
150
100
p e s
50
o
p
0.05
t
e
b b
0.15
1、弹性阶段（ oa 段）
oa 段为直线段， a 点对应的应力
称为比例极限，用 表示。 P
正应力和正应变成线性正比关系，
即遵循胡克定律， E
弹性模量E 和 的关系：
二、
工 程 实 例
• 桁架结构计算简图中，各杆均为二力杆：拉杆或压杆
上弦杆 （压杆）
腹杆 （压或
拉）
A
P
P
B
P
P
P
下弦杆 （拉杆）
§7–2 直杆横截面上的正应力
内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。 求内力的一般方法是截面法。
1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
求极值内力
危险截面判断
强度计算（强度校核、截 面设计、承载力验算）
§7－5 材料在拉伸和压缩时的力学性能
一、试验条件及试验仪器
1、试验条件：常温(20℃)；静载（及 其缓慢地加载）；标准试件。
2、试验仪器：万能材料试验机
二、低碳钢试件的拉伸图(P-- L图)
DL PL
DL
P
EA
L
EA E
试样变形集中到某一局部区域，由于该区 域横截面的收缩，形成了“颈缩”现 象最后在“颈缩”处被拉断。
代表材料强度性能的主要指标：
轴向拉伸和压缩—轴向拉(压)杆的变形(建筑力学)
轴向拉伸与压缩
例7-6 试求 例7-5中砖柱顶面位移。已知E=3GPa， lAB=3m， lBC=4m。
解 由于砖柱底端是固定端，所以 柱顶面位移等于全柱的总缩短变形。
AB段：
l AB
FNAB lAB EAAB
60 103 3103 3103 250 250 mm
0.96mm
长度的纵向变形，即纵向线应变，简称应变。
纵向线应变
l
l
线应变--每单位长 度的变形，无量纲。
△l以杆件伸长时为正，缩短时为负； 的正负号与△l
一致，因此，拉应变为正，压应变为负。
FP
a1
a
FP
l l1
杆的横向变形为
∆a =a1－a
杆在轴向拉伸时的横向变形为负值，压缩时为正值。
同理，将杆件的横向变形 除以杆的原截面边长，得杆件单
轴向拉伸与压缩
对于长度相同，轴力相同的杆件，分母EA越大，杆的纵向 变形⊿ l 就越小。
可见EA反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的 抗拉（压）刚度。
胡克定律的另一表达形式 或 E
E
在弹性范内，正应力与线应变成正比。
对于各段杆件截面面积不同或内力分段不同的拉压杆 ，在计算杆件变形量时，应分段计算，然后叠加，即：
轴向拉伸与压缩
三、胡克定律
实验表明：工程中使用的大部分材料都有一个弹性范围。
在弹性范围内， 杆的纵向变形量⊿ l 与杆所受的轴力FN ，杆的原长 l 成正比，而与杆的横截面积 A 成反比，用式
子表示为：
l Fl A
引进比例常数 E 后，得
l FN l EA
胡克定律
比例常数E称为材料的弹性模量，可由实验测出。
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
x轴所围成的区域。 （2）轴力的方向： FN正值画在x轴的上方，负值画在x轴的下方
，图形区域内部用垂直于x轴的均匀的竖线布满，并在图线区域内标 上（表示正）或－（表示负）符号。 （3）图线要对齐：轴力图一定要画在受力图的正下方，并且轴力 图线的突变位置要和外力作用点的位置对齐。分段时以相邻两个外力 的作用点分段。
加大到一定限度时，构件就会破坏，因而内力与构件的强度、刚度是
密切相关的。由此可知，内力是材料力学研究的重要内容。
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
使5用.2规.2范说截明面法
截面法是材料力学中求解内力的基本方法，是已知构件外力确定
内力的普遍方法。
如图5-2a所示，杆件在外力作用下处于平衡状态，若求截面 上
、吉帕（GPa）。
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
使5用.4规.2范说杆明件轴向拉压时横截面上的正应力
为了求得横截面上任意一点的应力，必须了解内力在截面上的分
布规律。
如图5-7所示，取一等截面直杆，在杆件上画上与杆轴线垂直且
等间距的横向线ab和cd，再画上与杆轴线平行且等间距的纵向线，
然后沿杆的轴线作用一拉力F，使杆件产生轴向拉伸变形。 观察杆件 变形前后的形状可知：横向线在变形前后均保持为直线，且都垂直于
时，杆件受压缩短，其轴力取负。
轴力的正负规定可简记为“背离所求截面取正；指向所求截面
取负”或“使杆件受拉取正；使杆件受压取负”。对于方向未知的轴
力，通常按正向假设，若计算结果为正，则实际方向与假设方向相同
；若计算结果为负，则实际方向与假设方向相反。
轴向拉伸与压缩、圆轴扭转变形
2Fl [s ]sin 2q
欲使VBD最小, sin 2q = 1 q = 45o
§3-5 拉伸与压缩
讨论题：杆钢段AB ，[]钢=200MPa, 铜段BC和CD， []铜=70MPa；AC段截
面积 A1=100mm2 , CD段截面积 A2=50mm2 ；试校核其强度。
解（1）画轴力图
（2）求各段应力
s AB
=
9´ 103 100
MPa =
90MPa
6´ 103
s BC = -
MPa = - 60MPa 100
4´ 103
s CD =
MPa = 80MPa 50
（3）强度校核
s AB = 90MPa<[s ]钢 强度足够；
9kN
A
9kN
15kN
10kN 4kN
B
C
D
FN图 4kN
6kN
s BC = 60MPa<[s ]钢 强度足够；
式中： s 为横截面上的正应力； FN为横截面上的轴
力； A为横截面面积。
正应力 s 的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。
公式的使用条件：轴向拉压杆。
§3-5 直杆轴向拉伸与压缩
例3-1 如图所示圆截面杆，直径 d 40,m拉m力
试求杆横截面上的最大正应力。
F 60kN
解（1）作轴力图
FN F 60 kN
零件抵抗破坏的能力，称为强度。 零件抵抗变形的能力，称为刚度。 学习基本变形、应力、强度是为了保证材料 具有足够的使用寿命。
§3-5 直杆轴向拉伸与压缩
一、轴向拉伸与压缩时的变形特点
实验：
F
ac
a
c
F
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轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 FN,max FN2 50 kN
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
材料力学Ⅰ电子教案
例题2-2：试作此杆的轴力图。
q
F
F
l
解： FR
F
l
2l
1
F2 q
1
F 2
第二章 轴向拉伸和压缩
F cos
A
s 0 cos
式中，s 0
F A
为拉(压)杆横截面上(
=0)的正应力。
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：
s p cos s 0 cos2
t
p
s in
s0
2
sin 2
正应力和切应力的正负规定：
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念 §2-2 内力·截面法·及轴力图 §2-3 应力·拉(压)杆内的应力 §2-4 拉(压)杆的变形·胡克定律 §2-5 拉(压)杆内的应变能 §2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §2-7 强度条件·安全因数·许用应力 §2-8 应力集中的概念
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
3. 对于拉(压)杆知道了其横截面上一点处正应力s0(其 上的切应力t0= 0)，是否就可求出所有方位的截面上该点处
的应力，从而确定该点处所有不同方位截面上应力的全部情 况——该点处的应力状态(state of stress)？
F
F
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截
面上各点处的正应力s 都相等。 4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 s FN 。
图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，
故不同截面的变形不同。
x 截面处沿x方向的纵向平均线应变为 x
x
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
fl
f (x x)
f
x
l
x
x
fx
沿杆长均匀分布
轴力图
微段的分离体
的荷载集度为 f
x截面处沿x方向的纵向线应变为
x
lim x x0 x
d x
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-3 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的 拉应力。已知：d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
解：薄壁圆环 (δ<<d )在内压力作用下，径向截面上的
拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法
材料力学Ⅰ电子教案
Ⅱ. 截面法·轴力及轴力图
第二章 轴向拉伸和压缩
FN=F
步骤： （1）假想地截开指定截面； （2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力； （3）根据分离体的平衡求出内力值。
材料力学Ⅰ电子教案
横截面m－m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直 于横截面并通过其形心)——轴力。无论取横截面m－m的左
t
s0
2
sin 2
90
s
E
s 90
90
E
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
单轴应力状态下，应力不超过比例极限时：
s
E
s 900
E
s 90 t 90
s s 0 cos2
t
s0
2
sin 2
s
t
90
s
E
s 90
90
E
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio) 单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
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第二章 轴向拉伸和压缩
低碳钢(Q235)：
E 2.001011 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
胡克定律的另一表达形式： l 1 FN l EA
s
s
s ←单轴应力状态下的胡克定律
E
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第二章 轴向拉伸和压缩
注意：1. 单轴应力状态——受力物体内一点处取出的单元 体，其三对相互垂直平面上只有一对平面上有应力的情况。
上图为不能应用圣维南(Saint-Venant)原理的例子（详见奚
绍中编 《材料力学精讲》，p15)。
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-2 试求此正方 形砖柱由于荷载引起的横 截面上的最大工作应力。 已知F = 50 kN。
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第二章 轴向拉伸和压缩
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力 l Fl A
引进比例常数E，且注意到F = FN，有
l FNl 胡克定律(Hooke’s law),适用于拉(压)杆。
EA
式中：E 称为弹性模量(modulus of elasticity)，由实验测定，其 量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA—— 杆的拉伸(压缩)刚度。
F
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
F q=F/l
F
l
2l
F l
F +
F
FN 图
F +
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-3 应力·拉(压)杆内的应力
Ⅰ.应力的概念
受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布 内力的平均集度即平均应力， p F ，其方向和大小一般
m A
而言，随所取ΔA的大小而不同。
s1
FN1 A1
50103 N (0.24 m) (0.24
m)
0.87106 Pa 0.87 MPa (压应力)
Ⅱ段柱横截面上的正应力
s2
FN 2 A2
150103 N
0.37 m0.37 m
1.1106 Pa 1.1MPa (压应力)
s2 s1
所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力）
为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得
FN1=10 kN(拉力)
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。 FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)
材料力学Ⅰ电子教案
第二章 轴向拉伸和压缩
桁架的示意图
（未考虑端部连接情况）
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第二章 轴向拉伸和压缩
§2-2 内力·截面法·及轴力图
Ⅰ. 内力
材料力学中所研究的内力——物体内各质点间原来相 互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。
根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的 合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合 成)。
F l
3 F
3
F F'=2ql
FR
F
F
FR = F
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1
F2
FR = F
1
F2
第二章 轴向拉伸和压缩
q
3
Fx
3
FR = F FR = F
FR = F
FN1 = F
FN3 = F
F
Fq
F N2
F
x1
F F Fx1 l
FN 2
F
x1
Fx 0
FN2
2F
-
FR
-
Fx1 l
0
FN2
Fx1 l
边或右边为分离体均可。 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定: 当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向
截面产生缩短变形为负。
轴力背离截面FN=+F
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第二章 轴向拉伸和压缩
轴力指向截面FN=-F
用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于 物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力 系替代。
应力量纲：ML-1T-2
布内力在某一点处 的集度
应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。
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Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力
第二章 轴向拉伸和压缩
FN
s dA
A
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关；
(2) s在横截面上的变化规律横截面上各点处s 相等时
dx
一般情况下，杆沿x方向的总变形 l 0l x d x
线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。
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第二章 轴向拉伸和压缩
横向变形——与杆轴垂直方向的变形
在基本情况下 d d1 - d
d
d
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第二章 轴向拉伸和压缩
胡克定律(Hooke’s law) 工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料
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第二章 轴向拉伸和压缩
F
F
(c)
(f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置 的关系。
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